Comment comprendre la géométrie euclidienne?
Malheureusement, la géométrie prend du temps, mais si vous faites l'effort, vous pouvez le comprendre.
La géométrie euclidienne concerne les formes, les lignes et les angles et la façon dont ils interagissent les uns avec les autres. Il y a beaucoup de travail à faire au début pour apprendre le langage de la géométrie. Une fois que vous avez appris les postulats de base et les propriétés de toutes les formes et lignes, vous pouvez commencer à utiliser ces informations pour résoudre des problèmes de géométrie. Malheureusement, la géométrie prend du temps, mais si vous faites l'effort, vous pouvez le comprendre.
Partie 1 sur 3: apprendre les 5 postulats d'Euclide
- 1Apprendre le postulat 1- Un segment de ligne peut être formé en joignant deux points quelconques. Si vous avez deux points, A et B, vous pouvez tracer un segment de ligne reliant ces deux points. Un seul segment de ligne peut être créé en reliant les deux points.
- 2Connaître le postulat 2- tout segment de droite peut être prolongé vers l'infini dans les deux sens. Une fois que vous avez construit un segment de ligne entre deux points, vous pouvez étendre ce segment de ligne en une ligne. Vous pouvez le faire en prolongeant l'une ou l'autre extrémité du segment à l'infini dans la même direction.
- 3Comprenez le postulat 3- étant donné n'importe quelle longueur et n'importe quel point, un cercle peut être tracé avec un point comme centre et la longueur comme rayon. Autrement dit, un cercle peut être construit à partir de n'importe quel segment de ligne. Ce postulat est vrai quelle que soit la longueur du segment de droite.
Il y a beaucoup de travail à faire au début pour apprendre le langage de la géométrie. - 4Identifiez le postulat 4- tous les angles droits sont identiques. Un angle droit est égal à 90°. Chaque angle droit est congru ou égal. Si un angle n'est pas égal à 90°, alors ce n'est pas un angle droit.
- 5Définir le postulat 5- étant donné une ligne et un point, une seule ligne peut être tracée à travers le point qui est parallèle à la première ligne. Une autre façon d'énoncer ce postulat est de dire que si deux lignes se coupent avec une troisième ligne de sorte que la somme des angles internes d'un côté est inférieure à deux angles droits, les deux lignes finiront par se couper. Ces deux lignes ne sont pas parallèles l'une à l'autre.
- Ce dernier postulat ne peut pas être prouvé comme un théorème. En géométrie non euclidienne, ce postulat "parallèle" n'est pas vrai.
Partie 2 sur 3: comprendre les formes, les lignes et les angles
- 1Connaître les propriétés des lignes. Une ligne s'étend à l'infini dans les deux sens et est indiquée par des flèches à ses extrémités pour l'indiquer. Un segment de droite est fini et n'existe qu'entre deux points. Un rayon est un hybride entre une ligne et un segment de ligne: il s'étend à l'infini dans une direction à partir d'un point défini.
- Une seule ligne a toujours une mesure de 180°.
- Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente et ne se coupent jamais.
- Les lignes perpendiculaires sont deux lignes qui se rejoignent pour former un angle de 90°.
- Les lignes d'intersection sont deux lignes quelconques qui se croisent en tout point. Les lignes parallèles ne peuvent jamais se croiser, mais les lignes perpendiculaires le peuvent.
- 2Apprenez les différents types d'angles. Il existe trois types d'angles: aigu, obtus et droit. Un angle aigu est un angle qui mesure moins de 90°. Un angle obtus est un grand angle et est défini comme tout angle mesurant plus de 90°. Un angle droit mesure exactement 90°.
- Être capable d'identifier les différents types d'angles est une partie essentielle pour comprendre la géométrie.
- Deux lignes qui forment un angle droit sont également perpendiculaires l'une à l'autre. Ils forment un coin parfait.
- Vous pouvez également voir un angle droit qui est simplement une ligne. La mesure de cet angle est de 180°.
- Par exemple: un carré ou un rectangle a quatre angles de 90° alors qu'un cercle n'a pas d'angle.
- 3Identifiez les types de triangles. Il existe deux façons d'identifier un triangle: par la taille de ses angles (aigu, obtus et droit) ou par le nombre de côtés et d'angles égaux (équilatéral, isocèle et scalène). Dans un triangle aigu, tous les angles ont une mesure inférieure à 90°; les triangles obtus ont un angle supérieur à 90°; et un triangle rectangle a un angle de 90°.
- Les triangles équilatéraux ont trois côtés égaux et trois angles qui mesurent tous exactement 60°.
- Les triangles isocèles ont deux côtés égaux et deux angles égaux.
- Les triangles scalènes n'ont pas de côtés égaux et pas d'angles égaux.
La géométrie euclidienne concerne les formes, les lignes et les angles et la façon dont ils interagissent les uns avec les autres. - 4Savoir déterminer le périmètre et l'aire des formes 2D. Les carrés, les rectangles, les cercles, les triangles, etc. sont autant de formes dont vous aurez besoin de savoir comment calculer le périmètre et l'aire. Le périmètre d'un objet est la mesure de tous les côtés de l'objet tandis que la surface est la mesure de la quantité d'espace occupée par l'objet. Les équations pour le périmètre et l'aire des formes les plus courantes sont:
- Le périmètre d'un cercle s'appelle la circonférence et est égal à 2πr où "r" est le rayon.
- L'aire d'un cercle est πr 2 où "r" est le rayon.
- Le périmètre d'un rectangle est 2l + 2w où "l" est la longueur et "w" est la largeur.
- L'aire d'un rectangle est lxw où "l" est la longueur et "w" est la largeur.
- Le périmètre d'un triangle est a + b + c où chaque variable désigne un côté du triangle.
- L'aire d'un triangle est de 0,5bh où "b" est la base du triangle et "h" est la hauteur verticale.
- 5Calculer la surface et le volume des objets 3D. Tout comme vous pouvez calculer le périmètre et l'aire d'un objet 2D, vous pouvez trouver la surface totale et le volume d'un objet 3D. Les objets tels que les sphères, les prismes rectangulaires, les pyramides et les cylindres ont tous des équations spéciales pour ce faire. La superficie est la superficie totale de chaque surface de l'objet tandis que le volume est la quantité totale d'espace occupée par cet objet.
- La surface d'une sphère est égale à 4πr 2, où "r" est le rayon de la sphère.
- Le volume d'une sphère est égal à (1,33)πr 3, où "r" est le rayon de la sphère.
- La surface d'un prisme rectangulaire est de 2lw + 2lh + 2hw, où "l" est la longueur, "w" est la largeur et "h" est la hauteur.
- Le volume du prisme rectangulaire est lxlxh, où "l" est la longueur, "w" est la largeur et "h" est la hauteur.
- 6Identifiez les paires d'angles. Lorsqu'une droite coupe deux autres droites, on parle de transversale. Des paires d'angles sont formées par ces lignes. Les angles correspondants sont les deux angles dans les coins correspondants contre la transversale. Les angles intérieurs alternatifs sont les deux angles qui sont à l'intérieur des deux lignes mais sur les côtés opposés de la transversale. Les angles extérieurs alternés sont les deux angles qui sont à l'extérieur des deux lignes, mais sur les côtés opposés de la transversale.
- Les paires d'angles sont égales si deux des droites sont parallèles.
- Il existe une quatrième paire d'angles: les angles intérieurs consécutifs. Ce sont les deux angles à l'intérieur des lignes et du même côté de la transversale. Lorsque les deux lignes sont parallèles, les angles intérieurs consécutifs totalisent toujours 180°.
- 7Définir le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore est un moyen pratique de déterminer les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il est défini comme a 2 + b 2 = c 2, où "a" et "b" sont la longueur et la hauteur (lignes droites) du triangle et "c" est l'hypoténuse (ligne inclinée). Si vous connaissez deux côtés d'un triangle, vous pouvez calculer le troisième côté avec cette équation.
- Par exemple: Si vous avez un triangle rectangle de côté a = 3 et b = 4, vous pouvez trouver l'hypoténuse:
- a 2 + b 2 = c 2
- 32 + 42 = c 2
- 9 + 16 = c 2
- 25 = c 2
- c = 25
- c = 25; l'hypoténuse du triangle est 5.
Partie 3 sur 3: résoudre des problèmes de géométrie
- 1Dessinez les chiffres. Lisez le problème et dessinez un schéma pour l'illustrer. Étiquetez toutes les informations données, y compris tous les angles, les lignes parallèles ou perpendiculaires et les lignes qui se coupent. Vous devrez peut-être tout dessiner une deuxième fois après avoir obtenu un croquis de base du problème. Le deuxième dessin peut fixer l'échelle de tout et s'assurer que tous les angles sont dessinés approximativement correctement.
- Étiquetez également toutes les inconnues.
- Un diagramme clairement dessiné est le moyen le plus simple de comprendre le problème.
De nombreux problèmes de géométrie auront des triangles et connaître les propriétés des triangles vous aidera à les résoudre. - 2Faire des observations basées sur les données. Si on vous donne un segment de ligne, mais qu'il y a des angles sortant du segment de ligne, vous savez que la mesure de tous les angles doit être égale à 180°. Écrivez cette information sur le diagramme ou dans les marges. C'est une bonne façon de réfléchir à ce que la question demande.
- Par exemple: L'angle ABC et l'angle DBE forment une droite ABE. Angle ABC = 120°. Quelle est la mesure de l'angle DBE?
- Puisque la somme des angles ABC et DBE doit être égale à 180°, alors l'angle DBE = 180° - angle ABC.
- Angle DBE = 180° - 120° = 60°.
- 3Appliquer des théorèmes de base pour répondre aux questions. Il existe de nombreux théorèmes individuels qui décrivent les propriétés des triangles, des lignes sécantes et parallèles et des cercles qui peuvent être utilisés pour résoudre un problème. Identifiez les formes géométriques du problème et trouvez les théorèmes qui s'appliquent. Utilisez d'anciennes preuves et problèmes comme guide pour voir s'il y a des similitudes entre eux. Voici quelques-uns des théorèmes géométriques généraux dont vous aurez besoin:
- La propriété réflexive: Une variable est égale à elle-même. x = x.
- Le postulat d'addition: Lorsque des variables égales sont ajoutées à des variables égales, toutes les sommes sont égales. A + B + C = A + C + B.
- Le postulat de soustraction: Ceci est similaire au postulat d'addition, toutes les variables soustraites de variables égales ont des différences égales. A - B - C = A - C - B.
- Le postulat de substitution: Si deux quantités sont égales, vous pouvez substituer l'une à l'autre dans n'importe quelle expression.
- Le postulat de la partition: tout tout est égal à la somme de toutes ses parties. Ligne ABC = AB + BC.
- 4Apprenez les théorèmes qui s'appliquent aux triangles. De nombreux problèmes de géométrie auront des triangles et connaître les propriétés des triangles vous aidera à les résoudre. Utilisez ces théorèmes pour former des preuves géométriques. Voici quelques-uns des plus importants pour les triangles:
- CPCTC: les parties correspondantes du triangle congruent sont congruentes
- SSS: côté-côté-côté: si trois côtés d'un triangle sont congrus à trois côtés d'un deuxième triangle, alors les triangles sont congrus
- SAS: côté-angle-côté: si deux triangles ont un côté-angle-côté congru, alors les deux triangles sont congrus
- ASA: angle-côté-angle: si deux triangles ont un angle-côté-angle congru, alors les deux triangles sont congrus
- AAA: angle-angle-angle: les triangles aux angles congrus sont similaires, mais pas nécessairement congrus
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Questions et réponses
- Comment prouver le postulat 2?Les postulats ne sont soumis à aucune preuve dans un sens pratique. Ce ne sont que des déclarations communément acceptées.
- Comment prouver qu'une forme est un parallélogramme?Supposons que la figure a quatre côtés. Il y a plusieurs façons de prouver que c'est un parallélogramme. Les trois manières les plus simples sont: (1) prouver que chaque côté est de longueur égale à son côté opposé; (2) prouver que chaque angle est égal à son angle opposé; et (3) prouver que les côtés opposés sont parallèles entre eux.
Les commentaires (2)
- Les étapes et les conseils sur la géométrie ont été utiles.
- J'ai appris les théorèmes qui s'appliquent aux triangles, quelque chose que je meurs d'envie de savoir.
