Comment prouver le théorème des accords croisés d'Euclide?
Cet article vous apprendra à prouver le théorème des accords d'intersection (ou de croisement); spécifiquement, comment les deux accords AD et BC créent deux rectangles égaux.
Quand on lit pour la première fois la proposition 35 du livre III des "Éléments" d'Euclide, on peut s'étonner que les accords croisés créent deux rectangles égaux, que leur point d'intersection soit au centre ou non, mais c'est assez facile à comprendre. Cet article vous apprendra à prouver le théorème des accords d'intersection (ou de croisement); spécifiquement, comment les deux accords AD et BC créent deux rectangles égaux.
Partie 1 sur 4: le tutoriel
- 1Comprendre une définition du théorème des accords d'intersection d'Euclide. Le théorème des accords croisés affirme le fait très utile suivant: étant donné un point P à l'intérieur d'un cercle avec deux droites passant par P, AD et BC, alors AP*PD = BP*PC - les deux rectangles formés par les segments adjacents sont, en fait, égal. Cet article vous montre en quelques étapes comment prouver que cela est vrai.
- 2Démontrer la similitude des triangles ABP et CDP qui est une conséquence de leurs angles puisque:
- BAD = BCD car les angles inscrits sous-tendus par la même corde BD sont égaux [Livre III Propositions 20 et 21];
- ABC = ADC car les angles inscrits sous-tendus par la même corde AC sont égaux [Livre III Propositions 20 et 21]; et
- APB = CPD car ce sont une paire d'angles verticaux (les angles verticaux sont formés par les mêmes lignes d'intersection).
- 3Montrer qu'à partir de la similitude des triangles ABP et CDP sont obtenues ces identités et proportions: 1) AP/PC = BP/PD = AB/CD. C'est fondamentalement comment les triangles similaires sont liés.
- 4Montrer que la première identité ci-dessus, ap/pc = bp/pd, conduit directement au théorème des accords d'intersection, en multipliant par croix: AP*PD = BP*PC. C'est ainsi qu'est arrivé le théorème, à la fois géométriquement et mathématiquement, car ces deux produits sont bien des rectangles.
- 5Recherchez et découvrez que la preuve donnée par euclid est beaucoup plus longue et plus complexe, et utilise le théorème de Pythagore, qui est une preuve assez longue en soi. Pour comprendre comment fonctionnent ces preuves, vous êtes renvoyé au texte traduit des "Éléments" d'Euclide ci-dessous.
Partie 2 sur 4: tableaux explicatifs, schémas, photos
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Partie 3 sur 4: conseils utiles
- 1Utilisez des articles d'aide lorsque vous suivez ce didacticiel:
- Voir l'article Comment multiplier et diviser géométriquement comme mère nature pour une liste d'articles liés à Excel, à l'art géométrique et/ou trigonométrique, aux graphiques/diagrammes et à la formulation algébrique.
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Comprendre une définition du théorème des accords d'intersection d'Euclide.
Partie 4 sur 4: assistance vidéo.
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- La preuve qu'Euclide fait dépend de sa preuve du théorème de Pythagore; voici une photo de cette preuve:
- Pour aider à comprendre comment les angles de bases égales dans un cercle ont le même angle à leurs extrémités éloignées où ils touchent à nouveau le cercle, deux images des théorèmes précédents d'Euclide, LIVRE III Propositions 20 et 21 sont ici reproduites:
- Il a été indiqué ci-dessus que la propre preuve d'Euclide, le livre III P35, était beaucoup plus longue et plus complexe, en ce sens qu'elle comprend également la preuve du théorème de Pythagore. Voici une photo de la preuve:
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