Comment prouver des triangles similaires?
Deux triangles peuvent être prouvés similaires par le théorème angle-angle qui dit: si deux triangles ont deux angles congrus, alors ces triangles sont similaires.
Des triangles similaires sont deux triangles qui ont les mêmes angles et des côtés correspondants qui ont des proportions égales. Prouver des triangles similaires fait référence à un processus géométrique par lequel vous fournissez des preuves pour déterminer que deux triangles ont suffisamment en commun pour être considérés comme similaires. En utilisant des théorèmes géométriques simples, vous pourrez facilement prouver que deux triangles sont similaires.
Partie 1 sur 4: en utilisant le théorème angle-angle
- 1Définir le théorème angle-angle (AA). Deux triangles peuvent être prouvés similaires par le théorème angle-angle qui dit: si deux triangles ont deux angles congrus, alors ces triangles sont similaires.
- Ce théorème est également appelé théorème angle-angle-angle (AAA) car si deux angles du triangle sont congrus, le troisième angle doit également être congruent. C'est parce que les angles d'un triangle doivent totaliser 180°.
- 2Identifie la mesure d'au moins deux angles dans l'un des triangles. À l'aide d'un rapporteur, mesurez le degré d'au moins deux angles sur le premier triangle. Étiquetez les angles sur le triangle pour en garder une trace.
- Choisissez deux angles quelconques sur le triangle à mesurer.
- Exemple: Le triangle ABC a deux angles qui mesurent 30° et 70°.
- 3Mesurez au moins deux des angles du deuxième triangle. Encore une fois, utilisez un rapporteur pour mesurer deux des angles du deuxième triangle. Si les deux angles sont identiques sur les deux triangles, alors les triangles se ressemblent.
- N'oubliez pas que si deux angles d'un triangle sont égaux, alors les trois sont égaux.
- Exemple: Le deuxième triangle, DEF, a également deux angles qui mesurent 30° et 70°.
- 4Utilisez le théorème angle-angle pour la similitude. Une fois que vous avez identifié les angles congrus, vous pouvez utiliser ce théorème pour prouver que les triangles sont similaires. Déclarez que les mesures des angles entre les deux triangles sont identiques et citez le théorème angle-angle comme preuve de leur similitude.
- Il est possible qu'un triangle avec trois angles identiques soit également congruent, mais ils devraient également avoir des longueurs de côté identiques .
- Exemple: Parce que les deux triangles ont deux angles identiques, ils sont similaires.
- Remarque: Si les deux triangles n'avaient pas des angles identiques, ils ne seraient pas similaires. Par exemple: le triangle ABC a des angles qui mesurent 30° et 70° et le triangle DEF a des angles qui mesurent 35° et 70°. Parce que 30° n'équivaut pas à 35°, les triangles ne sont pas similaires.
Si les deux angles sont identiques sur les deux triangles, alors les triangles se ressemblent.
Partie 2 sur 4: en utilisant le théorème côté-angle-côté
- 1Définissez le théorème de similitude côté angle-côté (SAS). Lorsqu'un triangle a deux côtés qui sont dans la même proportion par rapport à un autre triangle et que leur angle inclus est égal, ces triangles sont similaires.
- Attention à ne pas confondre ce théorème avec le théorème Side-Angle-Side pour la congruence. Pour la congruence, les deux côtés avec leur angle inclus doivent être identiques; pour la similitude, les proportions des côtés doivent être les mêmes et l'angle doit être identique.
- Par exemple: Les triangles ABC et DEF sont similaires soit l'angle A = l'angle D et AB/DE = AC/DF.
- 2Mesurez les deux mêmes côtés de chaque triangle. À l'aide d'une règle, mesurez les deux côtés du triangle ABC et nommez-les avec cette mesure. Assurez-vous que le triangle DEF est orienté dans la même direction et mesurez les deux mêmes côtés. Étiquetez également ces côtés.
- Exemple: Mesures du triangle ABC; côté AB = 4 cm et côté AC = 8 cm. Mesures du triangle DEF; côté DE = 2 cm et côté DF = 4 cm.
- 3Identifier la mesure de l'angle entre ces deux côtés. À l'aide d'un rapporteur, mesurez l'angle inclus, ou l'angle entre les deux côtés que vous avez déjà mesuré. Pour ce théorème, la mesure de l'angle doit être identique dans les deux triangles.
- Exemple: L'angle A dans le triangle ABC est de 26°. L'angle D dans le triangle DEF est également de 26°.
- 4Calculer la proportion des longueurs de côté entre les deux triangles. Pour utiliser le théorème SAS, les côtés des triangles doivent être proportionnels entre eux. Pour le calculer, utilisez simplement la formule AB/DE = AC/DF.
- Exemple: AB/DE = AC/DF; 2 = 2; 2 = 2. Les proportions des deux triangles sont égales.
- 5Appliquez le théorème de l'angle latéral pour prouver la similitude. Une fois que vous avez déterminé que les proportions des deux côtés d'un triangle et de leur angle inclus sont égales, vous pouvez utiliser le théorème SAS dans votre preuve.
- Exemple: Parce que AB/DE = AC/DF et l'angle A = angle D, le triangle ABC est similaire au triangle DEF.
- Remarque: si l'angle A n'était pas égal à l'angle D, les triangles ne seraient pas similaires. De plus, si les proportions n'étaient pas égales, les triangles ne seraient pas similaires.
Une fois que vous avez identifié les angles congrus, vous pouvez utiliser ce théorème pour prouver que les triangles sont similaires.
Partie 3 sur 4: utiliser le théorème côté-côté-côté
- 1Définissez le théorème de similitude côté-côté-côté (SSS). Deux triangles seraient considérés comme similaires si les trois côtés des deux triangles sont de même proportion. Les côtés mesurant 2:4:6 et 4:8:12 fourniraient une preuve de similitude.
- Soyez prudent de ne pas confondre ce théorème avec le théorème côte à côte à côte pour congruence: lorsque deux triangles ont trois côtés identiques, ils sont congruents. Le théorème de similitude traite strictement des proportions des trois côtés.
- Par exemple: Dans le triangle ABC et DEF, les triangles sont similaires si AB/DE = AC/DF = BC/EF.
- 2Mesurez les côtés de chaque triangle. À l'aide d'une règle, mesurez les trois côtés de chaque triangle. Étiquetez chaque côté pour garder une trace de toutes les mesures. Assurez-vous d'utiliser les mêmes unités pour chaque mesure des côtés du triangle.
- Exemple: le triangle ABC a des côtés AB = 10 cm, BC = 15 cm, AC = 20 cm et le triangle DEF a des côtés DE = 2 cm, EF = 3 cm et DF = 4 cm.
- 3Calculer les proportions entre les côtés de chaque triangle. Pour que le théorème SSS soit applicable, les trois côtés de chaque triangle doivent être proportionnels les uns aux autres. En utilisant les mesures latérales, calculez les proportions en utilisant la formule AB/DE = AC/DF = BC/EF.
- Exemple: AB/DE = AC/DF = BC/EF; 10/2 = 20/4 = 11,67; 5 = 5 = 5.
- 4Appliquer le théorème côté-côté-côté pour prouver la similitude. Si vous avez déterminé que les proportions des trois côtés des triangles sont égales, vous pouvez utiliser le théorème SSS pour prouver que ces triangles sont similaires.
- Exemple: Parce que AB/DE = AC/DF = BC/EF, le triangle ABC et le triangle DEF sont similaires.
- Remarque: Si AB/DE AC/DF BC/EF, les triangles ne seraient pas similaires.
Prouver des triangles similaires fait référence à un processus géométrique par lequel vous fournissez des preuves pour déterminer que deux triangles ont suffisamment en commun pour être considérés comme similaires.
Partie 4 sur 4: écrire une preuve
- 1Étudiez le format d'une preuve formelle. Une preuve commence par un énoncé d'informations données, appelé énoncé d'hypothèse. Vous devrez fournir une liste d'informations pertinentes ainsi que des preuves à l'appui de chaque affirmation.
- 2Développez une hypothèse pour résoudre le problème ou complétez la preuve. Vous aurez besoin de faire un graphique, qui a généralement deux colonnes. Cette première colonne contiendra vos déclarations, tandis que la seconde fournira vos preuves.
- Assurez-vous que la dernière ligne de votre colonne d'énoncé correspond toujours à l'énoncé de l'hypothèse. Les rangées du milieu seront l'endroit où vous montrez votre travail pendant que vous résolvez le problème. Toutes les déclarations que vous fournissez, ainsi que vos preuves à l'appui, doivent toujours faire référence aux chiffres décrits par la déclaration d'hypothèse.
- 3Dessinez un schéma des figures décrites dans l'hypothèse, si une illustration n'a pas déjà été fournie. Utilisez tous les détails fournis par l'hypothèse. Assurez-vous de dessiner la figure assez grande pour que vous puissiez facilement distinguer ces détails. Étiquetez tous les points qui sont décrits et assurez-vous d'inclure toute information de l'énoncé concernant les lignes parallèles ou les angles congruents.
- 4Notez les informations données. Pour tout problème, vous recevrez des informations sur les mesures des angles et les côtés des deux triangles que vous essayez de prouver similaires. La première étape pour identifier le bon théorème à utiliser est de noter les informations que vous connaissez déjà.
- Si aucun schéma n'est fourni, dessinez les triangles, puis étiquetez leurs angles et leurs côtés avec les informations données.
- 5Choisissez le théorème qui correspond à l'information donnée. Une fois que vous avez écrit vos informations et appris les trois théorèmes possibles qui pourraient s'appliquer, choisissez celui qui correspond aux informations fournies. Ce n'est pas grave si plusieurs théorèmes s'appliquent, choisissez-en un pour votre preuve.
- Si aucun de ces théorèmes ne correspond à l'information donnée, alors les triangles ne sont pas similaires.
- 6Écris la preuve. Concevoir une stratégie pour résoudre la preuve. Il existe trois postulats différents, ou théories mathématiques, qui s'appliquent à des triangles similaires. N'importe lequel d'entre eux fournira des preuves suffisantes pour prouver que les triangles en question sont similaires.
- Rassemblez vos données et théorèmes pertinents et écrivez la preuve étape par étape.
- L'angle latéral (SSA) et l'angle-angle-angle (AAA) sont deux "théorèmes" courants qui n'indiquent pas réellement de similitude. Faites attention à ceux-ci.
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Questions et réponses
- Comment calculer un côté manquant?Dans le cas de triangles similaires, une paire de côtés correspondants a le même rapport de longueur que les deux autres paires. Si nous nommons les trois côtés d'un triangle a, b et c, et que nous nommons les côtés correspondants d'un triangle similaire a', b' et c', nous savons que a est à b ou c comme a' est à b' ou c', et aussi que a est à a' comme b est à b' et comme c est à c'. Vous pouvez montrer n'importe laquelle de ces relations dans des équations fractionnaires, en utilisant les côtés connus dans trois des positions fractionnaires et en résolvant le quatrième côté inconnu ("manquant"). Par exemple, si a=3, a'=4, b=6 et b' est inconnu, configurez l'équation comme a/a' = b/b', ou 0,75 = 6/b'. La résolution de b' donne le côté inconnu comme 8.
