Comment calculer le volume d'une pyramide carrée?

Pour calculer le volume d'une pyramide carrée, trouvez d'abord la longueur d'un des côtés de la base de la pyramide. Ensuite, calculez l'aire de la base en multipliant au carré la longueur du côté et multipliez l'aire par la hauteur de la pyramide. Enfin, divisez la réponse par 3 pour trouver le volume de la pyramide carrée et écrivez votre réponse en unités au cube. Pour obtenir des conseils sur la recherche du volume à l'aide de la hauteur d'inclinaison ou du bord de hauteur, faites défiler vers le bas!

Tristan Lefebvre
Tristan Lefebvre
• 12 min de lecture
Comment obtenir la longueur du bord de base d'une pyramide carrée en utilisant le bord incliné
Comment obtenir la longueur du bord de base d'une pyramide carrée en utilisant le bord incliné et le volume?

Une pyramide carrée est un solide tridimensionnel caractérisé par une base carrée et des côtés triangulaires inclinés qui se rencontrent en un seul point au-dessus de la base. Si s{\displaystyle s} représente la longueur de l'un des côtés de la base carrée et h{\displaystyle h} représente la hauteur de la pyramide (la distance perpendiculaire de la base au point), le volume d'une pyramide carrée peut être calculé avec la formule V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h} . Peu importe que la pyramide soit de la taille d'un presse-papier ou plus grande que la Grande Pyramide de Gizeh - cette formule fonctionne pour n'importe quelle pyramide carrée. Le volume peut également être calculé en utilisant ce qu'on appelle la "hauteur oblique" de la pyramide.

Méthode 1 sur 3: trouver le volume à l'aide de la surface de base et de la hauteur

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    Mesurez la longueur du côté de la base. Puisque, par définition, les pyramides carrées ont des bases parfaitement carrées, tous les côtés de la base doivent être de même longueur. Ainsi, pour une pyramide carrée, il suffit de trouver la longueur d'un côté.
    • Considérons une pyramide dont la base est un carré avec des côtés de s=5cm{\displaystyle s=5{\text{cm}}} . C'est la valeur que vous utiliserez pour trouver l'aire de la base.
    • Si les côtés de la base ne sont pas de longueur égale, vous avez une pyramide rectangulaire plutôt qu'une pyramide carrée. La formule de volume pour les pyramides rectangulaires est très similaire à la formule pour les pyramides carrées. Si l{\displaystyle l} représente la longueur de la base de la pyramide rectangulaire et w{\displaystyle w} représente sa largeur, le volume de la pyramide est V=13h∗l∗w{\displaystyle V={\frac {1}{3 }}h*l*w} .
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    Calculer l'aire de la base. Trouver le volume commence par trouver l'aire bidimensionnelle de la base. Cela se fait en multipliant la longueur de la base par sa largeur. Parce que la base d'une pyramide carrée est un carré, ses côtés ont tous des longueurs égales, donc l'aire de la base est égale à la longueur d'un côté au carré (x lui-même).
    • Dans l'exemple, puisque les longueurs des côtés de la base de la pyramide sont toutes de 5 cm, vous pouvez trouver l'aire de la base comme suit:
      • area=s2=(5cm)2=25cm2{\displaystyle {\text{area}}=s^{2}=(5{\text{cm}})^{2}=25{\text{cm}} ^{2}}
    • Rappelez - vous que les zones à deux dimensions sont exprimées en unités carrées - centimètres carrés, mètres carrés, miles carrés, et ainsi de suite.
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    Multipliez l'aire de la base par la hauteur de la pyramide. Ensuite, multipliez la surface de base par la hauteur de la pyramide. Pour rappel, la hauteur est la distance du segment de droite s'étendant du sommet de la pyramide au plan de la base à des angles perpendiculaires aux deux.
    • Dans l'exemple, supposons que la pyramide a une hauteur de 9 cm. Dans ce cas, multipliez l'aire de la base par cette valeur comme suit:
      • 25cm2∗9cm=225cm3{\displaystyle 25{\text{cm}}^{2}*9{\text{cm}}=225{\text{cm}}^{3}}
    • N'oubliez pas que les volumes sont exprimés en unités cubiques. Dans ce cas, comme toutes les mesures linéaires sont en centimètres, le volume est en centimètres cubes.
    Pour calculer le volume d'une pyramide carrée
    Pour calculer le volume d'une pyramide carrée, trouvez d'abord la longueur d'un des côtés de la base de la pyramide.
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    Divisez cette réponse par 3. Enfin, trouvez le volume de la pyramide en divisant la valeur que vous venez de trouver en multipliant la surface de base par la hauteur par 3. Cela vous donnera une réponse finale qui représente le volume de la pyramide carrée.
    • Dans l'exemple, divisez 225 cm3 par 3 pour obtenir une réponse de 75 cm3 pour le volume.

Méthode 2 sur 3: trouver le volume à l'aide de la hauteur d'inclinaison

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    Mesurez la hauteur de l'inclinaison de la pyramide. Parfois, on ne vous dira pas la hauteur perpendiculaire de la pyramide. Au lieu de cela, on vous dira peut-être - ou devrez peut-être mesurer - la hauteur de l'inclinaison de la pyramide. Avec la hauteur d'inclinaison, vous pourrez utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur perpendiculaire.
    • La hauteur d'inclinaison d'une pyramide est la distance entre son sommet et le milieu de l'un des côtés de la base. Mesurez au milieu du côté et non à l'un des coins de la base. Pour cet exemple, supposons que vous mesuriez la hauteur de l'inclinaison à 13 cm et que l'on vous dise que la longueur des côtés est de 10 cm.
    • Pour rappel, le théorème de Pythagore peut être exprimé par l'équation a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , où a{\displaystyle a} et b{ \displaystyle b} sont les jambes perpendiculaires du triangle rectangle et c{\displaystyle c} est l'hypoténuse.
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    Imaginez un triangle rectangle. Pour utiliser le théorème de Pythagore, vous avez besoin d'un triangle rectangle. Imaginez un triangle rectangle traversant le milieu de la pyramide et perpendiculaire à la base de la pyramide. La hauteur oblique de la pyramide, appelée l{\displaystyle l} , est l'hypoténuse de ce triangle rectangle. La base de ce triangle rectangle est la moitié de la longueur de s{\displaystyle s} , le côté de la base carrée de la pyramide.
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    Affectez des variables aux valeurs. Le théorème de Pythagore utilise les variables a, b et c, mais il aide à les remplacer par des variables qui ont un sens pour votre problème. La hauteur d'inclinaison l{\displaystyle l} remplace c{\displaystyle c} dans le théorème de Pythagore. La jambe du triangle rectangle, qui est s2{\displaystyle {\frac {s}{2}}} , prend la place de b.{\displaystyle b.} Vous allez résoudre la hauteur de la pyramide, h{ \displaystyle h} , qui remplace a{\displaystyle a} dans le théorème de Pythagore.
    • Cette substitution ressemblera à ceci:
      • a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
      • h2+(s2)2=l2{\displaystyle h^{2}+({\frac {s}{2}})^{2}=l^{2}}
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    Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur perpendiculaire. Insérez les valeurs mesurées de s=10{\displaystyle s=10} et l=13{\displaystyle l=13} . Procédez ensuite à la résolution de l'équation:
    • h2=l2−(s2)2{\displaystyle h^{2}=l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}} .....(équation originale)
    • h=l2−(s2)2{\displaystyle h={\sqrt {l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}}} .....(racine carrée des deux côtés)
    • h=132−(102)2{\displaystyle h={\sqrt {13^{2}-({\frac {10}{2}})^{2}}}} .....(valeurs de substitution)
    • h=169−52{\displaystyle h={\sqrt {169-5^{2}}}} .....( fraction simplifiée)
    • h=169−25{\displaystyle h={\sqrt {169-25}}} .....(carré simplifié)
    • h=144{\displaystyle h={\sqrt {144}}} .....(soustraire)
    • h=12{\displaystyle h=12} .....(simplifier la racine carrée)
    Dans une pyramide carrée
    Dans une pyramide carrée, la hauteur perpendiculaire, la hauteur de l'inclinaison et la longueur du bord de la face de base sont toutes liées par le théorème de Pythagore.
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    Utilisez la hauteur et la base pour calculer le volume. Après avoir utilisé les calculs avec le théorème de Pythagore, vous avez maintenant les informations dont vous avez besoin pour calculer le volume de la pyramide comme vous le feriez normalement. Utilisez la formule V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h} et résolvez, en vous assurant d'étiqueter votre réponse en unités cubes.
    • D'après les calculs, la hauteur de la pyramide est de 12 cm. Utilisez ceci et le côté de base de 10 cm. pour calculer le volume de la pyramide:
      • V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}
      • V=13(102)12{\displaystyle V={\frac {1}{3}}(10^{2})12}
      • V=13(100)(12){\style d'affichage V={\frac {1}{3}}(100)(12)}
      • V=400cm3{\displaystyle V=400{\text{cm}}^{3}}

Méthode 3 sur 3: trouver le volume à l'aide de la hauteur du bord

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    Mesurez la hauteur du bord de la pyramide. La hauteur du bord est la longueur du bord de la pyramide, mesurée du sommet à l'un des coins de la base de la pyramide. Comme précédemment, vous utiliserez ensuite le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur perpendiculaire de la pyramide.
    • Pour cet exemple, supposons que la hauteur du bord peut être mesurée à 11 cm et que la hauteur perpendiculaire est de 5 cm.
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    Imaginez un triangle rectangle. Comme précédemment, vous avez besoin d'un triangle rectangle pour utiliser le théorème de Pythagore. Dans ce cas, cependant, votre valeur inconnue est la base de la pyramide. Vous connaissez la hauteur perpendiculaire et la hauteur du bord. Si vous imaginez couper la pyramide en diagonale d'un coin au coin opposé et l'ouvrir, la face intérieure exposée est un triangle. La hauteur de ce triangle est la hauteur perpendiculaire de la pyramide. Il divise le triangle exposé en deux triangles rectangles symétriques. L'hypoténuse de l'un ou l'autre triangle rectangle est la hauteur du bord de la pyramide. La base de l'un ou l'autre triangle rectangle est la moitié de la diagonale de la base de la pyramide.
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    Attribuez des variables. Utilisez ce triangle rectangle imaginaire et attribuez des valeurs au théorème de Pythagore. Vous connaissez la hauteur perpendiculaire, h,{\displaystyle h,} qui est une jambe du théorème de Pythagore, a{\displaystyle a} . La hauteur du bord de la pyramide, l,{\displaystyle l,} est l'hypoténuse de ce triangle rectangle imaginaire, elle remplace donc c{\displaystyle c} . La diagonale inconnue de la base de la pyramide est la jambe restante du triangle rectangle, b.{\displaystyle b.} Après avoir effectué ces substitutions, l'équation ressemblera à ceci:
    • a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
    • h2+b2=l2{\displaystyle h^{2}+b^{2}=l^{2}}
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    Calculer la diagonale de la base carrée. Vous devrez réorganiser l'équation pour isoler la variable b{\displaystyle b} , puis résoudre sa valeur.
    • h2+b2=l2{\displaystyle h^{2}+b^{2}=l^{2}} ..........(équation révisée)
    • b2=l2−h2{\displaystyle b^{2}=l^{2}-h^{2}} ..........(remplacez h 2 des deux côtés)
    • b=l2−h2{\displaystyle b={\sqrt {l^{2}-h^{2}}}} ..........(racine carrée des deux côtés)
    • b=112−52{\displaystyle b={\sqrt {11^{2}-5^{2}}}} ..........( insérer des valeurs numériques)
    • b=121−25{\displaystyle b={\sqrt {121-25}}} ..........(simplifier les carrés)
    • b=96{\displaystyle b={\sqrt {96}}} ..........(soustraire les valeurs)
    • b=9,80{\displaystyle b=9,80} ..........( simplifier la racine carrée)
    • Doublez cette valeur pour trouver la diagonale de la base carrée de la pyramide. Ainsi, la diagonale de la base de la pyramide est de 9,8*2=19,6 cm.
    La hauteur d'une pyramide est trois fois le volume divisé par le carré de la longueur d'un côté de la base
    En supposant une base carrée, la hauteur d'une pyramide est trois fois le volume divisé par le carré de la longueur d'un côté de la base (c'est-à-dire trois fois le volume divisé par la surface de la base).
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    Trouvez le côté de la base à partir de la diagonale. La base de la pyramide est un carré. La diagonale d'un carré est égale à la longueur d'un côté multipliée par la racine carrée de 2. Inversement, vous pouvez trouver le côté du carré à partir de sa diagonale en divisant par la racine carrée de 2.
    • Pour cet exemple de pyramide, la diagonale a été calculée à 19,6 cm. Par conséquent, le côté est égal à:
      • s=19,62=19,61.41=13,90{\displaystyle s={\frac {19,6}{\sqrt {2}}}={\ frac {19,6}{1,41}}= 13,90}
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    Utilisez le côté et la hauteur pour calculer le volume. Revenez à la formule d'origine pour calculer le volume en utilisant le côté et la hauteur perpendiculaire.
    • V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}
    • V=1313,92∗5{\displaystyle V={\frac {1}{3}}13,9^{2}*5}
    • V=13193,23∗5{\displaystyle V={\frac {1}{3}}193,23*5}
    • V=322,02cm3{\displaystyle V=322,02{\text{cm}}^{3}}

Conseils

  • Dans une pyramide carrée, la hauteur perpendiculaire, la hauteur de l'inclinaison et la longueur du bord de la face de base sont toutes liées par le théorème de Pythagore.

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Questions et réponses

  • Comment trouve-t-on l'aire d'un côté de la pyramide si seuls les côtés du carré sont donnés?
    Si "seulement" les côtés sont donnés, vous ne pouvez pas trouver l'aire des côtés de la pyramide. Vous devez également connaître la hauteur. Si on vous dit que vous avez une pyramide carrée "régulière", alors la hauteur du bord de la pyramide sera égale aux côtés du carré. C'est-à-dire que chaque côté de la pyramide sera un triangle équilatéral, et cela suffira pour trouver l'aire. Si le côté de la base est «s», alors la hauteur du bord est également «s». Vous devez trouver la hauteur verticale du triangle équilatéral. En utilisant les relations de 30-60-90 triangles, cette hauteur est s*(sqrt(3))/4. Puisque l'aire d'un triangle est A=0,5bh, l'aire = (0,5)(s)(s*(sqrt(3))/4). Cela se simplifie en A=(s^2)(sqrt(3))/8.
  • Dans la méthode 1, pourquoi avez-vous divisé 225 par 3?
    Car c'est la formule du volume: un tiers du produit de la surface de base et de la hauteur.
  • Comment obtenez-vous du volume dans un cas où vous n'avez pas la hauteur, la hauteur d'inclinaison ou la hauteur de bord?
    Si vous connaissez la longueur de l'une des bases et que c'est une pyramide carrée, vous pouvez dessiner un triangle rectangle avec l'inclinaison, le bord et la moitié de la base. La longueur du bord sera l'hypoténuse, et deux fois la longueur de la base.
  • Où est la superficie?
    Dans le cas d'une pyramide carrée, la surface peut être considérée comme constituée uniquement des quatre côtés triangulaires, ou comme ces quatre côtés et la base carrée.
  • Comment puis-je résoudre si la base est de 34, la hauteur est de 15 et la largeur est de 24?
    Le volume est égal au tiers de la surface de base multipliée par la hauteur perpendiculaire. Si la base est un rectangle mesurant 34 x 24, la surface de base est de 816 unités carrées. Un tiers de cela fait 272. Multiplier par 15 donne un volume de 4080 unités cubes.
  • Comment trouver l'aire d'une pyramide avec seulement la hauteur?
    Vous ne pouvez pas trouver la surface d'une pyramide si vous ne connaissez que la hauteur.
  • Comment calculer la hauteur de la pyramide si je ne connais que le volume et la longueur de la base?
    En supposant une base carrée, la hauteur d'une pyramide est trois fois le volume divisé par le carré de la longueur d'un côté de la base (c'est-à-dire trois fois le volume divisé par la surface de la base).
  • Comment trouver la longueur?
    Pour trouver la longueur d'un côté de la base carrée, vous devez connaître la hauteur et le volume de la pyramide. Pour obtenir la longueur, multipliez le volume par trois, divisez-le par la hauteur, puis prenez ce nombre et trouvez sa racine carrée.
  • Comment calculer la hauteur d'une pyramide avec seulement la base et la hauteur de l'inclinaison?
    Dessinez une image de la section transversale de la pyramide à travers le sommet. Il devrait ressembler à un triangle isocèle avec deux hauteurs d'inclinaison et une longueur de base. Si vous dessinez une altitude du sommet à la base, vous avez un triangle rectangle avec une hypoténuse égale à la hauteur de l'inclinaison et une jambe dont la longueur est la moitié de la longueur de la base. Ensuite, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver l'autre jambe, qui est la hauteur de la pyramide que vous recherchez.
  • Si je n'ai que le volume, comment puis-je résoudre la hauteur?
    Vous ne pouvez pas résoudre la hauteur si tout ce que vous connaissez est le volume.
Questions sans réponse
  • Comment trouver la longueur oblique d'une pyramide carrée?
  • Si le bord de base et le bord latéral d'une pyramide carrée sont égaux, comment puis-je trouver le volume?
  • Comment obtenir la longueur du bord de base d'une pyramide carrée en utilisant le bord incliné et le volume?
  • Comment puis-je résoudre la hauteur d'inclinaison de la pyramide si la base et la hauteur sont données?
  • Comment obtenir le volume avec la hauteur d'une pyramide carrée?

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