Comment prouver que la racine carrée de deux est irrationnelle?
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'a pas cette propriété, il ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux nombres.
Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés comme une fraction de deux nombres entiers, un rapport. Un nombre irrationnel est un nombre qui n'a pas cette propriété, il ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux nombres. Certains des nombres les plus connus sont irrationnels - pensez à π{\displaystyle \pi } , e{\displaystyle e} (le nombre d'Euler) ou ϕ{\displaystyle \phi } (le nombre d'or). 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} est un nombre irrationnel, et cela peut être prouvé algébriquement d'une manière très élégante.
- 1Supposons que 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} soit rationnel. Ensuite, il peut être exprimé sous la forme d'une fraction ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} , où a{\displaystyle a} et b{\displaystyle b} sont tous deux des nombres entiers, et b{\displaystyle b} n'est pas 0{\displaystyle 0} . De plus, cette fraction est écrite dans les termes les plus simples, ce qui signifie que a{\displaystyle a} ou b{\displaystyle b} , ou les deux sont des nombres entiers impairs.
- 2=ab{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}
- 2Carré des deux côtés.
- 2=a2b2{\displaystyle 2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}}
- 3Multipliez les deux côtés par b2{\displaystyle b^{2}} .
- 2b2=a2{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}
- 4Notez que a2{\displaystyle a^{2}} est un nombre pair. a2{\displaystyle a^{2}} est un nombre pair car il est égal à deux fois un nombre entier. Puisque a2{\displaystyle a^{2}} est pair, a{\displaystyle a} doit être pair aussi, car s'il était impair, a2{\displaystyle a^{2}} serait également impair (un nombre impair fois et un nombre impair est toujours un nombre impair). a{\displaystyle a} est pair, ce qui signifie qu'il peut être écrit comme deux fois un certain nombre entier, ou en d'autres termes, a=2k{\displaystyle a=2k} , où k{\displaystyle k} est ce nombre entier.
- 5Remplacez a=2k{\displaystyle a=2k} dans l'équation originale.
- 2=(2k)2b2{\displaystyle 2={\frac {(2k)^{2}}{b^{2}}}} .
- 6Développez (2k)2{\displaystyle (2k)^{2}} . (2k)2=22k2=4k2{\displaystyle (2k)^{2}=2^{2}k^{2}=4k^{2}} .
- 2=4k2b2{\displaystyle 2={\frac {4k^{2}}{b^{2}}}}
Est un nombre irrationnel, et cela peut être prouvé algébriquement d'une manière très élégante. - 7Multipliez les deux côtés par b2{\displaystyle b^{2}} .
- 2b2=4k2{\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} .
- 8Divisez les deux côtés par deux.
- b2=2k2{\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
- 9Notez que b2{\displaystyle b^{2}} est un nombre pair. b2{\displaystyle b^{2}} est un nombre pair car il est égal à deux fois un nombre entier. Puisque b2{\displaystyle b^{2}} est pair, b{\displaystyle b} doit être pair aussi, car s'il était impair, b2{\displaystyle b^{2}} serait également impair (un nombre impair fois et un nombre impair est toujours un nombre impair).
- 10Reconnaissez qu'il s'agit d'une contradiction. Vous venez de prouver que b{\displaystyle b} est pair. Cependant, vous avez également prouvé que a{\displaystyle a} est un nombre pair. C'est une contradiction car au début de cette preuve, on a supposé que ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} était écrit en termes les plus simples, mais si à la fois a{\displaystyle a} et b{\ displaystyle b} sont pairs, le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par 2, ce qui signifie qu'il n'a pas été écrit dans les termes les plus simples. Comme il s'agit d'une contradiction, l'hypothèse initiale selon laquelle 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} est rationnel est faux, conduisant ainsi à la conclusion que 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} est irrationnel.
- Ce type de preuve est reductio ad absurdum (réduction à l'absurdité). Il tente de réfuter une affirmation en montrant que si l'affirmation était vraie, elle conduirait à une conclusion absurde, impossible ou peu pratique.
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