Comment apprendre l'algèbre?

Diviser des nombres négatifs avant de commencer à apprendre l'algèbre — En algèbre, il est courant d'utiliser des nombres négatifs, il est donc judicieux de revoir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres négatifs avant de commencer à apprendre l'algèbre.

Apprendre l'algèbre peut sembler intimidant, mais une fois qu'on a pris le coup, ce n'est pas si difficile! Il vous suffit de suivre l'ordre pour compléter les parties de l'équation et de garder votre travail organisé pour éviter les erreurs!

Partie 1 sur 5: apprendre les règles de base de l'algèbre

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Revoyez vos opérations mathématiques de base. Pour commencer à apprendre l'algèbre, vous aurez besoin de connaître des compétences mathématiques de base telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces mathématiques à l'école primaire/élémentaire sont essentielles avant de commencer à apprendre l'algèbre. Si vous ne maîtrisez pas ces compétences, il sera difficile d'aborder les concepts plus complexes enseignés en algèbre. Si vous avez besoin d'un rappel sur ces opérations, essayez notre article sur les compétences mathématiques de base.
- Vous n'avez pas nécessairement besoin d'être doué pour faire ces opérations de base dans votre tête pour résoudre des problèmes d'algèbre. De nombreux cours d'algèbre vous permettront d'utiliser une calculatrice pour gagner du temps lors de ces opérations simples. Cependant, vous devez au moins savoir comment effectuer ces opérations sans calculatrice lorsque vous n'êtes pas autorisé à en utiliser une.
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Connaître l'ordre des opérations. L'une des choses les plus délicates à propos de la résolution d'une équation algébrique en tant que débutant est de savoir par où commencer. Heureusement, il existe un ordre spécifique pour résoudre ces problèmes: effectuez d'abord toutes les opérations mathématiques entre parenthèses, puis effectuez les exposants, puis multipliez, puis divisez, puis ajoutez et enfin soustrayez. Un outil pratique pour se souvenir de cet ordre d'opérations est l'acronyme PEMDAS. Apprenez comment appliquer l'ordre des opérations ici. Pour rappel, l'ordre des opérations est:
- P arthèses
- E xponents
- M ultiplication
- D ivision
- Un ajout
- S ubtraction
- L'ordre des opérations est important en algèbre car faire les opérations dans un problème d'algèbre dans le mauvais ordre peut parfois affecter la réponse. Par exemple, si nous traitons le problème mathématique 8 + 2 × 5, si nous ajoutons d'abord 2 à 8, nous obtenons 10 × 5 = 50, mais si nous multiplions d'abord 2 et 5, nous obtenons 8 + 10 = 18. Seule la deuxième réponse est correcte.
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Savoir utiliser les nombres négatifs. En algèbre, il est courant d'utiliser des nombres négatifs, il est donc judicieux de revoir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres négatifs avant de commencer à apprendre l'algèbre. Vous trouverez ci-dessous quelques notions de base sur les nombres négatifs à garder à l'esprit - pour plus d'informations, consultez nos articles sur l'addition et la soustraction de nombres négatifs et la division et la multiplication de nombres négatifs.
- Sur une droite numérique, une version négative d'un nombre est à la même distance de zéro que le positif, mais dans la direction opposée.
- L'addition de deux nombres négatifs rend le nombre plus négatif (en d'autres termes, les chiffres seront plus hauts, mais puisque le nombre est négatif, il compte comme étant plus bas)
- Deux signes négatifs s'annulent - soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif
- Multiplier ou diviser deux nombres négatifs donne une réponse positive.
- Multiplier ou diviser un nombre positif et un nombre négatif donne une réponse négative.
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Sachez organiser les problèmes longs. Alors que des problèmes d'algèbre simples peuvent être résolus en un clin d'œil, des problèmes plus complexes peuvent nécessiter de nombreuses étapes. Pour éviter les erreurs, organisez votre travail en commençant une nouvelle ligne chaque fois que vous faites un pas vers la résolution de votre problème. Si vous avez affaire à une équation à deux faces, essayez d'écrire tous les signes égal ("="s) en dessous les uns des autres. De cette façon, si vous faites une erreur quelque part, elle sera beaucoup plus facile à trouver et à corriger.
- Par exemple, pour résoudre l'équation 3 - 5 + 3 × 4, nous pourrions garder notre problème organisé comme ceci:
  
  3 - 5 + 3 × 4
  
  3 - 5 + 12
  
  3 - 5 + 12
  
  3 + 7
  
  dix

Disons que nous réduisons une équation algébrique à x = 12507 — Par exemple, disons que nous réduisons une équation algébrique à x = 12507.

Partie 2 sur 5: comprendre les variables

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Recherchez des symboles qui ne sont pas des nombres. En algèbre, vous commencerez à voir des lettres et des symboles apparaître dans vos problèmes de mathématiques, plutôt que de simples nombres. Celles-ci sont appelées variables. Les variables ne sont pas aussi déroutantes qu'elles ne le paraissent au premier abord - ce ne sont que des moyens d'afficher des nombres avec des valeurs inconnues. Voici quelques exemples courants de variables en algèbre:
- Des lettres comme x, y, z, a, b et c
- Lettres grecques comme thêta, ou θ
- Notez que tous les symboles ne sont pas des variables inconnues. Par exemple, pi, ou, est toujours égal à environ 3,14159.
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Considérez les variables comme des nombres «inconnus». Comme mentionné ci-dessus, les variables ne sont fondamentalement que des nombres avec des valeurs inconnues. En d'autres termes, il y a un certain nombre qui peut remplacer la variable pour faire fonctionner l'équation. Habituellement, votre objectif dans un problème d'algèbre est de comprendre quelle est la variable - pensez-y comme un "nombre mystère" que vous essayez de découvrir.
- Par exemple, dans l'équation 2x + 3 = 11, x est notre variable. Cela signifie qu'il y a une valeur qui va à la place de x pour que le côté gauche de l'équation soit égal à 11. Puisque 2 × 4 + 3 = 11, dans ce cas, x = 4.
- Un moyen simple de commencer à comprendre les variables est de les remplacer par des points d'interrogation dans les problèmes d'algèbre. Par exemple, nous pourrions réécrire l'équation 2 + 3 + x = 9 sous la forme 2 + 3 + ? = 9. Cela permet de comprendre plus facilement ce que nous essayons de faire - nous avons juste besoin de savoir quel nombre ajouter à 2 + 3 = 5 pour obtenir 9. La réponse est à nouveau 4, bien sûr.
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Surveillez les variables récurrentes. Si une variable apparaît plus d'une fois, simplifiez les variables. Que faire si la même variable apparaît plus d'une fois dans l'équation? Bien que cette situation puisse sembler difficile à résoudre, vous pouvez en fait traiter les variables comme vous traiteriez les nombres normaux - en d'autres termes, vous pouvez les ajouter, les soustraire, et ainsi de suite tant que vous ne combinez que des variables qui se ressemblent. En d'autres termes, x + x = 2x, mais x + y n'est pas égal à 2xy.
- Par exemple, regardons l'équation 2x + 1x = 9. Dans ce cas, nous pouvons additionner 2x et 1x pour obtenir 3x = 9. Puisque 3 x 3 = 9, nous savons que x = 3.
- Notez à nouveau que vous ne pouvez additionner que les mêmes variables ensemble. Dans l'équation 2x + 1y = 9, nous ne pouvons pas combiner 2x et 1y car ce sont deux variables différentes.
- Cela est également vrai lorsqu'une variable a un exposant différent d'un autre. Par exemple, dans l'équation 2x + 3x ² = 10, nous ne pouvons pas combiner 2x et 3x ² car les variables x ont des exposants différents. Voir Comment ajouter des exposants pour plus d'informations.

Pour apprendre l'algèbre, assurez-vous de connaître l'ordre des opérations et comment utiliser les nombres négatifs.

Partie 3 sur 5: apprendre à résoudre des équations en "annulant"

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Essayez d'obtenir la variable par elle-même dans les équations algébriques. Résoudre une équation en algèbre signifie généralement découvrir quelle est la variable. Les équations algébriques sont généralement configurées avec des nombres et/ou des variables des deux côtés, comme ceci: x + 2 = 9 × 4. Pour déterminer quelle est la variable, vous devez l'obtenir par elle-même d'un côté du signe égal. Tout ce qui reste de l'autre côté du signe égal est votre réponse.
- Dans l'exemple (x + 2 = 9 × 4), pour obtenir x par lui-même sur le côté gauche de l'équation, nous devons nous débarrasser du " + 2". Pour ce faire, nous allons simplement soustraire 2 de ce côté, nous laissant avec x = 9 × 4. Cependant, pour garder les deux côtés de l'équation égaux, nous devons également soustraire 2 de l'autre côté. Cela nous laisse avec x = 9 × 4 - 2. En suivant l'ordre des opérations, nous multiplions d'abord, puis soustrayons, ce qui nous donne une réponse de x = 36 - 2 = 34.
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Annulez l'addition avec la soustraction (et vice versa). Comme nous venons de le voir ci-dessus, obtenir x par lui-même d'un côté du signe égal signifie généralement se débarrasser des nombres à côté. Pour ce faire, nous effectuons l'opération "opposée" des deux côtés de l'équation. Par exemple, dans l'équation x + 3 = 0, puisque nous voyons un " + 3" à côté de notre x, nous mettrons un " - 3" des deux côtés. Le "+ 3" et le "-3", laissant x seul et "-3" de l'autre côté du signe égal, comme ceci: x = -3.
- En général, l'addition et la soustraction sont comme des "opposés" - faites l'une pour vous débarrasser de l'autre. Voir ci-dessous:
  
  Pour l'addition, soustraire. Exemple: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
  
  Pour la soustraction, ajoutez. Exemple: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
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Annuler la multiplication avec division (et vice versa). La multiplication et la division sont un peu plus difficiles à travailler que l'addition et la soustraction, mais elles ont la même relation «opposée». Si vous voyez un "× 3" sur un côté, vous l'annulerez en divisant les deux côtés par 3, et ainsi de suite.
- Avec la multiplication et la division, vous devez effectuer l'opération inverse sur tout ce qui se trouve de l'autre côté du signe égal, même s'il s'agit de plusieurs nombres. Voir ci-dessous:
  
  Pour multiplier, diviser. Exemple: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2) /6
  
  Pour la division, multipliez. Exemple: x/5 = 25 → x = 25 × 5
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Annulez les exposants en prenant la racine (et vice versa). Les exposants sont un sujet de pré-algèbre assez avancé - si vous ne savez pas comment les faire, consultez notre article sur les exposants de base pour plus d'informations. L'«opposé» d'un exposant est la racine qui a le même nombre que lui. Par exemple, l'opposé de l' exposant ² est une racine carrée (√), l'opposé de l' exposant ³ est la racine cubique (³ √), et ainsi de suite.
- Cela peut être un peu déroutant, mais, dans ces cas, vous prenez la racine des deux côtés lorsque vous traitez avec un exposant. D'autre part, vous prenez l'exposant des deux côtés lorsque vous avez affaire à une racine. Voir ci-dessous:
  
  Pour les exposants, prenez la racine. Exemple: x ² = 49 → x = √49
  
  Pour les racines, prenez l'exposant. Exemple: x = 12 → x = 12²

En d'autres termes, x + x = 2x, mais x + y n'est pas égal à 2xy.

Partie 4 sur 5: affûter vos compétences en algèbre

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Utilisez des images pour rendre les problèmes plus clairs. Si vous avez du mal à visualiser un problème d'algèbre, essayez d'utiliser des diagrammes ou des images pour illustrer votre équation. Vous pouvez même essayer d'utiliser un groupe d'objets physiques (comme des blocs ou des pièces) à la place si vous en avez sous la main.
- Par exemple, résolvons l'équation x + 2 = 3 en utilisant des cases (☐)
  
  x +2 = 3
  
  +☐☐ =☐☐☐
  
  À ce stade, nous soustrairons 2 des deux côtés en supprimant simplement 2 cases (☐☐) des deux côtés:
  
  +☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
  
  =☐, ou x = 1
- Comme autre exemple, essayons 2x = 4
  
  =☐☐☐☐
  
  À ce stade, nous allons diviser les deux côtés par deux en séparant les cases de chaque côté en deux groupes:
  
  ☒|☒ =☐☐|☐☐
  
  =, ou x = 2
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Utilisez des «contrôles de bon sens» (en particulier pour les problèmes de mots). Lorsque vous convertissez un problème de mots en algèbre, essayez de vérifier votre formule en insérant des valeurs simples pour votre variable. Votre équation a-t-elle un sens lorsque x=0? Quand x=1? Quand x = -1? Il est facile de faire des erreurs simples en écrivant p=6d quand vous voulez dire p=d/6, mais celles-ci sont facilement détectées si vous effectuez une vérification rapide de votre travail avant d'aller plus loin.
- Par exemple, disons qu'on nous dit qu'un terrain de football mesure 30 mètres (27,4 m) de plus que large. Nous utilisons l'équation l = w + 30 pour représenter cela. Nous pouvons tester si cette équation a du sens en insérant des valeurs simples pour w. Par exemple, si le champ mesure w = 10 mètres (9,1 m) de large, il fera 10 + 30 = 40 mètres (36,6 m) de long. S'il fait 30 mètres (27,4 m) de large, il fera 30 + 30 = 60 mètres (54,9 m) de long, et ainsi de suite. Cela a du sens - nous nous attendons à ce que le champ s'allonge à mesure qu'il s'élargit, donc cette équation est raisonnable.
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Sachez que les réponses ne seront pas toujours des nombres entiers en algèbre. Les réponses en algèbre et autres formes avancées de mathématiques ne sont pas toujours des nombres ronds et faciles. Ils peuvent souvent être des nombres décimaux, des fractions ou des nombres irrationnels. Une calculatrice peut vous aider à trouver ces réponses compliquées, mais gardez à l'esprit que votre professeur peut vous demander de donner votre réponse sous sa forme exacte, et non dans une décimale lourde.
- Par exemple, disons que nous réduisons une équation algébrique à x = 1250⁷. Si nous tapons 1250⁷ dans une calculatrice, nous obtiendrons une énorme chaîne de décimales (de plus, puisque l'écran de la calculatrice n'est que si grand, il ne peut pas afficher la réponse entière.) Dans ce cas, nous pouvons vouloir représenter notre réponse comme simplement 1250⁷ ou bien simplifier la réponse en l'écrivant en notation scientifique.
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Essayez d'étendre vos compétences. Lorsque vous êtes à l'aise avec l'algèbre de base, essayez la factorisation. L'une des compétences d'algèbre les plus délicates est la factorisation - une sorte de raccourci pour transformer des équations complexes en formes simples. L'affacturage est un sujet d'algèbre semi-avancé, alors pensez à consulter l'article lié ci-dessus si vous avez du mal à le maîtriser. Vous trouverez ci-dessous quelques conseils rapides pour la factorisation des équations:
- Les équations de la forme ax + ba se multiplient par a(x + b). Exemple: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Les équations de la forme ax ² + bx se multiplient par cx((a/c)x + (b/c)) où c est le plus grand nombre qui se divise en a et b de manière égale. Exemple: 3y ² + 12y = 3y(y + 4)
- Les équations de la forme x ² + bx + c se multiplient par (x + y)(x + z) où y × z = c et yx + zx = bx. Exemple: x ² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
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Entraînez-vous, entraînez-vous, entraînez-vous! Les progrès en algèbre (et tout autre type de mathématiques) nécessitent beaucoup de travail acharné et de répétition. Ne vous inquiétez pas - en faisant attention en classe, en faisant tous vos devoirs et en demandant l'aide de votre professeur ou d'autres étudiants lorsque vous en avez besoin, l'algèbre deviendra une seconde nature.
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Demandez à votre professeur de vous aider à comprendre des sujets d'algèbre délicats. Si vous avez du mal à maîtriser l'algèbre, ne vous inquiétez pas, vous n'avez pas à l'apprendre par vous-même. Votre professeur est la première personne à qui vous devez vous tourner pour poser des questions. Après le cours, demandez poliment de l'aide à votre professeur. Les bons enseignants seront généralement disposés à réexpliquer le sujet du jour lors d'un rendez-vous après l'école et peuvent même être en mesure de vous donner du matériel de pratique supplémentaire.
- Si, pour une raison quelconque, votre professeur ne peut pas vous aider, essayez de lui demander quelles sont les options de tutorat dans votre école. De nombreuses écoles proposent une sorte de programme parascolaire qui peut vous aider à obtenir le temps et l'attention supplémentaires dont vous avez besoin pour commencer à exceller dans votre algèbre. N'oubliez pas que l'utilisation de l'aide gratuite à votre disposition n'est pas quelque chose dont vous devez être gêné - c'est un signe que vous êtes assez intelligent pour résoudre votre problème!

Partie 5 sur 5: explorer des sujets intermédiaires

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Apprenez à représenter graphiquement des équations x/y. Les graphiques peuvent être des outils précieux en algèbre, car ils vous permettent d'afficher des idées pour lesquelles vous auriez généralement besoin de nombres dans des images faciles à comprendre. Habituellement, au début de l'algèbre, les problèmes graphiques sont limités aux équations à deux variables (généralement x et y) et sont effectués sur un simple graphique 2D avec un axe x et un axe y. Avec ces équations, tout ce que vous avez à faire est de saisir une valeur pour x, puis de résoudre pour y (ou de faire l'inverse) pour obtenir deux nombres qui correspondent à un point sur le graphique.
- Par exemple, dans l'équation y = 3x, si nous entrons 2 pour x, nous obtenons y = 6. Cela signifie que le point (26) (deux espaces à droite du centre et six espaces au-dessus du centre) fait partie de ce graphique de l'équation.
- Les équations de la forme y = mx + b (où m et b sont des nombres) sont particulièrement courantes en algèbre de base. Ces équations ont toujours une pente de m et croisent l'axe des y à y = b.
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Apprendre à résoudre des inégalités. Que faites-vous lorsque votre équation n'utilise pas de signe égal? Rien de bien différent de ce que vous feriez normalement, il s'avère. Pour les inégalités, qui utilisent des signes tels que > ("supérieur à") et < ("inférieur à"), résolvez simplement comme d'habitude. Vous vous retrouverez avec une réponse inférieure ou supérieure à votre variable.
- Par exemple, avec l'équation 3 > 5x - 2, nous résoudrons comme nous le ferions pour une équation normale:
  
  3 > 5x - 2
  
  5 > 5x
  
  1 > x, ou x < 1.
- Cela signifie que chaque nombre inférieur à un fonctionne pour x. En d'autres termes, x peut être 0, -1, -2, etc. Si nous insérons ces nombres dans l'équation de x, nous obtiendrons toujours une réponse inférieure à 3.
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S'attaquer aux équations quadratiques. Un sujet d'algèbre avec lequel de nombreux débutants ont du mal est la résolution d'équations quadratiques. Les quadratiques sont des équations de la forme ax ² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres (sauf que a ne peut pas être 0.) Ces équations sont résolues avec la formule x = [-b +/- (b ² - 4ac)]/2a. Soyez prudent - le signe +/- signifie que vous devez trouver les réponses pour ajouter et soustraire, vous pouvez donc avoir deux réponses pour ces types de problèmes.
- A titre d'exemple, résolvons la formule quadratique 3x ² + 2x -1 = 0.
  
  x = [-b +/- (b ² - 4ac)]/2a
  
  x = [-2 +/- √(2² - 4(3)(-1))]/2(3)
  
  x = [-2 +/- (4 - (-12))]/6
  
  x = [-2 +/- (16)]/6
  
  x = [-2 +/- 4]/6
  
  x = -1 et 0,33
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Expérimentez avec des systèmes d'équations. Résoudre plus d'une équation à la fois peut sembler super difficile, mais lorsque vous travaillez avec des équations algébriques simples, ce n'est pas si difficile. Souvent, les professeurs d'algèbre utilisent une approche graphique pour résoudre ces problèmes. Lorsque vous travaillez avec un système de deux équations, les solutions sont les points sur un graphique où les lignes des deux équations se croisent.
- Par exemple, disons que nous travaillons avec un système qui contient les équations y = 3x - 2 et y = -x - 6. Si nous traçons ces deux lignes sur un graphique, nous obtenons une ligne qui monte à un angle raide, et un qui descend à un angle doux. Puisque ces lignes se croisent au point (-1,-5), il s'agit d'une solution au système.
- Si nous voulons vérifier notre problème, nous pouvons le faire en insérant notre réponse dans les équations du système - une bonne réponse devrait "fonctionner" pour les deux.
  
  y = 3x - 2
  
  -5 = 3(-1) - 2
  
  -5 = -3 - 2
  
  -5 = -5
  
  y = -x - 6
  
  -5 = -(-1) - 6
  
  -5 = 1 - 6
  
  -5 = -5
- Les deux équations "vérifient", donc notre réponse est correcte!

Voici quelques exemples courants de variables en algèbre: Notez que tous les symboles ne sont pas des variables inconnues.

Conseils

Il existe des tonnes de ressources pour les personnes qui apprennent l'algèbre en ligne. Par exemple, une simple requête de moteur de recherche comme «aide à l'algèbre» peut donner des dizaines d'excellents résultats. Vous pouvez également essayer de parcourir la sélection d'articles mathématiques du guide. Il existe une énorme quantité d'informations, alors commencez à explorer dès aujourd'hui!
Un excellent site pour les débutants en algèbre est khanacademy.com. Ce site gratuit propose des tonnes de leçons faciles à suivre sur une grande variété de sujets, y compris l'algèbre. Il y a des vidéos pour tout, des bases extrêmes aux sujets avancés de niveau universitaire, alors n'ayez pas peur de plonger dans le matériel de Khan Academy et commencez à utiliser toute l'aide que le site a à offrir!
N'oubliez pas que vos meilleures ressources lorsque vous essayez d'apprendre l'algèbre peuvent être les personnes avec lesquelles vous êtes déjà à l'aise. Essayez de parler à des amis ou à des camarades qui suivent le cours avec vous si vous avez besoin d'aide supplémentaire pour comprendre votre dernière leçon.
Les Britanniques et d'autres appellent l'ordre des opérations BODMAS. Parenthèses, de, Division, Multiplication, Addition et Soustraction.

Lisez aussi: Comment trouver la densité de l'eau?