Comment trouver la factorisation première?

Si on vous demande de trouver la factorisation première d'un nombre premier, vous n'avez aucun travail à faire.

La factorisation en nombres premiers décompose un nombre en ses blocs de construction les plus simples. Si vous détestez travailler avec de grands nombres comme 5733, apprenez à le transformer en 3 x 3 x 7 x 7 x 13 à la place. Ce type de problème est vital pour la cryptographie, ou les techniques utilisées pour sécuriser les informations. Si vous n'êtes pas encore prêt à créer votre propre système de messagerie sécurisé, essayez plutôt d'utiliser la factorisation principale pour faciliter les fractions.

Partie 1 sur 2: trouver la factorisation première

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Comprendre la factorisation. La factorisation est le processus consistant à «décomposer» un nombre en parties plus petites. Ces parties, ou facteurs, se multiplient les unes avec les autres pour égaler le nombre d'origine.
- Par exemple, pour factoriser le nombre 18, divisez-le en 1 x 18, ou en 2 x 9, ou en 3 x 6.
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Revoir les nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux facteurs: lui-même et 1. Le nombre 5, par exemple, est le produit de 5 et 1. Vous ne pouvez pas le décomposer en d'autres nombres. Le but de la factorisation en nombres premiers est de continuer à décomposer un nombre jusqu'à ce qu'il ne reste que des nombres premiers. Ceci est particulièrement utile lors de la manipulation de fractions, ce qui les rend plus faciles à comparer et à utiliser dans les équations.
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Commencez par un nombre. Choisissez n'importe quel nombre non premier supérieur à 3. Il ne sert à rien de commencer par un nombre premier, car il n'y a aucun moyen de le factoriser.
- Exemple: Dans ce guide, nous allons trouver la factorisation première de 24.
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Factorisez-le en deux nombres quelconques. Trouvez deux nombres qui se multiplient ensemble pour obtenir le nombre avec lequel vous avez commencé. Vous pouvez en utiliser deux, mais un nombre premier facilitera votre travail. Une bonne stratégie consiste à essayer de diviser le nombre par 2, puis 3, puis 5, en remontant les nombres premiers jusqu'à ce que vous en trouviez un qui se divise uniformément.
- Exemple: Si vous ne connaissez aucun facteur de 24, essayez de le diviser par de petits nombres premiers. Divisons par 2 pour obtenir 24 = 2 x 12. Nous n'avons pas encore fini, mais c'est un bon début.
- Puisque 2 est premier, c'est un moyen facile de commencer lors de la factorisation de n'importe quel nombre pair.
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Commencez à créer un arbre à facteurs. Un arbre de facteurs est un moyen simple de suivre un problème de factorisation. Pour en commencer un, dessinez simplement deux "branches" en se séparant du numéro d'origine. Écrivez vos deux facteurs à la fin de ces branches.
- Exemple:
- 24
- /\
- 2 12
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Factoriser la prochaine ligne de nombres. Regardez vos deux nouveaux nombres (la deuxième ligne de votre arbre des facteurs). Sont-ils tous les deux premiers? Si l'un d'eux n'est pas un nombre premier, factorisez-le à nouveau de la même manière. Dessinez d'autres branches sur l'arbre et écrivez les nouveaux facteurs sur une troisième ligne.
- Exemple: 12 n'est pas un nombre premier, nous le factorisons donc à nouveau. Utilisons 12 = 2 x 6 et ajoutons-le à l'arbre des facteurs:
- 24
- /\
- 2 12
- /\
- 2x6
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Faites tomber le premier. Si l'un des facteurs est premier, ramenez-le sur la ligne suivante avec sa propre "branche". Il n'y a aucun moyen de le décomposer davantage, nous en gardons donc une trace pour le moment.
- Exemple: 2 est un nombre premier. Ramenez le 2 de la deuxième ligne à la troisième.
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
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Continuez à factoriser jusqu'à ce qu'il ne vous reste que des nombres premiers. Vérifiez chaque nouvelle ligne de l'arbre des facteurs une fois que vous l'avez écrite. Si l'un des nombres peut être à nouveau factorisé, créez une nouvelle ligne. Vous avez terminé une fois qu'il ne reste que des nombres premiers.
- Exemple: 6 est un nombre non premier et doit être à nouveau factorisé. 2 est un nombre premier, nous ramenons donc simplement les 2 à la rangée suivante.
- 24
- /\
- 2 12
- / /\
- 2 2 6
- / / /\
- 2 2 2 3
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Écrivez la dernière ligne comme vos facteurs premiers. Finalement, vous n'aurez plus que des nombres premiers. Lorsque cela se produit, vous avez terminé l'affacturage. La factorisation première est la dernière ligne entière de nombres, écrite comme un problème de multiplication.
- Vérifiez votre travail en multipliant la dernière ligne ensemble. Il doit être égal au nombre d'origine.
- Exemple: La dernière ligne de notre arbre de facteurs n'a que des 2 et des 3. Ce sont les deux nombres premiers, donc nous avons terminé. Nous pouvons écrire la factorisation première de 24 sous la forme 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- L'ordre des facteurs n'a pas d'importance. 2 x 3 x 2 x 2 est également une bonne réponse.
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Simplifiez en utilisant des exposants (facultatif). Si vous savez écrire les exposants, vous pouvez rendre la factorisation première plus facile à lire. N'oubliez pas qu'un exposant est un nombre de base, suivi d'un nombre en ^relief qui indique combien de fois la base est multipliée.
- Exemple: Dans la factorisation 2 x 2 x 2 x 3, combien de fois 2 apparaît-il? Puisque la réponse est "trois", nous pouvons simplifier 2 x 2 x 2 avec 2³. La factorisation première simplifiée est 2³ x 3.

En utilisant la factorisation en nombres premiers — Voici comment trouver le GCF de 30 et 36, en utilisant la factorisation en nombres premiers: Trouvez les factorisations en nombres premiers des deux nombres.

Partie 2 sur 2: utiliser la factorisation en nombres premiers

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Trouvez le plus grand facteur commun de deux nombres. Le plus grand facteur commun (GCF) de deux nombres est le plus grand nombre qui est un facteur des deux nombres. Voici comment trouver le GCF de 30 et 36, en utilisant la factorisation en nombres premiers:
- Trouvez les factorisations premières des deux nombres. La factorisation première de 30 est 2 x 3 x 5. La factorisation première de 36 est 2 x 2 x 3 x 3.
- Trouvez un nombre qui apparaît sur les deux factorisations premières. Rayez-le une fois sur chaque liste et écrivez-le sur une nouvelle ligne. Par exemple, 2 est sur les deux listes, nous écrivons donc 2 sur une nouvelle ligne. Il nous reste 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Répétez jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs en commun. Il y a aussi un 3 sur les deux listes, alors écrivez-le sur votre nouvelle ligne pour faire 2 et 3. Comparez 30 = ~~2 x 3~~ x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Il n'y a plus de nombres en commun.
- Pour trouver le GCF, multipliez tous les facteurs partagés ensemble. Nous avons juste 2 et 3 dans notre exemple, donc le GCF est 2 x 3 = 6. C'est le plus grand nombre qui est à la fois un facteur de 30 et un facteur de 36.
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Simplifiez les fractions avec le GCF. Utilisez le plus grand facteur commun chaque fois que vous pensez qu'une fraction n'est pas dans sa forme la plus simple. Trouvez le GCF du numérateur et du dénominateur, en utilisant le processus ci-dessus. Une fois que vous l'avez trouvée, divisez les deux parties de la fraction par le GCF. La réponse sera la même fraction sous sa forme la plus simple.
- Par exemple, simplifiez la fraction ³⁰ / ₃₆. Nous avons déjà découvert que le GCF est de 6, alors divisez à la fois le numérateur et le dénominateur par 6:
- 30 6 = 5
- 36 6 = 6
- ³⁰ / ₃₆ = ⁵/₆
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Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres. Le plus petit commun multiple (LCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui a les deux premiers nombres comme facteurs. Par exemple, le LCM de 2 et 3 est 6, car il a à la fois 2 et 3 comme facteurs. Voici un exemple de recherche de LCM à partir de la factorisation en nombres premiers:
- Commencez par deux factorisations premières. Par exemple, la factorisation première de 126 est 2 x 3 x 3 x 7. La factorisation première de 84 est 2 x 2 x 3 x 7.
- Pour chaque facteur unique, comparez le nombre de fois qu'il apparaît dans chaque liste. Choisissez une liste où elle apparaît le plus de fois et encerclez chaque occurrence. Par exemple, 2 apparaît une fois dans les facteurs de 126, mais deux fois dans la liste pour 84. Encerclez le 2 x 2 dans la deuxième liste.
- Répétez l'opération pour chaque facteur unique. Par exemple, 3 apparaît le plus souvent dans la première liste, alors encerclez le 3 x 3 ici. 7 n'apparaît qu'une seule fois sur chaque liste, alors encerclez un seul 7. (Peu importe la liste que vous choisissez en cas d'égalité.)
- Multipliez tous vos nombres encerclés ensemble pour trouver le LCM. Dans notre exemple, le plus petit commun multiple de 126 et 84 est 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. C'est le plus petit nombre qui a à la fois 126 et 84 comme facteurs.
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Utilisez le LCM lors de l'ajout de fractions. Avant de pouvoir additionner deux fractions, leurs dénominateurs doivent être les mêmes. Trouvez le plus petit commun multiple des deux dénominateurs. Multipliez chaque fraction de sorte que le nouveau dénominateur soit le LCM. Une fois que les deux fractions sont sous cette forme, vous pouvez les additionner.
- Par exemple, nous voulons résoudre ¹/₆ + ⁴ / ₂₁.
- En utilisant la méthode ci-dessus, nous pouvons trouver le LCM de 6 et 21. La réponse est 42.
- Transformez ¹/₆ en fraction avec 42 comme dénominateur. Pour ce faire, résolvez 42 ÷ 6 = 7. Multipliez ¹/₆ x ⁷/₇ = ⁷ / ₄₂.
- Pour transformer ⁴ / ₂₁ en une fraction avec 42 comme dénominateur, résolvez 42 ÷ 21 = 2. Multipliez ⁴ / ₂₁ x ²/₂ = ⁸ / ₄₂.
- Maintenant que nous avons les fractions dans des formes avec le même dénominateur, nous pouvons les additionner facilement: ⁷ / ₄₂ + ⁸ / ₄₂ = ¹⁵ / ₄₂.

Trouvez les factorisations premières de 18 et 52, puis trouvez leur plus petit commun multiple: La factorisation première de 18 est 2 x 3 x 3.

Problèmes de pratique

Essayez de résoudre ces problèmes par vous-même. Lorsque vous pensez avoir la bonne réponse, mettez la réponse en surbrillance pour la rendre visible. Les problèmes ultérieurs sont plus difficiles.
Trouvez la factorisation première de 16: 2 x 2 x 2 x 2
Écrivez votre réponse en utilisant les exposants: 2⁴
Trouvez la factorisation première de 45: 3 x 3 x 5
Écrivez votre réponse en utilisant des exposants: 3² x 5
Trouvez la factorisation première de 34: 2 x 17
Trouvez la factorisation première de 154: 2 x 7 x 11
Trouvez les factorisations premières de 8 et 40, puis trouvez leur plus grand facteur commun: La factorisation première de 8 est 2 x 2 x 2 x 2. La factorisation première de 40 est 2 x 2 x 2 x 5. Leur GCF est 2 x 2 x 2 = 6.
Trouvez les factorisations premières de 18 et 52, puis trouvez leur plus petit commun multiple: La factorisation première de 18 est 2 x 3 x 3. La factorisation première de 52 est 2 x 2 x 13. Leur LCM est 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Trouvez les factorisations premières de 8 et 40, puis trouvez leur plus grand facteur commun: La factorisation première de 8 est 2 x 2 x 2 x 2.

Conseils

Chaque nombre a une factorisation première unique. Quels que soient les facteurs que vous choisissez en cours de route, vous obtiendrez ce résultat unique. C'est ce qu'on appelle le théorème fondamental de l'arithmétique.
Au lieu de ramener les nombres premiers sur chaque nouvelle ligne de l'arbre des facteurs, vous pouvez les laisser où ils sont et les encercler à la place. Lorsque vous avez terminé la factorisation, tous les nombres encerclés seront les facteurs premiers.
Vérifiez toujours votre travail. Vous pouvez faire des erreurs simples et ne pas les voir.
Attention aux questions pièges. Si on vous demande de trouver la factorisation première d'un nombre premier, vous n'avez aucun travail à faire. La factorisation première de 17 est 17; il n'y a aucun moyen de le décomposer davantage.
Vous pouvez trouver le plus grand facteur commun et le plus petit multiplicateur commun de trois nombres ou plus.

Mises en garde

Un arbre de facteurs ne vous dit pas tous les facteurs possibles, seulement les nombres premiers.

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