Comment diviser des nombres complexes?
Lorsque vous divisez des nombres complexes, ou des nombres écrits sous la forme z = a plus b fois i, écrivez les 2 nombres complexes sous forme de fraction. Trouvez le conjugué complexe du dénominateur, également appelé barre z, en inversant le signe du nombre imaginaire, ou i, dans le dénominateur. Multipliez le numérateur et le dénominateur par ce conjugué complexe, puis simplifiez et séparez le résultat en composants réels et imaginaires. Continuez votre lecture pour apprendre à diviser des nombres complexes à l'aide de coordonnées polaires!
Lorsque vous divisez des nombres complexes, ou des nombres écrits sous la forme z = a plus b fois i, écrivez les 2 nombres complexes sous forme de fraction.
Un nombre complexe est un nombre qui peut être écrit sous la forme z=a+bi,{\displaystyle z=a+bi,} où a{\displaystyle a} est le composant réel, b{\displaystyle b} est l'imaginaire et i{\displaystyle i} est un nombre satisfaisant i2=−1.{\displaystyle i^{2}=-1.}
Continuez votre lecture pour apprendre à diviser des nombres complexes en utilisant des coordonnées polaires!
Les nombres complexes satisfont à de nombreuses propriétés des nombres réels, telles que la commutativité et l'associativité. Cependant, lorsqu'une expression est écrite comme le rapport de deux nombres complexes, il n'est pas immédiatement évident que le nombre est complexe. Mais étant donné que le champ des nombres complexes doit contenir un inverse multiplicatif, l'expression finit par être simplement un produit de deux nombres complexes et doit donc être complexe. Nous montrons comment écrire de tels rapports sous la forme standard a+bi{\displaystyle a+bi} en coordonnées cartésiennes et polaires.
Partie 1 sur 2: coordonnées cartésiennes
- 1Commencez par le rapport. Dans cette section, nous allons montrer comment diviser deux nombres complexes et montrer pourquoi cela fonctionne.
- 2+3i3+6i{\displaystyle {\frac {2+3i}{3+6i}}}
- 2Trouvez le conjugué complexe du dénominateur. Le complexe conjugué z¯,{\displaystyle {\bar {z}},} prononcé "z-bar", est simplement le nombre complexe avec le signe de la partie imaginaire inversé. Par exemple, le conjugué du nombre 3+6i{\displaystyle 3+6i} est 3−6i.{\displaystyle 3-6i.}
- 3Multipliez le numérateur et le dénominateur par ce complexe conjugué. La raison pour laquelle cela fonctionne est que pour tout nombre complexe z,{\displaystyle z,} le multiplier par son conjugué donne un nombre réel zz¯=(a+bi)(a−bi)=a2+b2,{\displaystyle z {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2},} car a{\displaystyle a} et b{\displaystyle b} sont tous les deux réels. Les i sont ensuite retirés du dénominateur. Rappelez-vous que nous multiplions vraiment par 1, donc le haut et le bas doivent être multipliés par le même nombre. Le processus et le raisonnement sont similaires à ceux de la rationalisation du dénominateur.
- 2+3i3+6i⋅3−6i3−6i=6+9i−12i+189+36=24−3i45{\displaystyle {\frac {2+3i}{3+6i}}\cdot {\frac {3- 6i}{3-6i}}={\frac {6+9i-12i+18}{9+36}}={\frac {24-3i}{45}}}
- N'oubliez pas que i2=−1.{\displaystyle i^{2}=-1.} Cela signifie que vous devez porter une attention particulière aux signes.
- 4Simplifiez et séparez le résultat en composants réels et imaginaires. Nous avons maintenant une fraction avec un nombre réel au dénominateur, il ne reste donc plus qu'à la mettre sous la forme a+bi.{\displaystyle a+bi.}
- 24−3i45=8−i15=815-115i{\displaystyle {\frac {24-3i}{45}}={\frac {8-i}{15}}={\frac {8}{15}} -{\frac {1}{15}}i}
Cependant, lorsqu'une expression est écrite comme le rapport de deux nombres complexes, il n'est pas immédiatement évident que le nombre est complexe.
Partie 2 sur 2: coordonnées polaires
- 1Revoir des graphiques rectangulaires de nombres complexes. Vous avez peut-être déjà appris à représenter graphiquement un nombre complexe sur le plan complexe. L'axe horizontal désigne l'axe réel, tandis que l'axe vertical est l'axe imaginaire. Ci-dessus est un graphique d'un nombre complexe arbitraire sur le plan complexe. Il est important de comprendre ce que signifient ces graphiques, car la nature des nombres complexes signifie que nous pouvons établir des liens étroits entre leurs propriétés algébriques (comme indiqué dans la partie 1) et leurs propriétés géométriques.
- 2Comprendre les coordonnées polaires. En coordonnées polaires, on note les points avec deux variables r{\displaystyle r} et θ,{\displaystyle \theta,} où r{\displaystyle r} est la distance du pôle et θ{\displaystyle \theta } est l'angle de l'axe polaire. Dans le contexte de nombres complexes, la magnitude du nombre est appelé le module, tandis que son angle de l'axe polaire est appelé son argument.
- Rappelez-vous les conversions de coordonnées de cartésien à polaire.
- x=rcosθ{\displaystyle x=r\cos \theta }
- y=rsinθ{\displaystyle y=r\sin \theta }
- Nous pouvons donc écrire n'importe quel nombre complexe sur le plan complexe sous la forme z=r(cosθ+isinθ).{\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta).} En utilisant la formule d'Euler, nous peut le compacter en z=reiθ.{\displaystyle z=re^{i\theta }.}
- Dans cette section, nous montrerons que traiter des nombres complexes sous forme polaire est beaucoup plus simple que de les traiter sous forme cartésienne.
- Rappelez-vous les conversions de coordonnées de cartésien à polaire.
- 3Commencez par le rapport. Faisons un exemple différent.
- 3+3i2+23i{\displaystyle {\frac {3+3i}{2+2{\sqrt {3}}i}}}
- 4Convertissez vos nombres complexes en forme polaire. Si vos nombres sont déjà sous forme polaire, sautez cette étape. Sinon, utilisez les relations ci-dessous.
- r=a2+b2{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
- θ=tan−1(ba){\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}
- Dans notre exemple, nous avons deux nombres complexes à convertir en polaire. Appelons-les z1z2{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}} et utilisons la notation z=reiθ.{\displaystyle z=re^{i\theta }.}
- z1=3+3i=32eiπ/4{\displaystyle z_{1}=3+3i=3{\sqrt {2}}e^{i\pi /4}}
- z2=2+23i=4eiπ/3{\displaystyle z_{2}=2+2{\sqrt {3}}i=4e^{i\pi /3}}
- 5Divisez les deux nombres complexes. Lorsque nous écrivons les nombres sous forme polaire, nous constatons que tout ce que nous avons à faire est de diviser les magnitudes et de soustraire les angles. De même, lorsque nous multiplions deux nombres complexes sous forme polaire, nous multiplions les magnitudes et ajoutons les angles.
- z1z2=32eiπ/44eiπ/3=324ei(π4−π3)=324e−iπ/12{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac { 3{\sqrt {2}}e^{i\pi /4}}{4e^{i\pi /3}}}&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}e ^{i\gauche({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{3}}\right)}\\&={\frac {3{\sqrt {2}}} {4}}e^{-i\pi /12}\end{aligned}}}
- 6Reconvertir en coordonnées cartésiennes. Utilisez les relations suivantes. Notre angle est θ=−π12,{\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{12}},} qui n'est généralement pas indiqué sur le cercle unité. Vous pouvez soit utiliser une calculatrice, soit trouver les valeurs exactes de cos(−π12){\displaystyle \cos \left(-{\frac {\pi }{12}}\right)} et sin(−π12){ \displaystyle \sin \left(-{\frac {\pi }{12}}\right)} en utilisant des identités de sommation trigonométrique. Ci-dessous, nous utilisons les identités pour écrire les composants sous forme exacte. Ces identités sont disponibles en ligne ou dans les manuels.
- a=rcosθ{\displaystyle a=r\cos {\theta }}
- b=rsinθ{\displaystyle b=r\sin {\theta }}
- a=324cos(−π12)=324cos(π4−π3)=324(cosπ4cosπ3+sinπ4sinπ3)=324(22⋅12+22⋅32)=324⋅2+64=3 +338{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\cos \left(-{\frac {\pi }{12}}\right) \\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{3}}\ droite)\\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\gauche(\cos {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{3 }}+\sin {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{ 4}}\gauche({\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot { \frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}} +{\sqrt {6}}}{4}}\\&={\frac {3+3{\sqrt {3}}}{8}}\end{aligned}}}
- b=324sin(−π12)=324⋅2−64=3−338{\displaystyle {\begin{aligned}b&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\sin \left (-{\frac {\pi }{12}}\right)\\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}} -{\sqrt {6}}}{4}}\\&={\frac {3-3{\sqrt {3}}}{8}}\end{aligned}}}
- 7Écrivez le nombre complexe sous forme standard. Bien que les conversions ci-dessus aient pris pas mal d'étapes, il est important de reconnaître que l'acte de convertir d'un système de coordonnées à un autre est la partie "difficile". Lorsqu'il s'agit de nombres complexes purement en polaire, les opérations de multiplication, de division, voire d'exponentiation (cf. formule de De Moivres) sont très faciles à réaliser.
- 3+338+3−338i{\displaystyle {\frac {3+3{\sqrt {3}}}{8}}+{\frac {3-3{\sqrt {3}}}{8}}i }
Mais étant donné que le champ des nombres complexes doit contenir un inverse multiplicatif, l'expression finit par être simplement un produit de deux nombres complexes et doit donc être complexe.
- Il est facile de montrer pourquoi multiplier deux nombres complexes sous forme polaire équivaut à multiplier les magnitudes et à additionner les angles. Écris deux nombres complexes sous forme polaire et multiplie-les. Ensuite, nous pouvons utiliser des identités de sommation trigonométriques pour rassembler les parties réelles et imaginaires.
- z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1cosθ2+isinθ1cosθ2+isinθ2cosθ1−sinθ1sinθ2)= r1r2((cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+sinθ2cosθ1))=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)) {\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}z_{2}&=r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})\\&=r_{1}r_{2}(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}) \\&=r_{1}r_{2}((\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})+i (\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}))\\&=r_{1}r_{2}(\ cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))\end{aligned}}}
Lisez aussi: Comment trouver les racines de l'unité?
En parallèle
