Comment calculer (x+y)^n avec le triangle de Pascal?

Cela semble presque impossible, mais ce n'est vraiment pas difficile si vous commencez par une simple substitution. Regardez les termes entre parenthèses. Renommez A=x^3 et B=y. Ensuite, nous pouvons réécrire cette expression sous la forme (A+B)^4. Maintenant, l'utilisation du triangle de Pascal rend cela assez simple. Trouvez la quatrième rangée du triangle de Pascal, qui est 1-4-6-4-1. Ces nombres fournissent les coefficients de votre solution, qui ressemblera à 1__ +4__ + 6__+4__+1__. Maintenant, nous devons juste comprendre ce qui se passe dans ces blancs. N'oubliez pas (à partir de l'article ci-dessus) que chaque blanc est le produit des termes binomiaux A et B. Les exposants de A commencent à 4 et comptent à rebours jusqu'à 0 en allant de gauche à droite. Les exposants de B commencent à 0 et comptent jusqu'à 4 en allant de gauche à droite. Ainsi, le premier terme de votre solution sera 1(A^4)(B^0).J'ai écrit le terme B^0 pour montrer la solution, mais rappelez-vous que tout ce qui augmente la puissance ^0 n'est que de 1, donc cela disparaîtra essentiellement. Le deuxième terme sera (4)(A^3)(B^1). Le troisième terme sera (6)(A^2)(B^2). Notez que c'est le point où les exposants pour A et B sont égaux. Continuez maintenant. Le quatrième terme sera (4)(A^1)(B^3). Le terme final sera (1)(A^0)(B^4). Combinez ces termes individuels et supprimez les exposants ^0, et vous obtiendrez le résultat A^4+4(A^3)(B)+6(A^2)(B^2)+4(A)(B ^3)+B^4. Maintenant, il vous suffit de revenir en arrière et de remplacer A et B par les valeurs d'origine de A=x^3 et B=y. Changer le B pour y sera facile. Mais pour les termes A, il faut faire attention aux exposants des exposants. Tout d'abord, effectuez la substitution et vous pourrez ensuite la simplifier plus tard.Utilisez votre résultat de A^4+4(A^3)(B)+6(A^2)(B^2)+4(A)(B^3)+B^4 mais remettez les termes (x ^3) et y. Cela donnera (x^3)^4 + (4)(x^3)^3 (y) + (6)(x^3)^2(y^2) + (4)(x^3)(y^3) + y^4. Comme dernière étape, rappelez-vous que pour simplifier un exposant élevé à un autre exposant, il vous suffit de multiplier les deux nombres ensemble. Par conséquent, dans le premier terme, (x^3)^4, multipliez simplement 3*4, et vous aurez x^12. Faites cela pour chaque terme, et votre résultat se simplifie en (x^12)+(4x^9)(y)+(6x^6)(y^2)+4(x^3)(y^3)+y ^4. Ceci est votre solution finale.et votre résultat se simplifie en (x^12)+(4x^9)(y)+(6x^6)(y^2)+4(x^3)(y^3)+y^4. Ceci est votre solution finale.et votre résultat se simplifie en (x^12)+(4x^9)(y)+(6x^6)(y^2)+4(x^3)(y^3)+y^4. Ceci est votre solution finale.

En supposant qu'il ait une racine cubique polynomiale, il ne pourrait être que (3a + 2b)^3. C'est la seule façon d'obtenir les termes purs 27a^3 et 8b^3. Mais vérifions les coefficients du milieu pour être sûr. La 3ème rangée du triangle de Pascal est (13,31). Ainsi, le deuxième terme devrait être 3*(3a)^2*(2b) = 54a^2b, et le troisième 3*(3a)*(2b)^2 = 36ab^2.

Le Triangle de Pascal est merveilleusement simple et merveilleusement puissant. Commencez par écrire simplement un 1 comme sommet supérieur du triangle. Ensuite, écrivez deux 1 dans la rangée suivante. Cela laisse un espace au milieu, dans l'intervalle entre les deux 1 de la rangée du dessus. Pour combler le vide, additionnez les deux 1. La somme est 2. Par conséquent, la troisième ligne est 1-2-1. Pour la rangée suivante, commencez par un 1, et, encore une fois, remplissez les espaces du milieu avec la somme des nombres de la rangée ci-dessus. Donc, en dessous du 1-2, écrivez la somme, 3. En dessous du 2-1, écrivez la somme, qui est également 3. Puis terminez la ligne avec un autre 1. Donc cette ligne complète est 1-3-3-1. La rangée suivante sera 1-4-6-4-1. Au fur et à mesure que vous continuez, vous devriez remarquer que chaque rangée est symétrique de la moitié gauche à la moitié droite. Si vous ne voyez pas cette symétrie, alors vous avez fait quelque chose de mal.