Comment trouver les racines de l'unité?

Tout comme les racines troisièmes de l'unité — Comme on peut le voir ci-dessus, les zéros de la fonction forment un pentagone régulier, et les racines complexes forment des paires conjuguées, tout comme les racines troisièmes de l'unité.

Les nombres complexes peuvent être écrits sous la forme polaire $z=reiθ,{\displaystyle z=re^{i\theta },}$ où $R$ est la magnitude du nombre complexe et $\theta$ est l'argument, ou la phase. Il devient très facile de dériver une extension de la formule de De Moivre en coordonnées polaires $Z^{{n}}=r^{{n}}e^{{in\theta }}$ utilisant la formule d'Euler, car les exponentielles sont beaucoup plus faciles à travailler avec que des fonctions trigonométriques.

La formule pour trouver les racines mième de l'unité est donnée ci-dessous.

Nous pouvons également étendre cela pour trouver les racines du nombre complexe $Z.$ Soit $\zeta =z^{{1/m}}$ une racine mième de $Z.$ On voit alors que $\zeta ^{{m}}=z$ et $\zeta =r^{{1/m}}e^{{i\theta /m}}.$

Toutes les racines se trouvent sur le cercle unité — Puisque nous trouvons des racines d'unité, et En d'autres termes, toutes les racines se trouvent sur le cercle unité.

Dans cet article, nous allons travailler avec le cas particulier où $\zeta ^{{m}}=1.$ En d'autres termes, nous trouvons des nombres égaux à 1 lorsqu'ils sont élevés à la puissance $m-ième$ . C'est ce qu'on appelle les racines de l'unité.

Formule

La formule pour trouver les racines mième de l'unité est donnée ci-dessous.
- $1^{{1/m}}=e^{{i2\pi k/m}}=\cos {\frac {2\pi k}{m}}+i\sin {\frac {2\pi k }{m}},\ k=01,\cdots,m-1$

Partie 1 sur 2: troisième racine de l'unité

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Trouvez les troisièmes racines de l'unité. Trouver les racines de l'unité signifie que nous trouvons tous les nombres dans le plan complexe tels que, lorsqu'ils sont élevés à la troisième puissance, donnent 1. Lorsque nous considérons l'équation x3−1=0,{\displaystyle x^{3}-1=0,} $X^{{3}}-1=0,$ nous savons que l'un des zéros est 1. Mais d'après le théorème fondamental de l'algèbre, nous savons que tout polynôme de degré n{\displaystyle n} $N$ a n{\displaystyle n} $N$ racines complexes. Comme il s'agit d'une équation cubique, il y a trois racines, et deux d'entre elles sont dans le plan complexe. Nous ne pouvons plus nous limiter à traiter uniquement les nombres réels pour trouver ces deux racines restantes.
- $z3=1{\style d'affichage z^{3}=1}$
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Reliez $z$ à ses racines.
- Nous savons qu'un nombre complexe peut s'écrire sous la forme z=reiθ.{\displaystyle z=re^{i\theta }.} $Z=re^{{i\theta }}.$ Mais rappelons à partir des coordonnées polaires que les nombres écrits sous forme polaire ne sont pas définis de manière unique. L'ajout d'un multiple de 2π{\displaystyle 2\pi } $2\pi$ donnera également le même nombre. Ci-dessous, les symboles k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} } $K\in {\mathbb {z}}$ signifient que k{\displaystyle k} $K$ est un entier quelconque.
  - $Z=re^{{i(\theta +2\pi k)}},\ \ k\in {\mathbb {z}}$
- Augmentez z{\displaystyle z} $Z$ à la puissance un tiers. Puisque nous voulons éviter de rendre notre fonction multivaluée, nous devons restreindre le domaine de l'argument à θ:[02π.{\displaystyle \theta:[02\pi.} $\theta:[02\pi).$ Par conséquent, k=01,2.{\displaystyle k =01,2.} $K=01,2.$ En général, les racines m- ième sont trouvées en substituant k=01,⋯,m−1.{\displaystyle k=01,\cdots,m-1.} $K=01,\cdots,m-1.$
  - $Z^{{0,33}}=r^{{0,33}}e^{{i\gauche({\frac {\theta +2\pi k}{3}}\droite)}}$
3
Remplacez les valeurs appropriées pour $r$ et $\theta$ . Puisque nous trouvons des racines d'unité, r=1{\displaystyle r=1} $R=1$ et θ=0.{\displaystyle \theta =0.} $\theta =0.$ En d'autres termes, toutes les racines se trouvent sur le cercle unité.
- $1^{{0,33}}=e^{{i2\pi k/3}}=\cos {\frac {2\pi k}{3}}+i\sin {\frac {2\pi k }{3}},\ k=01,2$
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Évaluer. Lorsque les racines sont tracées sur le plan complexe, elles forment un triangle équilatéral, où l'un des sommets est sur le point z=1.{\displaystyle z=1.} $Z=1.$ De plus, les racines complexes viennent par paires conjuguées.
- $1^{{0,33}}=1,-{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}i,-{\frac {1}{ 2}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}i$
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Visualisez les racines de l'unité. Le tracé ci-dessus est un tracé complexe de la fonction z3−1.{\displaystyle z^{3}-1.} $Z^{{3}}-1.$ La luminosité commence à partir du noir et devient plus brillante à mesure que la magnitude augmente. La teinte part du rouge et traverse la roue chromatique, correspondant à l'angle allant de 0{\displaystyle 0} ${\style d'affichage 0}$ à 2π.{\displaystyle 2\pi.} $2\pi.$ (Plus précisément, pour chaque π/3,{\displaystyle \pi /3,} $\pi /3,$ la couleur passe du rouge, jaune, vert, cyan, bleu, magenta au rouge à nouveau.)
- Comme point de départ de l'interprétation, nous voyons que sur l'axe réel, la fonction mappe l'origine à -1. Ceci est représenté sur le graphique par le cyan, comme $E^{{i\pi }}=-1,$ et la luminosité croissante vers la gauche signifie que la fonction devient de plus en plus petite. Pendant ce temps, l'axe réel est rouge pour $X>1,$ et devient également plus lumineux. Nous pouvons clairement voir les zéros comme trois points noirs qui forment un triangle équilatéral.

Trouver les racines de l'unité signifie que nous trouvons tous les nombres dans le plan complexe tels que, lorsqu'ils sont élevés à la troisième puissance, donnent 1.

Partie 2 sur 2: cinquième racine de l'unité

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Trouvez les racines cinquièmes de l'unité. Comme pour les troisièmes racines, nous savons que l'équation $X^{{5}}-1=0$ a une racine, 1, dans les réels. Selon le théorème fondamental de l'algèbre, il existe quatre autres racines, et ces racines doivent être complexes.
2
Reliez $z$ à ses racines.
- $Z^{{0,2}}=r^{{0,2}}e^{{i\gauche({\frac {\theta +2\pi k}{5}}\droite)}}$
3
Remplacez les valeurs appropriées pour $r$ et $\theta$ et évaluez. C'est bien de laisser les réponses sous forme polaire. Comme on peut le voir ci-dessus, les zéros de la fonction z5−1{\displaystyle z^{5}-1} $Z^{{5}}-1$ forment un pentagone régulier, et les racines complexes forment des paires conjuguées, tout comme les racines troisièmes de l'unité.
- ${\begin{aligned}1^{{0,2}}and=e^{{i2\pi k/5}},\ k=01,23,4\\and=1,e^{{i2\ pi /5}},e^{{i4\pi /5}},e^{{i6\pi /5}},e^{{i8\pi /5}}\end{aligned}}$

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Formule

Pas

Partie 1 sur 2: troisième racine de l'unité

Partie 2 sur 2: cinquième racine de l'unité

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