Comment résoudre des polynômes?
Pour résoudre un polynôme linéaire, définissez l'équation sur zéro, puis isolez et résolvez la variable. Un polynôme linéaire n'aura qu'une seule réponse. Si vous devez résoudre un polynôme quadratique, écrivez l'équation du plus haut degré au plus bas, puis définissez l'équation sur zéro. Réécrivez l'expression comme une expression à 4 termes et factorisez l'équation en la groupant. Réécrivez le polynôme sous forme de 2 binômes et résolvez chacun d'eux. Si vous voulez apprendre à simplifier et à résoudre vos termes dans une équation polynomiale, continuez à lire l'article!
Les polynômes de degré inférieur auront zéro, une ou deux solutions réelles, selon qu'il s'agisse de polynômes linéaires ou de polynômes quadratiques.
Un polynôme est une expression composée d'additions et de soustractions de termes. Un terme peut être constitué de constantes, de coefficients et de variables. Lors de la résolution de polynômes, vous essayez généralement de déterminer pour quelles valeurs x y=0. Les polynômes de degré inférieur auront zéro, une ou deux solutions réelles, selon qu'il s'agit de polynômes linéaires ou de polynômes quadratiques. Ces types de polynômes peuvent être facilement résolus en utilisant des méthodes d'algèbre de base et de factorisation. Pour obtenir de l'aide sur la résolution de polynômes de degré supérieur, lisez Résoudre des polynômes de degré supérieur.
Méthode 1 sur 2: résolution d'un polynôme linéaire
- 1Déterminez si vous avez un polynôme linéaire. Un polynôme linéaire est un polynôme du premier degré. Cela signifie qu'aucune variable n'aura un exposant supérieur à un. Comme il s'agit d'un polynôme du premier degré, il aura exactement une racine réelle, ou solution.
- Par exemple, 5x+2{\displaystyle 5x+2} est un polynôme linéaire, car la variable x{\displaystyle x} n'a pas d'exposant (ce qui est le même qu'un exposant de 1).
- 2Réglez l'équation à zéro. C'est une étape nécessaire pour résoudre tous les polynômes.
- Par exemple, 5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0}
- 3Isoler le terme variable. Pour ce faire, ajoutez ou soustrayez la constante des deux côtés de l'équation. Une constante est un terme sans variable.
- Par exemple, pour isoler le terme x{\displaystyle x} dans 5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0} , vous devez soustraire 2{\displaystyle 2} des deux côtés de l'équation:
5x+2=0 {\displaystyle 5x+2=0}
5x+2−2=0−2{\displaystyle 5x+2-2=0-2}
5x=−2{\displaystyle 5x=-2}
Comment résoudre des polynômes compliqués? - Par exemple, pour isoler le terme x{\displaystyle x} dans 5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0} , vous devez soustraire 2{\displaystyle 2} des deux côtés de l'équation:
- 4Résoudre pour la variable. Habituellement, vous devrez diviser chaque côté de l'équation par le coefficient. Cela vous donnera la racine, ou la solution, de votre polynôme.
- Par exemple, pour résoudre x{\displaystyle x} dans 5x=−2{\displaystyle 5x=-2} , vous diviseriez chaque côté de l'équation par 5{\displaystyle 5} :
5x=−2{\displaystyle 5x =-2}
5x5=−25{\displaystyle {\frac {5x}{5}}={\frac {-2}{5}}}
x=−25{\displaystyle x={\frac {-2} {5}}}
Ainsi, la solution de 5x+2{\displaystyle 5x+2} est x=−25{\displaystyle x={\frac {-2}{5}}} .
- Par exemple, pour résoudre x{\displaystyle x} dans 5x=−2{\displaystyle 5x=-2} , vous diviseriez chaque côté de l'équation par 5{\displaystyle 5} :
Méthode 2 sur 2: résolution d'un polynôme quadratique
- 1Déterminez si vous avez un polynôme quadratique. Un polynôme quadratique est un polynôme du second degré. Cela signifie qu'aucune variable n'aura un exposant supérieur à 2. Puisqu'il s'agit d'un polynôme du second degré, il aura deux racines réelles, ou solutions.
- Par exemple, x2+8x−20{\displaystyle x^{2}+8x-20} est un polynôme quadratique, car la variable x{\displaystyle x} a un exposant de 2{\displaystyle 2} .
- 2Assurez-vous que le polynôme est écrit par ordre de degré. Cela signifie que le terme avec l'exposant 2{\displaystyle 2} est répertorié en premier, suivi du terme du premier degré, suivi de la constante.
- Par exemple, vous réécririez 8x+x2−20{\displaystyle 8x+x^{2}-20} en x2+8x−20{\displaystyle x^{2}+8x-20} .
- 3Réglez l'équation à zéro. C'est une étape nécessaire pour résoudre tous les polynômes.
- Par exemple, x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} .
- 4Réécrivez l'expression comme une expression à quatre termes. Pour ce faire, séparez le terme du premier degré (le terme x{\displaystyle x} ). Vous cherchez deux nombres dont la somme est égale au coefficient du premier degré, et dont le produit est égal à la constante.
- Par exemple, pour le polynôme quadratique x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} , vous devez trouver deux nombres ( a{\displaystyle a} et b{\displaystyle b} ), où a+b=8{\displaystyle a+b=8} , et a⋅b=−20{\displaystyle a\cdot b=-20} .
- Puisque vous avez -20{\displaystyle -20} , vous savez que l'un des nombres sera négatif.
- Vous devriez voir que 10+(−2)=8{\displaystyle 10+(-2)=8} et 10⋅(−2)=−20{\displaystyle 10\cdot (-2)=-20} . Ainsi, vous diviser en 8x {\ displaystyle 8x} dans 10x 2x {\ displaystyle 10x 2x} et réécrire le polynôme quadratique: x2 + 10x 2x-20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 10x 2x -20=0} .
Pour obtenir de l'aide sur la résolution de polynômes d'un degré supérieur, lisez Résoudre des polynômes de degré supérieur. - 5Facteur par regroupement. Pour ce faire, factorisez un terme commun aux deux premiers termes du polynôme.
- Par exemple, les deux premiers termes du polynôme x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0} sont x2+10x{\displaystyle x^{2}+10x } . Un terme commun aux deux est x{\displaystyle x} . Ainsi, le groupe factorisé est x(x+10){\displaystyle x(x+10)} .
- 6Factorisez le deuxième groupe. Pour ce faire, factorisez un terme commun aux deux seconds termes du polynôme.
- Par exemple, les deux seconds termes du polynôme x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0} sont −2x−20{\displaystyle -2x-20} . Un terme commun aux deux est -2{\displaystyle -2} . Ainsi, le groupe factorisé est -2(x+10){\displaystyle -2(x+10)} .
- 7Réécrivez le polynôme sous la forme de deux binômes. Un binôme est une expression à deux termes. Vous avez déjà un binôme, qui est l'expression entre parenthèses pour chaque groupe. Cette expression doit être la même pour chaque groupe. Le deuxième binôme est créé en combinant les deux termes qui ont été factorisés dans chaque groupe.
- Par exemple, après factorisation par regroupement, x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0} devient x(x+10)−2(x+10)=0 {\style d'affichage x(x+10)-2(x+10)=0} .
- Le premier binôme est (x+10){\displaystyle (x+10)} .
- Le deuxième binôme est (x−2){\displaystyle (x-2)} .
- Ainsi, le polynôme quadratique original, x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} peut être écrit comme l'expression factorisée (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} .
- 8Trouvez la première racine, ou solution. Pour ce faire, résolvez x{\displaystyle x} dans le premier binôme.
- Par exemple, pour trouver la première racine de (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} , vous devez d'abord définir la première expression binomiale sur 0{\ displaystyle 0} et résoudre pour x{\displaystyle x} . Ainsi:
x+10=0{\displaystyle x+10=0}
x+10−10=0−10{\displaystyle x+10-10=0-10}
x=−10{\displaystyle x=-10}
Ainsi, la première racine du polynôme quadratique x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} est −10{\displaystyle -10} .
- Par exemple, pour trouver la première racine de (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} , vous devez d'abord définir la première expression binomiale sur 0{\ displaystyle 0} et résoudre pour x{\displaystyle x} . Ainsi:
- 9Trouvez la deuxième racine, ou solution. Pour ce faire, résolvez x{\displaystyle x} dans le deuxième binôme.
- Par exemple, pour trouver la deuxième racine pour (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} , vous devez définir la deuxième expression binomiale sur 0{\displaystyle 0} et résolvez pour x{\displaystyle x} . Ainsi:
x−2=0{\displaystyle x-2=0}
x−2+2=0+2{\displaystyle x-2+2=0+2}
x=2{\displaystyle x=2}
Donc, la seconde racine du polynôme quadratique x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} est 2{\displaystyle 2} .
- Par exemple, pour trouver la deuxième racine pour (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} , vous devez définir la deuxième expression binomiale sur 0{\displaystyle 0} et résolvez pour x{\displaystyle x} . Ainsi:
Pour résoudre un polynôme linéaire, définissez l'équation sur zéro, puis isolez et résolvez la variable.
- Ne vous inquiétez pas si vous obtenez différentes variables, comme t, ou si vous voyez une équation définie sur f(x) au lieu de 0. Si la question veut des racines, des zéros ou des facteurs, traitez -la comme n'importe quel autre problème.
- Souvenez-vous de l'ordre des opérations pendant que vous travaillez - Travaillez d'abord entre parenthèses, puis faites la multiplication et la division, et enfin faites l'addition et la soustraction.
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Questions et réponses
- Pour les trinômes, est-ce que je les transformerais en polynômes quadratiques puis en binômes?Oui. Pour factoriser un trinôme, vous devez le diviser en un polynôme quadratique.
- Ax * 4 - 4x * 3 + bx * 2 - 100x + 24. Quand x=4, comment résoudre ce problème?Parce que x = 4, le théorème des restes indique que P(4) = 0. Donc sous P(4) = 0, résolvez essentiellement pour A.
- Comment résoudre y^3 - 2y^2 - 9j + 18 = 0?Parce que l'équation a deux variables inconnues (y et j), elle ne peut pas être résolue. Lorsque vous avez deux inconnues, vous avez besoin de deux équations indépendantes dans ces inconnues afin de les résoudre.
- Comment puis-je résoudre l'équation (x^3+6) (x^3-7)?Ce n'est pas une équation, donc ça ne peut pas être "résolu". En d'autres termes, aucune valeur pour x ne peut être trouvée. Cependant, si vous voulez juste effectuer la multiplication, vous obtiendrez le produit x^6 - x³ - 42.
- Comment résoudre l'équation 4x^3 + 3x = 0?4x³ + 3x = x(4x² + 3) = 0. Alors x = 0, ou (4x² + 3) = 0. Dans ce dernier cas, 4x² = -3, x² = - 0,75, et x est la racine carrée d'un nombre négatif, qui est un nombre "imaginaire". Si nous limitons notre réponse aux nombres "réels", x = 0.
- Comment résoudre 25x^3 = 64x?Divisez les deux côtés de l'équation par x: 25x² = 64. Trouvez ensuite la racine carrée des deux côtés: +/- 5x = +/- 8. Donc x = +/- 1,6.
- Comment avez-vous obtenu -2 dans le deuxième binôme?L'équation d'origine était 5x + 2 = 0. Ensuite, 2 a été soustrait des deux côtés de l'équation afin de commencer le processus de résolution de x. Cela a donné 5x = -2.
- Comment puis-je résoudre x4 - x2 = 0x^4 - x² = x²(x² - 1) = 0. Par conséquent, x² = 0, ou x² - 1 = 0. Si x² = 0, alors x = 0. Si x² - 1 = 0, alors x = +/ -1.
- Comment résoudre le polynôme x - 2 = 0?Ajoutez 2 des deux côtés de l'équation.
- Qu'est-ce que j'obtiens si j'ajoute x - 2 et 1/x?Vous obtenez x - 2 + 1/x.
Questions sans réponse
- Comment puis-je résoudre Si (x - 2) est un facteur de f(x) = 4x3 - 19x2 + ax - 14, et que j'ai besoin de trouver, (a) la valeur de la constante a et (b) factoriser et résoudre le polynôme?
- Si x-1 et x-2 sont des facteurs de l'équation polynomiale X³ +ax² -7x+b, où a et b sont constants, quel est le troisième facteur et les constantes a et b?
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