Comment trouver un terme d'une suite arithmétique?

Comment calculer les 5 termes d'une suite arithmétique si le premier terme est 8 et le dernier terme est 100?

Une suite arithmétique est une liste de nombres qui diffèrent d'un nombre à l'autre d'une quantité constante. Par exemple, la liste des nombres pairs, $02,46,8$ ... est une suite arithmétique, car la différence d'un nombre de la liste à l'autre est toujours 2. Si vous savez vous travaillez avec une suite arithmétique, il peut vous être demandé de trouver le terme suivant dans une liste donnée. Vous pouvez également être invité à combler une lacune lorsqu'un terme est manquant. Enfin, vous voudrez peut-être connaître, par exemple, le 100e terme, sans réellement écrire les 100 termes. Quelques étapes simples peuvent vous aider à faire l'une d'entre elles.

Méthode 1 sur 4: trouver le prochain terme dans une séquence arithmétique

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Trouvez la différence commune pour la séquence. Lorsqu'on vous présente une liste de nombres, on peut vous dire que la liste est une séquence arithmétique, ou vous devrez peut-être le découvrir par vous-même. La première étape est la même dans les deux cas. Sélectionnez les deux premiers termes consécutifs de la liste. Soustraire le premier terme du deuxième terme. Le résultat est la différence commune de votre séquence.
- Par exemple, supposons que vous ayez la liste $14.710,13$ .... Soustrayez $4-1$ pour trouver la différence commune de 3.
- Supposons que vous ayez une liste de termes décroissants, tels que $2521,1713$ .... Vous soustrayez toujours le premier terme du second pour trouver la différence. Dans ce cas, cela vous donne $21-25=-4$ . Le résultat négatif signifie que votre liste diminue au fur et à mesure que vous lisez de gauche à droite. Vous devez toujours vérifier que le signe de la différence correspond à la direction dans laquelle les nombres semblent aller.
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Vérifiez que la différence commune est cohérente. Trouver la différence commune pour les deux premiers termes ne garantit pas que votre liste est une séquence arithmétique. Vous devez vous assurer que la différence est cohérente pour toute la liste. Vérifiez la différence en soustrayant deux termes consécutifs différents dans la liste. Si le résultat est cohérent pour une ou deux autres paires de termes, alors vous avez probablement une suite arithmétique.
- En travaillant avec le même exemple, $14.710,13$ ... choisissez les deuxième et troisième termes de la liste. Soustrayez $7-4$ , et vous trouvez que la différence est toujours 3. Pour confirmer, vérifiez un autre exemple et soustrayez $13-10$ , et vous trouvez que la différence est cohérente 3. Vous pouvez être sûr que vous travaillez avec une séquence arithmétique.
- Il est possible qu'une liste de nombres apparaisse comme une séquence arithmétique basée sur les premiers termes, mais échoue ensuite par la suite. Par exemple, considérons la liste $12,36,9$ .... La différence entre les premier et deuxième termes est 1, et la différence entre les deuxième et troisième termes est également 1. Cependant, la différence entre les troisième et quatrième termes est de 3. Comme la différence n'est pas commune à toute la liste, il ne s'agit donc pas d'une suite arithmétique.
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Ajoutez la différence commune au dernier terme donné. Trouver le terme suivant d'une suite arithmétique après avoir connu la différence commune est facile. Ajoutez simplement la différence commune au dernier terme de la liste et vous obtiendrez le nombre suivant.
- Par exemple, dans l'exemple $14.710,13$ ..., pour trouver le prochain nombre dans la liste, ajoutez la différence commune de 3 au dernier terme donné. L'ajout de $13+3$ donne 16, qui est le terme suivant. Vous pouvez continuer à ajouter 3 pour faire votre liste aussi longtemps que vous le souhaitez. Par exemple, la liste serait $14.710.1316,1922,25$ .... Vous pouvez le faire aussi longtemps que vous le souhaitez.

Trouver le terme suivant d'une suite arithmétique après avoir connu la différence commune est facile.

Méthode 2 sur 4: trouver un terme interne manquant

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Vérifiez que vous commencez avec une séquence arithmétique. Dans certains cas, vous pouvez avoir une liste de nombres avec un terme manquant au milieu. Commencez, comme précédemment, en vérifiant que votre liste est une suite arithmétique. Sélectionnez deux termes consécutifs et trouvez la différence entre eux. Ensuite, comparez-le à deux autres termes consécutifs de la liste. Si les différences sont les mêmes, vous pouvez supposer que vous travaillez avec une séquence arithmétique et continuer.
- Par exemple, supposons que vous ayez la liste $04$ ,__, $1216,20$ .... Commencez par soustraire $4-0$ pour trouver une différence de 4 Vérifiez ceci par rapport à deux autres termes consécutifs, tels que $16-12$ . La différence est à nouveau de 4. Vous pouvez continuer.
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Ajoutez la différence commune au terme avant l'espace. Cela revient à ajouter un terme à la fin d'une séquence. Trouvez le terme qui précède immédiatement l'espace dans votre séquence. C'est le "dernier" numéro que vous connaissez. Ajoutez votre différence commune à ce terme, pour trouver le nombre qui devrait remplir l'espace.
- Dans notre exemple de travail, $04$ ,__, $1216,20$ ..., le terme précédant l'espace est 4, et notre différence commune pour cette liste est également 4. Donc ajoutez $4+4$ pour obtenir 8, qui devrait être le nombre dans l'espace vide.
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Soustraire la différence commune du terme suivant l'espace. Pour être sûr d'avoir la bonne réponse, vérifiez dans l'autre sens. Une séquence arithmétique doit être cohérente dans les deux sens. Si vous vous déplacez de gauche à droite et ajoutez 4, puis en allant dans la direction opposée, de droite à gauche, vous feriez l'inverse et soustrayez 4.
- Dans l'exemple de travail, $04$ ,__, $1216,20$ ..., le terme qui suit immédiatement l'espace est 12. Soustrayez la différence commune de 4 de ce terme pour trouver $12-4=8$ . Le résultat de 8 doit remplir l'espace vide.
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Comparez vos résultats. Les deux résultats que vous obtenez, en additionnant à partir du bas ou en soustrayant du haut doivent correspondre. Si tel est le cas, vous avez trouvé la valeur du terme manquant. S'ils ne le font pas, alors vous devez vérifier votre travail. Vous n'avez peut-être pas une vraie suite arithmétique.
- Dans l'exemple de travail, les deux résultats de $4+4$ et $12-4$ tous deux donné la solution de 8. Par conséquent, le terme manquant dans cette suite arithmétique est 8. Le la séquence complète est $04.812.1620$ ....

Trouver la différence commune pour les deux premiers termes ne garantit pas que votre liste est une séquence arithmétique.

Méthode 3 sur 4: trouver le nième terme d'une séquence arithmétique

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Identifiez le premier terme de la suite. Toutes les séquences ne commencent pas par les nombres 0 ou 1. Regardez la liste de nombres que vous avez et trouvez le premier terme. C'est votre point de départ, qui peut être désigné en utilisant des variables comme a(1).
- Il est courant dans le travail avec des suites arithmétiques d'utiliser la variable a(1) pour désigner le premier terme d'une suite. Vous pouvez, bien sûr, choisir n'importe quelle variable que vous aimez, et les résultats devraient être les mêmes.
- Par exemple, étant donné la séquence $38 1318$ ..., le premier terme est $3$ , qui peut être désigné algébriquement comme a(1).
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Définissez votre différence commune comme d. Trouvez la différence commune pour la séquence comme précédemment. Dans cet exemple de travail, la différence commune est $8-3$ , qui est 5. La vérification avec d'autres termes de la séquence fournit le même résultat. On notera cette différence commune avec la variable algébrique d.
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Utilisez la formule explicite. Une formule explicite est une équation algébrique que vous pouvez utiliser pour trouver n'importe quel terme d'une séquence arithmétique, sans avoir à écrire la liste complète. La formule explicite pour une suite algébrique est a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d} $A(n)=a(1)+(n-1)d$ .
- Le terme a(n) peut être lu comme "le nième terme de a", où n représente le nombre dans la liste que vous souhaitez rechercher et a(n) est la valeur réelle de ce nombre. Par exemple, si on vous demande de trouver le 100e élément dans une séquence arithmétique, alors n sera 100. Notez que n est 100, dans cet exemple, mais a(n) sera la valeur du 100e terme, pas le nombre 100 lui-même.
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Remplissez vos informations pour résoudre le problème. En utilisant la formule explicite de votre séquence, remplissez les informations que vous connaissez pour trouver le terme dont vous avez besoin.
- Par exemple, dans l'exemple pratique $38 1318$ ..., nous savons que a(1) est le premier terme 3 et que la différence commune d est 5. Supposons qu'on vous demande de trouver le 100e terme dans cette séquence. Alors n=100, et (n-1)=99. La formule explicite complète, avec les données renseignées, est alors $A(100)=3+(99)(5)$ . Cela se simplifie en 498, qui est le 100e terme de cette séquence.

Pour trouver un terme dans une séquence arithmétique, déterminez la différence commune en soustrayant le premier nombre du deuxième nombre.

Méthode 4 sur 4: utiliser la formule explicite pour trouver des informations supplémentaires

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Réorganisez la formule explicite pour résoudre d'autres variables. En utilisant la formule explicite et quelques notions d'algèbre de base, vous pouvez trouver plusieurs informations sur une suite arithmétique. Dans sa forme originale, a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d} $A(n)=a(1)+(n-1)d$ , la formule explicite est conçue pour résoudre pour a _n et vous donne le nième terme d'une suite. Cependant, vous pouvez manipuler algébriquement cette formule et résoudre n'importe laquelle des variables.
- Par exemple, supposons que vous ayez la fin d'une liste de nombres, mais que vous ayez besoin de savoir quel était le début de la séquence. Vous pouvez réorganiser la formule pour vous donner $A(1)=(n-1)da(n).$
- Si vous connaissez le point de départ d'une séquence arithmétique et son point d'arrivée, mais que vous avez besoin de savoir combien de termes se trouvent dans la liste, vous pouvez réorganiser la formule explicite pour résoudre n. Ce serait $N={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
- Si vous devez revoir les règles de base de l'algèbre pour créer ce résultat, consultez Do algebra ou Simplify algebraic expressions.
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Trouver le premier terme d'une suite. Vous savez peut-être que le 50e terme d'une suite arithmétique est 300 et que les termes ont augmenté de 7 (la "différence commune"), mais vous voulez savoir quel était le premier terme de la suite. Utilisez la formule explicite révisée qui résout a1 pour trouver votre réponse.
- Utilisez l'équation $A(1)=(n-1)da(n)$ , et remplissez les informations que vous connaissez. Puisque vous savez que le 50e terme est 300, alors n=50, n-1=49 et a(n)=300. On vous $A(1)=(49)(7)-300$ également que la différence commune, d, est 7. Par conséquent, la formule devient $a(1)=(49)(7)−300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}$ . Cela $343-300=43$ à $343−300=43{\displaystyle 343-300=43}$ . La séquence que vous avez commencée à 43, et comptée par 7. Par conséquent, elle ressemble à 4350,5764,7178.. 0,293300.
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Trouver la longueur d'une séquence. Supposons que vous sachiez tout sur le début et la fin d'une séquence arithmétique, mais que vous ayez besoin de savoir combien de temps elle dure. Utilisez la formule révisée n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1} $N={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
- Supposons que vous sachiez qu'une suite arithmétique donnée commence à 100 et augmente de 13. On vous dit également que le terme final est 2856. Pour trouver la longueur de la suite, utilisez les termes a1=100, d=13, et a(n)=2856. Insérez ces termes dans la formule pour donner $N={\frac {2856-100}{13}}+1$ . Si vous $N={\frac {2756}{13}}+1$ cela, vous obtenez $n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1}$ , ce qui équivaut à 212+1, soit 213. Il y a 213 termes dans cette séquence.
- Cette séquence d'échantillons ressemblerait à 100, 113, 126, 139... 2843, 2856.

Mises en garde

Il existe différents types de suites de nombres. Ne supposez pas qu'une liste de nombres est une suite arithmétique. Vérifiez toujours au moins deux paires de termes, ou de préférence trois ou quatre, pour trouver la différence commune entre les termes.

Conseils

N'oubliez pas que d peut être positif ou négatif, selon qu'il est ajouté ou soustrait.

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