Comment résoudre des polynômes de degré supérieur?

Pour résoudre des polynômes de degré supérieur, éliminez tous les facteurs communs de tous les termes pour simplifier le polynôme autant que possible.

La résolution d'un polynôme de degré supérieur a le même objectif qu'une expression quadratique ou algébrique simple: factoriser autant que possible, puis utiliser les facteurs pour trouver des solutions au polynôme à y = 0. Il existe de nombreuses approches pour résoudre des polynômes avec un $X^{3}$ terme ou supérieur. Vous devrez peut-être en utiliser plusieurs avant de trouver celui qui convient à votre problème.

Méthode 1 sur 2: reconnaître les facteurs

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Factorisez les facteurs communs de tous les termes. Si chaque terme du polynôme a un facteur commun, factorisez-le pour simplifier le problème. Ce n'est pas possible avec tous les polynômes, mais c'est une bonne approche pour vérifier d'abord.
- Exemple 1: Résoudre x dans le polynôme $2x^{{3}}+12x^{{2}}+16x=0$ .
  Chaque terme est divisible par 2x, donc factorisez-le:
  $(2x)(x^{{2}})+(2x)(6x)+(2x)(8)=0$
  $=(2x)(x^{{2}}+6x+8)$
  Résolvez maintenant l'équation quadratique en utilisant la formule quadratique ou factorisation:
  $(2x)(x+4)(x+2)=0$
  Les solutions sont à 2x = 0, x+ 4=0 et x+2=0.
  Les solutions sont x=0, x=-4 et x=-2.
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Identifiez des polynômes qui agissent comme un quadratique. Vous savez probablement déjà comment résoudre des polynômes du second degré, sous la forme ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} $Hache^{{2}}+bx+c$ . Vous pouvez résoudre certains polynômes de degré supérieur de la même manière, s'ils sont sous la forme ax2n+bxn+c{\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c} $Hache^{{2n}}+bx^{{n}}+c$ . Voici quelques exemples:
- Exemple 2: $3x^{{4}}+4x^{{2}}-4=0$
  Soit $A=x^{{2}}$ :
  $3a^{{2}}+4a-4=0$
  Résoudre le quadratique en utilisant n'importe quelle méthode:
  $(3a-2)(a+2)=0$ donc a = -2 ou a = 0,67
  Remplacez $X^{2}$ par a: $X^{{2}}=-2$ ou $X^{{2}}=0,67$
  x = ±√(0,67). L'autre équation, $X^{{2}}=-2$ , n'a pas de vraie solution. (Si vous utilisez des nombres complexes, résolvez comme x = ±i√2).
- Exemple 3: $X^{{5}}+7x^{{3}}-9x=0$ ne suit pas ce modèle, mais notez que vous pouvez factoriser un x:
  $(x)(x^{{4}}+7x^{{2}}-9)=0$
  Vous pouvez maintenant traiter $X^{{4}}+7x^{{2}}-9$ comme un quadratique, comme indiqué dans l'exemple 2.
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Factoriser des sommes ou des différences de cubes. Ces cas particuliers semblent difficiles à prendre en compte, mais ont des propriétés qui rendent le problème beaucoup plus facile:
- Somme de cubes: Un polynôme de la forme $A^{{3}}+b^{{3}}$ factorise en $(a+b)(a^{{2}}-ab+b^{{2}})$ .
- Différence de cubes: Un polynôme de la forme $A^{{3}}-b^{{3}}$ factorise en $(ab)(a^{{2}}+ab+b^{{2}})$ .
- Notez que la partie quadratique du résultat n'est pas factorisable.
- Notez que $X^{6}$ , $X^{9}$ et x à toute puissance divisible par 3 correspondent tous à ces modèles.
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Recherchez des modèles pour trouver d'autres facteurs. Les polynômes qui ne ressemblent pas aux exemples ci-dessus peuvent ne pas avoir de facteurs évidents. Mais avant d'essayer les méthodes ci-dessous, essayez de rechercher un facteur à deux termes (tel que "x+3"). Regrouper les termes dans différents ordres et factoriser une partie du polynôme peut vous aider à en trouver un. Ce n'est pas toujours une approche réalisable, alors ne passez pas trop de temps à essayer si aucun facteur commun ne semble probable.
- Exemple 4: $-3x^{{3}}-x^{{2}}+6x+2=0$
  Cela n'a pas de facteur évident, mais vous pouvez factoriser les deux premiers termes et voyez ce qui se passe:
  $(-x^{{2}})(3x+1)+6x+2=0$
  Maintenant factorisez les deux derniers termes (6x +2), visant un facteur commun:
  $(-x^{{2}})(3x+1)+(2)(3x+1)=0$
  Maintenant réécrivez ceci en utilisant le facteur commun, 3x+1:
  $(3x+1)(-x^{{2}}+2)=0$

Vous savez probablement déjà comment résoudre les polynômes du second degré, sous la forme.

Méthode 2 sur 2: racines rationnelles et division synthétique

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Essayez d'identifier une racine du polynôme. La division synthétique est un moyen utile de factoriser des polynômes d'ordre supérieur, mais cela ne fonctionne que si vous connaissez déjà l'une des racines (ou "zéros"). Vous pourrez peut-être le trouver en factorisant comme décrit ci-dessus, ou le problème peut en fournir un. Si c'est le cas, passez aux instructions de division synthétique. Si vous ne connaissez pas de racine, passez à l'étape suivante pour essayer d'en trouver une.
- La racine d'un polynôme est la valeur de x pour laquelle y = 0. Connaître une racine c vous donne également un facteur du polynôme, (x - c).

Continuez votre lecture pour apprendre à résoudre un polynôme de degré supérieur avec une division synthétique!

Tester les racines rationnelles

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Énumérez les facteurs du terme constant. Le test des "racines rationnelles" est un moyen de deviner les valeurs possibles des racines. Pour commencer, listez tous les facteurs de la constante (le terme sans variable).
- Exemple: Le polynôme $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ a le terme constant 9. Ses facteurs sont 1, 3 et 9.
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Énumérez les facteurs du coefficient dominant. Il s'agit du coefficient du premier terme du polynôme, lorsqu'il est classé du terme de degré le plus élevé au terme le plus bas. Énumérez tous les facteurs de ce nombre sur une ligne distincte.
- Exemple (suite): $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ a un coefficient dominant de 2. Ses facteurs sont 1 et 2.
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Trouvez les racines possibles. Si le polynôme a une racine rationnelle (ce qui n'est peut-être pas le cas), elle doit être égale à ± (un facteur de la constante)/(un facteur du coefficient dominant). Seul un nombre c sous cette forme peut apparaître dans le facteur (xc) du polynôme d'origine.
- Exemple (suite): Toutes les racines rationnelles de ce polynôme sont de la forme (1, 3 ou 9) divisée par (1 ou 2). Les possibilités incluent ±1, ±0,5, ±3, ±1,5, ±9 ou ±4,5. N'oubliez pas le "±": chacune de ces possibilités peut être positive ou négative.
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Testez les racines jusqu'à ce que vous en trouviez une qui vous convienne. Aucun d'entre eux n'est garanti comme étant des racines, vous devrez donc les tester avec le polynôme d'origine.
- Exemple: (1=1) est une racine possible. S'il s'avère qu'il s'agit d'une racine réelle, le brancher sur le polynôme devrait donner zéro.
  $2(1)^{{3}}+(1)^{{2}}-12(1)+9=2+1-12+9=0$ , donc 1 est confirmé comme étant une racine.
  Cela signifie que le polynôme a le facteur (x-1).
- Si aucune des possibilités ne fonctionne, le polynôme n'a pas de racines rationnelles et ne peut pas être factorisé.

Division synthétique

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Mettre en place un problème de division synthétique. La division synthétique est un moyen de trouver tous les facteurs d'un polynôme, si vous en connaissez déjà un. Pour le mettre en place, écrivez une racine du polynôme. Tracez une ligne verticale à sa droite, puis écrivez les coefficients de votre polynôme classés de l'exposant du plus haut degré au plus bas. (Vous n'avez pas besoin d'écrire les termes eux-mêmes, juste les coefficients.)
- Remarque: Vous devrez peut-être insérer des termes avec un coefficient de zéro. Par exemple, réécrivez le polynôme $X^{3}+2x$ sous la forme $X^{3}+0x^{2}+2x+0$ .
- Exemple (suite): Le test des racines rationnelles ci-dessus nous a dit que le polynôme $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ a la racine 1.
  Écrivez la racine 1, suivi d'un trait vertical, suivi des coefficients du polynôme:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\end{pmatrix}}$
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Déduire le premier coefficient. Copiez le premier coefficient sur la ligne de réponse. Laissez une ligne vide entre les deux nombres pour des calculs ultérieurs.
- Exemple (suite): Portez le 2 jusqu'à la ligne de réponse:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\\\and2\end{pmatrix}}$
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Multipliez ce nombre par la racine. Écrivez la réponse directement sous le terme suivant, mais pas sur la ligne de réponse.
- Exemple (suite): Multipliez le 2 par la racine, 1, pour obtenir à nouveau 2. Écrivez ce 2 dans la colonne suivante, mais sur la deuxième ligne au lieu de la ligne de réponse:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\andand2\\and2\end{pmatrix}}$
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Additionnez le contenu de la colonne pour obtenir la partie suivante de la réponse. La deuxième colonne de coefficient contient maintenant deux nombres. Additionnez-les et écrivez le résultat sur la ligne de réponse juste en dessous d'eux.
- Exemple (suite): 1 + 2 = 3
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\andand2\\and2and3\end{pmatrix}}$
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Multipliez le résultat par la racine. Comme vous l'avez fait auparavant, multipliez le dernier chiffre de la ligne de réponse par la racine. Écrivez votre réponse sous le prochain coefficient.
- Exemple (suite): 1 x 3 = 3:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\andand2and3\\and2and3\end{pmatrix}}$
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Trouvez la somme de la colonne suivante. Comme précédemment, additionnez les deux nombres de la colonne et écrivez le résultat sur la ligne de réponse.
- Exemple (suite): -12 + 3 = -9:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\andand2and3\\and2and3and-9\end{pmatrix}}$
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Répétez ce processus jusqu'à ce que vous atteigniez la dernière colonne. Le dernier chiffre de votre ligne de réponse sera toujours zéro. Si vous obtenez un autre résultat, vérifiez votre travail pour les erreurs.
- Exemple (suite): Multipliez -9 par la racine 1, écrivez la réponse sous la dernière colonne, puis confirmez que la somme de la dernière colonne est nulle:
  ${\begin{pmatrix}1|and2and1and-12and9\\andand2and3and-9\\and2and3and-9and0\end{pmatrix}}$
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Utilisez la ligne de réponse pour trouver un autre facteur. Vous avez maintenant divisé le polynôme par le terme (x - c), où c est votre facteur. La ligne de réponse vous indique le coefficient de chaque terme de votre réponse. La partie x de chaque terme a un exposant inférieur au terme original directement au-dessus.
- Exemple (suite): La ligne de réponse est 2 3 -9 0, mais vous pouvez ignorer le zéro final.
  Étant donné que le premier terme du polynôme d'origine comprenait un $X^{3}$ , le premier terme de votre réponse est inférieur d'un degré: $X^{2}$ . Par conséquent, le premier terme est $2x^{2}$
  Répétez ce processus pour obtenir la réponse $2x^{2}+3x-9$ .
  Vous avez maintenant factorisé $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ dans $(x-1)(2x^{2}+3x-9)$ .
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Répétez si nécessaire. Vous pourrez peut-être diviser votre réponse en parties plus petites en utilisant la même méthode de division synthétique. Cependant, vous pourrez peut-être utiliser une méthode plus rapide pour résoudre le problème. Par exemple, une fois que vous avez une expression quadratique, vous pouvez la factoriser en utilisant la formule quadratique.
- N'oubliez pas que pour démarrer la méthode de division synthétique, vous devez déjà connaître une racine. Utilisez à nouveau le test des racines rationnelles pour obtenir cela. Si aucune des possibilités de racine rationnelle n'est vérifiée, l'expression ne peut pas être factorisée.
- Exemple (suite) Vous avez trouvé les facteurs $(x-1)(2x^{2}+3x-9)$ , mais le deuxième facteur peut être cassé plus bas. Essayez l'équation quadratique, la factorisation traditionnelle ou la division synthétique.
  La réponse finale est $(x-1)(x+3)(2x-3)$ , donc les racines du polynôme sont x = 1, x = -3, et x = 1,5.

Factorisez-le pour simplifier le problème — Si chaque terme du polynôme a un facteur commun, factorisez-le pour simplifier le problème.

Conseils

Les termes racines, zéros et solutions font tous référence aux valeurs de x qui font f(x) = 0. Ils peuvent être utilisés indifféremment.
Les formules cubiques et quartiques existent similaires à la formule quadratique, mais sont beaucoup plus compliquées et ne sont pas souvent utilisées, sauf par ordinateur. Les polynômes de degré 5 et plus n'ont pas de solution générale utilisant des techniques algébriques simples, mais certains exemples peuvent être factorisés en utilisant les approches ci-dessus.
La règle des signes de Descartes ne vous dira pas la solution, mais elle peut prédire combien il existe de solutions uniques et réelles. Suivez ces étapes pour savoir si vous avez trouvé toutes les solutions possibles:
- Organisez le polynôme du terme de degré le plus élevé au terme le plus bas:
  $X^{5}-x^{4}-2x^{2}+x+1$
- Ignorez les termes et n'écrivez que leurs signes (positifs ou négatifs)
  + - ++
- Comptez le nombre de fois que les signes ont changé de + à - ou vice versa, en vous déplaçant de gauche à droite:
  La séquence + - ++ déplace les signes 2 fois.
- Le nombre de solutions réelles est soit égal à ce nombre, soit égal à ce nombre moins 2 n, où n est un entier.
  Dans cet exemple, il peut y avoir 2 solutions ou 0.
  Dans un autre problème hypothétique où les termes changent de signe sept fois, le nombre de solutions peut être 7, 5, 3 ou 1.

Mises en garde

Si vous obtenez une racine imaginaire (et que vous travaillez sur un problème où les racines imaginaires sont importantes), n'oubliez pas qu'il y aura un zéro à ce nombre et son conjugué complexe. Si (x-3i) est une racine, alors (x+3i) l'est aussi.

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