Comment trouver algébriquement l'inverse d'une fonction?
Si vous avez trouvé l'inverse correct, vous devriez pouvoir insérer le résultat dans la fonction inverse et obtenir votre valeur x d'origine comme résultat.
Une fonction mathématique (généralement notée f(x)) peut être considérée comme une formule qui vous donnera une valeur pour y si vous spécifiez une valeur pour x. L' inverse d'une fonction f(x) (qui s'écrit f -1 (x)) est essentiellement l'inverse: mettez votre valeur y, et vous récupérerez votre valeur x initiale. Trouver l'inverse d'une fonction peut sembler un processus complexe, mais pour des équations simples, il suffit de connaître les opérations algébriques de base. Lisez la suite pour obtenir des instructions étape par étape et un exemple illustratif.
- 1Écrivez votre fonction, en remplaçant f(x) par y si nécessaire. Votre formule devrait avoir y d'un côté du signe égal avec les termes x de l'autre côté du signe égal. Si vous avez une équation qui est déjà écrite en termes de y et x (par exemple, 2 + y = 3x 2), tout ce que vous avez à faire est de résoudre y en l'isolant d'un côté du signe égal.
- Exemple: Si nous avons une fonction f(x) = 5x - 2, nous la réécrirons sous la forme y = 5x - 2 simplement en remplaçant le "f(x)" par un y.
- Remarque: f(x) est la notation de fonction standard, mais si vous avez affaire à plusieurs fonctions, chacune reçoit une lettre différente pour faciliter leur distinction. Par exemple, g(x) et h(x) sont chacun des identifiants communs pour les fonctions.
- 2Résoudre pour x. En d'autres termes, effectuez les opérations mathématiques nécessaires pour isoler x par lui-même d'un côté du signe égal. Les principes algébriques de base vous guideront ici: si x a un coefficient numérique, divisez les deux membres de l'équation par ce nombre; si un certain nombre est ajouté au(x) terme(s) x d'un côté du signe égal, soustrayez ce nombre des deux côtés, et ainsi de suite.
- N'oubliez pas que vous pouvez effectuer n'importe quelle opération sur un côté de l'équation tant que vous effectuez l'opération sur chaque terme des deux côtés du signe égal.
- Exemple: Pour continuer notre exemple, nous ajouterons d'abord 2 des deux côtés de l'équation. Cela nous donne y + 2 = 5x. Nous diviserions ensuite les deux côtés de l'équation par 5, ce qui donnerait (y + 2)/5 = x. Enfin, pour faciliter la lecture, nous allons réécrire l'équation avec "x" à gauche: x = (y + 2)/5.
- 3Changez les variables. Remplacez x par y et vice versa. L'équation résultante est l'inverse de la fonction d'origine. En d'autres termes, si nous substituons une valeur à x dans notre équation d'origine et obtenons une réponse, lorsque nous substituons cette réponse dans l'équation inverse (encore une fois pour x), nous récupérerons notre valeur d'origine!
- Exemple: Après avoir changé x et y, nous aurions y = (x + 2)/5
- 4Remplacez y par "f -1 (x). " Les fonctions inverses sont généralement écrites sous la forme f -1 (x) = (x termes). Notez que dans ce cas, l'exposant -1 ne signifie pas que nous devons effectuer une opération d'exposant sur notre fonction. C'est juste une façon d'indiquer que cette fonction est l'inverse de notre original.
- Puisque prendre x à la puissance -1 donne la fraction 1/x, vous pouvez également considérer f -1 (x) comme une façon d'écrire "1/f(x)", ce qui signifie également l'inverse de f(x).
- 5Vérifie ton travail. Essayez de remplacer x par une constante dans la fonction d'origine. Si vous avez trouvé l'inverse correct, vous devriez pouvoir insérer le résultat dans la fonction inverse et obtenir votre valeur x d'origine comme résultat.
- Exemple: substituons 4 à x dans notre équation d'origine. Cela nous donne f(x) = 5(4) - 2, ou f(x) = 18.
- Ensuite, substituons notre réponse, 18, dans notre fonction inverse pour x. Si nous faisons cela, nous obtenons y = (18 + 2)/5, ce qui se simplifie en y = 20/5, ce qui se simplifie encore en y = 4. 4 est notre valeur x d'origine, nous savons donc que nous avons calculé le bon fonction inverse.
Mais garder la fonction d'origine et la fonction inverse droites peut prêter à confusion, donc si vous ne travaillez pas activement avec l'une ou l'autre fonction, essayez de vous en tenir à la notation f(x) ou f^(-1)(x), qui vous aide à dire eux à part.
- Vous pouvez librement remplacer f(x) = y et f^(-1)(x) = y lorsque vous effectuez des opérations algébriques sur vos fonctions. Mais garder la fonction d'origine et la fonction inverse droites peut prêter à confusion, donc si vous ne travaillez pas activement avec l'une ou l'autre fonction, essayez de vous en tenir à la notation f(x) ou f^(-1)(x), qui vous aide à dire eux à part.
- Notez que l'inverse d'une fonction est généralement, mais pas toujours, une fonction elle-même.
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Questions et réponses
- Où utiliser les fonctions inverses?D'une part, chaque fois que vous résolvez une équation. Pour résoudre x+4 = 7, vous appliquez la fonction inverse de f(x) = x+4, c'est-à-dire g(x) = x-4, des deux côtés (x+4)-4 = 7-4. Pour résoudre 2^x = 8, la fonction inverse de 2^x est log2(x), donc vous appliquez la base de log 2 des deux côtés et obtenez log2(2^x)=log2(8) = 3. Pour résoudre x^ 2 = 16, vous voulez appliquer l'inverse de f(x)=x^2 des deux côtés, mais comme f(x)=x^2 n'est pas inversible, vous devez le diviser en deux cas. Si x est positif, g(x) = sqrt(x) est l'inverse de f, mais si x est négatif, g(x) = -sqrt(x) est l'inverse. Les solutions sont donc x = +4 et -4.
- Quelles opérations inverses dois-je utiliser pour résoudre des équations?L'inverse de tout nombre est ce nombre divisé en 1, comme dans 1/N.
