Comment dériver la formule quadratique?

La résolution de toute équation quadratique de la forme devient une simple question de substitution — L'une des compétences les plus importantes qu'un étudiant en algèbre acquiert est la formule quadratique, ou Avec la formule quadratique, la résolution de toute équation quadratique de la forme devient une simple question de substitution des coefficients dans la formule.

L'une des compétences les plus importantes qu'un étudiant en algèbre apprenne est la formule quadratique, ou $X={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}.$ Avec la formule quadratique, résoudre toute équation quadratique de la forme $Hache^{{2}}+bx+c=0$ devient une simple question de substitution des coefficients $Abc$ dans la formule. Bien que le simple fait de connaître la formule soit souvent suffisant pour beaucoup, comprendre comment elle est dérivée (en d'autres termes, d'où elle vient) est une tout autre chose. La formule est dérivée via "complétant le carré" qui a également d'autres applications en mathématiques, il est donc recommandé de vous familiariser avec.

Pas

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Commencez par la forme standard d'une équation quadratique générale. Alors que toute équation contenant un terme x2{\displaystyle x^{2}} $X^{{2}}$ est qualifiée de quadratique, la forme standard met tout à 0. Rappelez-vous que a,b,c{\displaystyle a,b,c} $Abc$ sont des coefficients qui peuvent être n'importe quel nombre réel, alors ne substituez aucun nombre à leur place - nous voulons travailler avec la forme générale.
- $Hache^{{2}}+bx+c=0$
- La seule condition est que $A\neq 0,$ car sinon, l'équation se réduit à une équation linéaire. Voyez si vous pouvez trouver des solutions générales pour les cas particuliers où $B=0$ et où $C=0.$
2
Soustrayez $c$ des deux côtés. Notre objectif est d'isoler x.{\displaystyle x.} $X.$ Pour commencer, nous déplaçons un des coefficients de l'autre côté, de sorte que le côté gauche ne soit composé que de termes contenant x{\displaystyle x} $X$ .
- $Hache^{{2}}+bx=-c$
Pour voir des exemples sur la façon de dériver la formule quadratique, lisez la suite!
3
Divisez les deux côtés par $une$ . Notez que nous aurions pu intervertir cette étape et l'étape précédente et arriver toujours au même endroit. N'oubliez pas que diviser un polynôme par quelque chose signifie que vous divisez chacun des termes individuels. Cela nous permet de compléter plus facilement le carré.
- $X^{{2}}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$
4
Complétez le carré. Rappelons que le but est de réécrire une expression x2+2◻x+◻2{\displaystyle x^{2}+2\Box x+\Box ^{2}} $X^{{2}}+2\boîte x+\boîte ^{{2}}$ sous la forme (x+◻)2,{\displaystyle (x+\Box)^{2},} $(x+\boîte)^{{2}},$ où ◻{\displaystyle \Box } $\boîte$ est un coefficient. Il peut ne pas être immédiatement évident pour vous que nous pouvons le faire. Pour y voir plus clair, réécrivez bax{\displaystyle {\frac {b}{a}}x} ${\frac {b}{a}}x$ en 2b2ax{\displaystyle 2{\frac {b}{2a}}x} $2{\frac {b}{2a}}x$ en multipliant le terme par 22.{\ displaystyle {\frac {2}{2}}.} ${\frac {2}{2}}.$ Nous pouvons le faire car multiplier par 1 ne change rien. Maintenant, nous pouvons clairement voir que dans notre cas, ◻=b2a,{\displaystyle \Box ={\frac {b}{2a}},} $\box ={\frac {b}{2a}},$ il ne nous manque donc que le terme ◻2{\displaystyle \Box ^{2}} $\boîte ^{{2}}$ . Par conséquent, afin de compléter le carré, nous ajoutons cela des deux côtés - à savoir, (b2a)2=b24a2.{\displaystyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={ \frac {b^{2}}{4a^{2}}}.} $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{{2}}={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}.$ Ensuite, bien sûr, nous factorisons.
- ${\begin{aligned}x^{{2}}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}et= {\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{\frac {c}{a}}\\\gauche(x+{\frac {b}{2a}}\ à droite)^{{2}}et={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}$
- Ici, il est clair pourquoi $A\neq 0,$ puisque $UNE$ est au dénominateur, et vous ne pouvez pas diviser par 0.
- Si vous en avez besoin, vous pouvez agrandir le côté gauche pour confirmer que l'achèvement du carré fonctionne.
5
Écris le côté droit sous un dénominateur commun. Ici, nous voulons que les deux dénominateurs soient 4a2,{\displaystyle 4a^{2},} $4a^{{2}},$ alors multipliez le terme −ca{\displaystyle {\frac {-c}{a}}} ${\frac {-c}{a}}$ par 4a4a.{\displaystyle {\frac {4a}{4a}}.} ${\frac {4a}{4a}}.$
- ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{{2}}et={\frac {b^{{2}}}{4a^{{2} }}}-{\frac {4ac}{4a^{{2}}}}\\and={\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}\end {aligné}}$
Pour dériver la formule quadratique, commencez par soustraire c des deux côtés de l'équation.
6
Prenez la racine carrée de chaque côté. Cependant, il est essentiel que vous reconnaissiez qu'en agissant ainsi, vous faites en fait deux étapes. Lorsque vous prenez la racine carrée de d2,{\displaystyle d^{2},} $D^{{2}},$ vous n'obtenez pas d.{\displaystyle d.} $RÉ.$ Vous obtenez en fait sa valeur absolue, |d|.{\displaystyle |d|.} $|d|.$ Cette valeur absolue est essentielle pour obtenir les deux racines - le simple fait de placer des racines carrées sur les deux côtés ne vous donnera qu'une seule des racines.
- $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {{\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}$
- Maintenant, nous pouvons nous débarrasser des barres de valeur absolue en mettant un ±{\displaystyle \pm } $\pm$ sur le côté droit. Nous pouvons le faire car la valeur absolue ne fait pas la distinction entre positif et négatif, ils sont donc tous les deux valides. C'est pourquoi l'équation quadratique nous permet d'obtenir deux racines.
  - $X+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}$
- Simplifions un peu plus cette expression. Puisque la racine carrée d'un quotient est le quotient des racines carrées, nous pouvons écrire le côté droit comme ±b2−4ac4a2.{\displaystyle {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} {\sqrt {4a^{2}}}}.} ${\frac {\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{{\sqrt {4a^{{2}}}}}}.$ Ensuite, nous pouvons prendre la racine carrée du dénominateur.
  - $X+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$
7
Isolez $X$ en soustrayant ${\frac {b}{2a}}$ des deux côtés.
- $X={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {{\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$
8
Écris le côté droit sous un dénominateur commun. Ce filets de la formule quadratique, la formule qui permet de résoudre toute équation quadratique en forme standard. Cela fonctionne pour tout a,b,c{\displaystyle a,b,c} $Abc$ et génère un x{\displaystyle x} $X$ qui peut être réel ou complexe. Pour confirmer que ce processus fonctionne, suivez simplement les étapes de cet article dans l'ordre inverse pour récupérer le formulaire standard.
- $X={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

La formule qui résout toute équation quadratique sous forme standard — Cela résout la formule quadratique, la formule qui résout toute équation quadratique sous forme standard.

Conseils

Il est intéressant de noter que la formule quadratique est également valable pour les coefficients complexes, bien que vous deviez peut-être faire un peu plus de simplification pour la réponse finale, et les racines ne viendront plus par paires conjuguées. Les problèmes d'expressions quadratiques sont néanmoins presque toujours donnés avec des coefficients réels.

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