Comment multiplier des binômes?

Antoine Voisin
Antoine Voisin
• 9 min de lecture
«Trouvez le produit de deux binômes» ou «Développez les deux binômes» vous demande
Toute question vous demandant de «Trouvez les termes de deux binômes (x+3)(x+2)», «Trouvez le produit de deux binômes» ou «Développez les deux binômes» vous demande de multiplier les binômes.

Les binômes sont de petites expressions mathématiques composées d'un terme variable (x, a, 3x, 4t, 1090y) additionné ou soustrait d'un terme constant (1, 3, 110, etc.). Les binômes ne contiendront toujours que 2 termes, mais ils sont les éléments constitutifs d'équations beaucoup plus grandes et plus complexes appelées polynômes, ce qui les rend incroyablement importants pour bien apprendre. Cette leçon couvrira plusieurs types de multiplication binomiale, mais ils peuvent également tous être appris séparément.

Méthode 1 sur 3: multiplier deux binômes

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    Comprendre le vocabulaire mathématique et les types de questions. Il sera impossible de résoudre les questions de votre prochain test si vous ne savez pas ce qu'elles demandent. Heureusement, la terminologie n'est pas incroyablement difficile:
    • Termes: Un terme est simplement une partie de l'équation ajoutée ou soustraite. Il peut s'agir d'une constante, d'une variable ou des deux. Par exemple, dans 12 + 13x + 4x 2, les termes sont 12, 13x et 4x 2.
    • Binôme: c'est juste une façon compliquée de dire "une expression avec deux termes", comme x+3 ou x 4 - 3x.
    • Pouvoirs: il s'agit d'un exposant sur un terme. Par exemple, nous pourrions dire que x 2 est "x à la puissance seconde " .
    • Toute question vous demandant de «Trouvez les termes de deux binômes (x+3)(x+2)», «Trouvez le produit de deux binômes» ou «Développez les deux binômes» vous demande de multiplier les binômes.
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    Apprenez l'acronyme FOIL pour vous souvenir de l'ordre de multiplication binomiale. FOIL est un guide simple pour multiplier deux binômes. FOIL représente l'ordre dont vous avez besoin pour multiplier les parties des binômes: F est pour First, O est pour Outer, I est pour Inner et L est pour Last. Les noms se réfèrent à l'ordre dans lequel les termes sont écrits. Disons que nous multiplions les binômes (x+2) et (x+5). Les termes seraient:
    • Premièrement: x et x
    • Extérieur: x & 5
    • Intérieur: 2 & x
    • Dernier: 2 & 5
  3. 3
    Multipliez la PREMIÈRE partie dans chaque parenthèse. C'est le "F" de FOIL. Dans notre exemple, (x+2)(x+5), les premiers termes sont "x" et "x". Multipliez-les ensemble et notez la réponse: «x 2».
    • Premier terme: x * x = x 2
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    Multipliez les parties OUTER dans chaque parenthèse. Ce sont les deux «extrémités» les plus externes de notre problème. Ainsi, dans notre exemple (x+2)(x+5), ils seraient "x" et "5". Ensemble, ils font "5x"
    • Terme extérieur: x * 5 = 5x
    Nous devons multiplier les binômes un à la fois
    Nous devons multiplier les binômes un à la fois, alors multipliez les deux par FOIL ou la distribution de termes.
  5. 5
    Multipliez les parties INNER dans chaque parenthèse. Les deux nombres les plus proches du centre seront votre terme intérieur. Pour (x+2)(x+5), cela signifie que vous multipliez "2" et "x" pour obtenir "2x".
    • Terme interne: 2 * x = 2x
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    Multipliez les DERNIÈRES parties dans chaque parenthèse. Il ne s'agit pas des deux derniers chiffres, mais plutôt du dernier chiffre entre parenthèses. Ainsi, pour (x+2)(x+5), nous multiplions le "2" et le "5" pour obtenir "10".
    • Dernier terme: 2 * 5 = 10
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    Ajoutez tous les nouveaux termes ensemble. Combinez les termes en les additionnant pour créer une nouvelle expression plus large. De notre exemple précédent, nous obtenons l'équation:
    • x 2 + 5x + 2x + 10
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    Simplifiez les termes similaires. Les termes similaires sont des parties de l'équation qui ont la même variable et la même puissance. Dans notre exemple, les termes 2x et 5x partagent tous deux un x et peuvent être additionnés. Aucun autre terme ne se ressemble, ils restent donc en place.
    • Réponse finale: (x+2)(x+5) = x 2 + 7x + 10
    • Remarque avancée: pour apprendre comment fonctionnent les termes similaires, rappelez-vous les bases de la multiplication. 3 * 5, par exemple, signifie que vous additionnez trois cinq pour obtenir 15 (5 + 5 + 5). Dans notre équation, nous avons 5 * x (x + x + x + x + x) et 2 * x (x + x). Si nous ajoutons tous les "x" dans l'équation, nous obtenons sept "x", ou 7x.
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    Rappelez-vous que les nombres soustraits sont négatifs. Lorsqu'un nombre est soustrait, cela revient à ajouter un nombre négatif. Si vous oubliez de garder le signe moins tout au long de vos calculs, vous vous retrouverez avec une mauvaise réponse. Prenons l'exemple (x+3)(x-2):
    • Premièrement: x * x = x 2
    • Extérieur: x * -2 = -2x
    • Intérieur: 3 * x = 3x
    • Dernier: 3 * -2 = -6
    • Additionner tous les termes: x 2 - 2x + 3x - 6
    • Simplifier jusqu'à la réponse finale: x 2 + x - 6

Méthode 2 sur 3: multiplier plus de deux binômes

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    Multipliez les deux premiers binômes, en ignorant temporairement le troisième. Prenons l'exemple (x+4)(x+1)(x+3). Nous devons multiplier les binômes un à la fois, alors multipliez les deux par FOIL ou la distribution de termes. Multiplier les deux premiers, (x+4) et (x+1) avec FOIL ressemblerait à ceci:
    • Premièrement: x*x = x 2
    • Extérieur: 1*x = x
    • Intérieur: 4*x = 4x
    • Dernier: 1*4 = 4
    • Combiner les termes: x 2 + x + 4x + 4
    • (x+4)(x+1) = x 2 + 5x +4
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    Combinez le binôme restant avec votre nouvelle équation. Maintenant que cette partie de l'équation a été multipliée, vous pouvez gérer le binôme restant. Dans l'exemple (x+4)(x+1)(x+3), le terme restant était (x+3). Remettez-le avec la nouvelle équation, vous donnant: (x+3)(x 2 + 5x + 4).
    Puis utilisez la distribution des termes pour multiplier le binôme final par les deux premiers
    Multipliez deux binômes en utilisant soit la distribution des termes, soit FOIL, puis utilisez la distribution des termes pour multiplier le binôme final par les deux premiers.
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    Multipliez le premier nombre du binôme par les trois nombres de l'autre parenthèse. C'est la distribution des termes. Ainsi, pour l'équation (x+3)(x 2 + 5x + 4), vous devez multiplier le premier x par les trois parties de la deuxième parenthèse, "x 2 ", "5x" et "4".
    • (x * x 2) + (x * 5x) + (x * 4) = x 3 + 5x 2 + 4x
    • Notez cette réponse et enregistrez-la pour plus tard.
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    Multipliez le deuxième nombre du binôme par les trois nombres de l'autre parenthèse. Prenons l'équation (x+3)(x 2 + 5x + 4). Maintenant, multipliez la deuxième partie du binôme par les trois parties dans les autres parenthèses, «x 2», «5x» et «4».
    • (3 * x 2) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x 2 + 15x + 12
    • Écrivez cette réponse à côté de la première réponse.
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    Additionnez les deux réponses de la multiplication. Vous devez combiner les réponses des deux étapes précédentes, car elles constituent les deux parties de votre réponse finale.
    • x 3 + 5x 2 + 4x + 3x 2 + 15x + 12
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    Simplifiez l'équation pour obtenir votre réponse finale. Tous les termes "comme", termes qui partagent la même variable et la même puissance (comme 5x 2 et 3x 2), peuvent être additionnés pour rendre votre réponse plus simple.
    • 5x 2 et 3x 2 deviennent 8x 2
    • 4x et 15x deviennent 19x
    • (x+4)(x+1)(x+3) = x 3 + 8x 2 + 19x + 12
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    Utilisez toujours la distribution pour résoudre des problèmes de multiplication plus importants. Puisque vous pouvez utiliser la distribution de termes pour multiplier des équations de n'importe quelle longueur, vous disposez maintenant des outils nécessaires pour résoudre des problèmes plus importants, comme (x+1)(x+2)(x+3). Multipliez deux binômes en utilisant soit la distribution des termes, soit FOIL, puis utilisez la distribution des termes pour multiplier le binôme final par les deux premiers. Dans l'exemple suivant, nous FOIL (x+1)(x+2), puis distribuons les termes avec (x+3) pour obtenir la réponse finale:
    • (x+1)(x+2)(x+3) = (x+1)(x+2) * (x+3)
    • (x+1)(x+2) = x 2 + 3x + 2
    • (x+1)(x+2)(x+3) = (x 2 + 3: + 2) * (x+3)
    • (x 2 + 3x + 2) * (x+3) = x 3 + 3x 2 + 2x + 3x 2 + 9x + 6
    • Simplifier jusqu'à la réponse finale: x 3 + 6x 2 + 11x + 6

Méthode 3 sur 3: mettre au carré des binômes

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    Sachez mettre en place des «formules générales». Les formules générales vous permettent de simplement brancher vos chiffres au lieu de calculer FOIL à chaque fois. Les binômes élevés à la deuxième puissance, comme (x+2) 2, ou à la troisième puissance, comme (4y+12) 3, peuvent être facilement intégrés dans une formule préexistante, ce qui rend la résolution rapide et facile. Pour trouver la formule générale, nous remplaçons tous les nombres par des variables. Ensuite, à la fin, nous pouvons rebrancher nos numéros pour obtenir notre réponse. Commencer par l'équation (a + b) 2, où:
    • a représente le terme variable (c'est-à-dire 4y - 1, 2x 2 + 3, etc.) S'il n'y a pas de nombre, alors a = 1, puisque 1 * x = x.
    • b représente la constante ajoutée ou soustraite (c'est-à-dire x + 10, t - 12).
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    Sachez que les binômes au carré peuvent être réécrits. (a + b) 2 peut sembler plus compliqué que notre exemple précédent, mais rappelez-vous que la quadrature d'un nombre ne fait que le multiplier par lui-même. Ainsi, nous pouvons réécrire l'équation pour qu'elle soit plus familière:
    • (a + b) 2 = (a + b)(a + b)
    Comment multiplier un binôme par un trinôme
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  3. 3
    Utilisez FOIL pour résoudre la nouvelle équation. Si nous utilisons du papier d'aluminium sur cette équation, nous obtiendrons une formule générale qui ressemble à la solution de toute multiplication binomiale. N'oubliez pas que dans la multiplication, l'ordre dans lequel vous multipliez n'a pas d'importance.
    • Réécrivez comme (a+b)(a+b).
    • Premièrement: a * a = a 2
    • Intérieur: b * a = ba
    • Extérieur: a * b = ab
    • Dernier: b * b = b 2.
    • Ajouter les nouveaux termes: a 2 + ba + ab + b 2
    • Combinez les mêmes termes: a 2 + 2ab + b 2
    • Remarque avancée: les exposants et les radicaux sont considérés comme des opérations hyper-3, tandis que la multiplication et la division sont des opérations hyper-2. Cela signifie que les propriétés de multiplication et de division ne fonctionnent pas pour les exposants. (a+b) 2 n'est pas égal à a 2 + b 2. C'est une erreur très courante chez les gens.
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    Utilisez l'équation générale a 2 + 2ab + b 2 pour résoudre vos problèmes. Prenons l'équation (x+2) 2. Au lieu de refaire FOIL, nous pouvons brancher le premier terme pour "a" et le deuxième terme pour "b",
    • Équation générale: a 2 + 2ab + b 2
    • a = x, b = 2
    • x 2 + (2 * x * 2) + 22
    • Réponse finale: x 2 + 4x + 4.
    • Vous pouvez toujours vérifier votre travail en effectuant FOIL sur l'équation d'origine, (x+2)(x+2). Vous obtiendrez la même réponse à chaque fois si c'est fait correctement.
    • Si un terme est soustrait, vous devez toujours le garder négatif dans l'équation générale.
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    N'oubliez pas d'insérer le terme entier dans l'équation générale. Étant donné le binôme (2x+3) 2, vous devez vous rappeler que a = 2x, pas simplement a = 2. Lorsque vous avez des termes complexes, vous devez vous rappeler que le 2 et le x sont au carré.
    • Équation générale: a 2 + 2ab + b 2
    • Remplacez a et b: (2x) 2 + 2(2x)(3) + 32
    • Carré à chaque terme: (22)(x 2) + 14x + 32
    • Simplifier à la réponse finale: 4x 2 + 14x + 9

Conseils

  • Au fur et à mesure que les binômes deviennent plus gros, vous devrez peut-être apprendre un théorème plus complexe appelé expansion binomiale.

Lisez aussi: Comment diviser des expressions algébriques fractionnaires?

Questions et réponses

  • Comment multiplier un binôme par un trinôme?
    (a + b)(c + d - e) = ac + ad - ae +bc +bd - be.
  • Comment gérer les binômes à puissance négative? Exemple (x + 5)^-2
    (x + 5)^(-2) = 1 / (x + 5)² = 1 / (x² + 10x + 25).

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