Comment simplifier une racine carrée?

Simplifier une racine carrée n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Pour simplifier une racine carrée, il vous suffit de factoriser le nombre et de retirer les racines de tous les carrés parfaits que vous trouvez du signe radical. Une fois que vous avez mémorisé quelques carrés parfaits communs et que vous savez comment factoriser un nombre, vous serez sur la bonne voie pour simplifier la racine carrée.

Méthode 1 sur 3: simplifier une racine carrée en factorisant

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Comprendre l'affacturage. Le but de la simplification d'une racine carrée est de la réécrire sous une forme facile à comprendre et à utiliser dans les problèmes mathématiques. La factorisation décompose un grand nombre en deux ou plusieurs facteurs plus petits, par exemple en transformant 9 en 3 x 3. Une fois que nous avons trouvé ces facteurs, nous pouvons réécrire la racine carrée sous une forme plus simple, la transformant parfois même en un entier normal. Par exemple, 9 = √(3x3) = 3. Suivez les étapes ci-dessous pour apprendre ce processus pour des racines carrées plus compliquées.
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Divisez par le plus petit nombre premier possible. Si le nombre sous la racine carrée est pair, divisez-le par 2. Si votre nombre est impair, essayez plutôt de le diviser par 3. Si aucun de ces éléments ne vous donne un nombre entier, descendez dans cette liste en testant les autres nombres premiers jusqu'à ce que vous obteniez un résultat de nombre entier. Vous n'avez qu'à tester les nombres premiers, car tous les autres nombres ont des nombres premiers comme facteurs. Par exemple, vous n'avez pas besoin de tester 4, car tout nombre divisible par 4 est également divisible par 2, ce que vous avez déjà essayé.
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
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Réécrivez la racine carrée comme un problème de multiplication. Gardez tout sous le signe de la racine carrée et n'oubliez pas d'inclure les deux facteurs. Par exemple, si vous essayez de simplifier √98, suivez l'étape ci-dessus pour découvrir que 98 2 = 49, donc 98 = 2 x 49. Réécrivez le «98» dans la racine carrée d'origine en utilisant cette information: √98 = √ (2x49).
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Répétez avec l'un des nombres restants. Avant de pouvoir simplifier la racine carrée, nous continuons à la factoriser jusqu'à ce que nous l'ayons décomposée en deux parties identiques. Cela a du sens si vous pensez à ce que signifie une racine carrée: le terme (2 x 2) signifie "le nombre que vous pouvez multiplier avec lui-même pour être égal à 2 x 2". Évidemment, ce nombre est 2! Avec cet objectif en tête, répétons les étapes ci-dessus pour notre exemple de problème, √(2 x 49):
- 2 est déjà pris en compte aussi bas que possible. (En d'autres termes, c'est l'un de ces nombres premiers sur la liste ci-dessus.) Nous allons ignorer cela pour l'instant et essayer de diviser 49 à la place.
- 49 ne peut pas être divisé également par 2, par 3 ou par 5. Vous pouvez le tester vous-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une division longue. Parce que ceux-ci ne nous donnent pas de bons résultats en nombres entiers, nous les ignorerons et continuerons d'essayer.
- 49 peuvent être divisés également par sept. 49 7 = 7, donc 49 = 7 x 7.
- Réécrivez le problème: (2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
Par exemple, si vous voyez le nombre 25 sous le signe de la racine carrée, vous savez que la réponse est 5 car 25 est un carré parfait.
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Terminez la simplification en "retirant" un entier. Une fois que vous avez décomposé le problème en deux facteurs identiques, vous pouvez le transformer en un entier régulier en dehors de la racine carrée. Laissez tous les autres facteurs à l'intérieur de la racine carrée. Par exemple, (2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
- Même s'il est possible de conserver l'affacturage, vous n'en avez pas besoin une fois que vous avez trouvé deux facteurs identiques. Par exemple, √(16) = √(4 x 4) = 4. Si on continuait à factoriser, on se retrouverait avec la même réponse mais il faudrait faire plus de travail: √(16) = √(4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
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Multipliez les nombres entiers s'il y en a plusieurs. Avec de grandes racines carrées, vous pouvez simplifier plusieurs fois. Si cela se produit, multipliez les nombres entiers ensemble pour obtenir votre problème final. Voici un exemple:
- 180 = (2 x 90)
- 180 = (2 x 2 x 45)
- √180 = 2√45, mais cela peut encore être simplifié davantage.
- √180 = 2√(3 x 15)
- 180 = 2√(3 x 3 x 5)
- 180 = (2)(3√5)
- 180 = 6√5
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Écrivez "ne peut pas être simplifié" s'il n'y a pas deux facteurs identiques. Certaines racines carrées sont déjà sous la forme la plus simple. Si vous continuez à factoriser jusqu'à ce que chaque terme sous la racine carrée soit un nombre premier (répertorié dans l'une des étapes ci-dessus) et qu'il n'y en ait pas deux identiques, alors vous ne pouvez rien faire. On vous a peut-être posé une question piège! Par exemple, essayons de simplifier √70:
- 70 = 35 x 2, donc √70 = √(35 x 2)
- 35 = 7 x 5, donc (35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
- Ces trois nombres sont premiers, ils ne peuvent donc pas être factorisés davantage. Ils sont tous différents, il n'y a donc aucun moyen de "sortir" un entier. √70 ne peut pas être simplifié.

Méthode 2 sur 3: connaître les carrés parfaits

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Mémorisez quelques carrés parfaits. Mettre un nombre au carré, ou le multiplier par lui-même, crée un carré parfait. Par exemple, 25 est un carré parfait car 5 x 5, ou 5², est égal à 25. Mémoriser au moins les dix premiers carrés parfaits peut vous aider à reconnaître et à simplifier rapidement les racines carrées parfaites. Voici les dix premiers carrés parfaits:
- 1² = 1
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
- 6² = 36
- 7² = 49
- 8² = 64
- 9² = 81
- 10² = 100
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Trouver la racine carrée d'un carré parfait. Si vous reconnaissez un carré parfait sous un symbole de racine carrée, vous pouvez immédiatement le transformer en sa racine carrée et vous débarrasser du signe radical (√). Par exemple, si vous voyez le nombre 25 sous le signe de la racine carrée, vous savez que la réponse est 5 car 25 est un carré parfait. Voici la même liste que ci-dessus, allant de la racine carrée à la réponse:
- 1 = 1
- 4 = 2
- 9 = 3
- 16 = 4
- 25 = 5
- 36 = 6
- 49 = 7
- 64 = 8
- 81 = 9
- 100 = 10
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Facteur de nombres en carrés parfaits. Utilisez les carrés parfaits à votre avantage lorsque vous suivez la méthode des facteurs pour simplifier les racines carrées. Si vous remarquez un moyen de factoriser un carré parfait, cela peut vous faire gagner du temps et des efforts. Voici quelques conseils:
- 50 = (25 x 2) = 5√2. Si les deux derniers chiffres d'un nombre se terminent par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours factoriser 25.
- 1700 = (100 x 17) = 10√17. Si les deux derniers chiffres se terminent par 00, vous pouvez toujours factoriser 100.
- 72 = (9 x 8) = 3√8. Reconnaître les multiples de neuf est souvent utile. Il y a une astuce: si tous les chiffres d'un nombre totalisent neuf, alors neuf est toujours un facteur.
- 12 = √(4 x 3) = 2√3. Il n'y a pas d'astuce spéciale ici, mais il est généralement facile de vérifier si un petit nombre est divisible par 4. Gardez cela à l'esprit lorsque vous recherchez des facteurs.
Si vous reconnaissez un carré parfait sous un symbole de racine carrée, vous pouvez immédiatement le transformer en sa racine carrée et vous débarrasser du signe radical (√).
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Factoriser un nombre avec plus d'un carré parfait. Si les facteurs du nombre contiennent plus d'un carré parfait, déplacez-les tous en dehors du symbole radical. Si vous avez trouvé plusieurs carrés parfaits au cours de votre processus de simplification, déplacez toutes leurs racines carrées à l'extérieur du symbole √ et multipliez-les ensemble. Par exemple, simplifions √72:
- 72 = (9 x 8)
- 72 = (9 x 4 x 2)
- √72 = (9) x √(4) x √(2)
- 72 = 3 x 2 x √2
- 72 = 6√2

Méthode 3 sur 3: connaître la terminologie

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Sachez que le symbole radical (√) est le symbole de la racine carrée. Par exemple, dans le problème, √25, "√" est le symbole radical.
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Sachez que le radicande est le nombre à l'intérieur du symbole radical. Vous devrez trouver la racine carrée de ce nombre. Par exemple, dans le problème √25, "25" est le radicande.
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Sachez que le coefficient est le nombre en dehors du symbole radical. C'est le nombre par lequel la racine carrée est multipliée; celui-ci se trouve à gauche du symbole √. Par exemple, dans le problème, 7√2, "7" est le coefficient.
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Sachez qu'un facteur est un nombre qui peut être divisé également à partir d'un autre nombre. Par exemple, 2 est un facteur de 8 car 8 4 = 2, mais 3 n'est pas un facteur de 8 car 8÷3 ne donne pas un nombre entier. Autre exemple, 5 est un facteur de 25 car 5 x 5 = 25.

Cependant, si vous factorisez autant que possible les nombres à l'intérieur de la racine carrée sans obtenir deux nombres identiques, alors votre racine carrée ne peut pas être simplifiée!
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Comprendre la signification de simplifier une racine carrée. Simplifier une racine carrée signifie simplement éliminer tous les carrés parfaits du radical, les déplacer vers la gauche du symbole radical et laisser l'autre facteur à l'intérieur du symbole radical. Si le nombre est un carré parfait, le signe radical disparaîtra une fois que vous aurez noté sa racine. Par exemple, √98 peut être simplifié en 7√2.

Conseils

Une façon de trouver des carrés parfaits qui prennent en compte un nombre est de parcourir la liste des carrés parfaits, en commençant par celui qui est le plus petit suivant par rapport à votre radicande, ou le nombre sous le signe de la racine carrée. Par exemple, lorsque vous cherchez le carré parfait qui va en 27, vous pouvez commencer à 25 et descendre la liste jusqu'à 16 et vous arrêter à 9, lorsque vous avez trouvé celui qui se divise en 27.

Mises en garde

Les calculatrices peuvent être utiles pour les grands nombres, mais plus vous vous entraînerez à les résoudre par vous-même, plus cela deviendra facile.
Simplifier n'est pas la même chose qu'évaluer. À aucun moment de ce processus, vous ne devez obtenir un nombre avec une virgule décimale!

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