Comment faire une division longue avec des polynômes?

Vous pouvez utiliser une division longue polynomiale pour trouver des facteurs de grands polynômes — Tout comme vous utilisez une division longue régulière pour trouver des facteurs de grands nombres (3624÷14, par exemple), vous pouvez utiliser une division longue polynomiale pour trouver des facteurs de grands polynômes.

La division longue, en algèbre, est un outil pour simplifier les expressions polynomiales longues. Tout comme vous utilisez une division longue régulière pour trouver des facteurs de grands nombres (3624÷14, par exemple), vous pouvez utiliser une division longue polynomiale pour trouver des facteurs de grands polynômes. Le processus est essentiellement le même que la division longue avec des nombres. C'est une série répétée de quatre étapes: estimer, multiplier, soustraire, reporter. Pour les polynômes très longs, vous continuez simplement le même processus pour plus d'étapes. Tout comme la division longue avec des nombres fonctionne parfois "pair" et a parfois un reste, vous devez savoir comment traiter les restes dans la division longue polynomiale.

Méthode 1 sur 3: diviser un trinôme par un binôme

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Lisez le problème. Le problème peut vous être présenté comme un simple problème de division, avec des instructions pour trouver le quotient. Vous pouvez également avoir une fraction, avec un polynôme comme numérateur et un binôme comme dénominateur. Vous devez reconnaître cela comme une opportunité d'effectuer une division.
- Par exemple, un problème de division peut être défini comme suit: «Trouvez le quotient lorsque $3x^{2}+20x+12$ est divisé par $X+6$ .»
- Le même problème pourrait vous demander: "Un facteur de $3x^{2}+20x+12$ est $X+6$ . Quel est l'autre facteur?"
- Enfin, le même problème peut apparaître sous la forme ${\frac {3x^{2}+20x+12}{x+6}}$ . Vous devez reconnaître que la forme fractionnaire signifie diviser le numérateur par le dénominateur.
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Mettre en place un long problème de division. Comme vous le feriez avec des nombres, commencez par dessiner un long symbole de division, quelque chose comme ceci:)¯¯¯¯¯¯. Le polynôme qui est votre dividende va dans l'espace sous le symbole. Le diviseur est placé à gauche du symbole.
- Le «dividende» est le grand terme dont vous essayez de trouver les facteurs. Le «diviseur» est le facteur par lequel vous divisez. Le "quotient" est la réponse à tout problème de division.
- Avec les polynômes, ce problème ressemblera à: $X+6{\overline {)3x^{2}+20x+12}}$ .
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Estimez le premier terme de votre quotient. Lorsque vous effectuez une longue division avec des nombres, vous n'essayez pas de diviser le nombre entier en une seule étape. Vous regardez le premier ou les deux premiers chiffres du dividende et vous estimez combien de fois le premier chiffre du diviseur y entrera. Vous ferez de même avec la division polynomiale. Regardez le premier terme du diviseur et décidez combien de fois cela ira dans le premier terme du dividende.
- Par exemple, si vous divisez 642 par 3, vous commencez par considérer combien de fois 3 se divisera en le premier chiffre de 642. Trois va deux fois dans six, donc vous écrivez un 2 au-dessus du 6 sur la ligne de division.
- Pour la division polynomiale, considérons le premier terme du dividende, $3x^{2}$ et le premier terme du diviseur, $X$ . $3x^{2}$ divisé par $X$ laisse un facteur de $3x$ . Écrivez $3x$ au-dessus du $3x^{2}$ sous le symbole de division.
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Multipliez votre premier terme par le diviseur. Avec la première fois de votre quotient au-dessus de la barre, multipliez maintenant cela par le diviseur complet. Écrivez le résultat sous le dividende.
- Avec $3x$ comme premier terme de votre quotient, multipliez $3x$ par $X+6$ . Pour ce faire, multipliez 3x par chaque terme. $3x*x$ abord $3x∗x{\displaystyle 3x*x}$ puis $3x*+6$ . Écrivez le résultat, $3x^{2}+18x$ sous les deux premiers termes du polynôme $3x^{2}+20x$ .
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Soustraire. Tout comme la prochaine étape de la division longue consiste à soustraire votre résultat du nombre d'origine, dans ce problème, vous soustrairez le polynôme moins le binôme que vous venez d'écrire. Vous devriez avoir écrit votre étape précédente sous des termes similaires du polynôme, vous pouvez donc simplement soustraire vers le bas. Tracez une ligne sous le binôme inférieur et soustrayez.
- Dans l' exemple en cours, les premiers termes doivent s'aligner pour soustraire $3x^{2}-3x^{2}$ . Cela s'annule à zéro. Soustrayez ensuite les seconds termes, $20x-18x$ . Sous la ligne de soustraction, écrivez votre réponse de $2x$ .
Pour faire une division longue avec des polynômes, commencez par diviser le premier terme de votre dividende par le premier terme de votre diviseur.
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Reportez le prochain terme du dividende. Dans la longue division numérique, vous maintenant faire descendre le prochain chiffre du numéro. Dans la division longue polynomiale, copiez le prochain terme du polynôme.
- Dans cet exemple, le prochain (et dernier) terme du polynôme est $+12$ . Copiez cela vers le bas, à côté du $2x$ , pour créer le binôme $2x+12$ .
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Recommencez le processus. Comparez ce nouveau dividende, 2x+2{\displaystyle 2x+2} $2x+2$ au diviseur x+6{\displaystyle x+6} $X+6$ . Considérez combien de fois le premier terme, 2x{\displaystyle 2x} $2x$ peut diviser le premier terme du diviseur x{\displaystyle x} $X$ . 2x{\displaystyle 2x} $2x$ divisé par x{\displaystyle x} $X$ est 2{\displaystyle 2} ${\style d'affichage 2}$ . Écrivez ce résultat, 2{\displaystyle 2} ${\style d'affichage 2}$ comme prochain terme de votre quotient au sommet du problème.
- Parce que le ${\style d'affichage 2}$ est positif, écrivez-le comme $+2$ . Cela donnera le quotient de $3x+2$ au-dessus de la ligne de division.
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Multipliez le dernier terme du quotient par le diviseur. Continuez le processus en multipliant.
- Dans cet exemple, multipliez le $+2$ chaque terme du diviseur $X+6$ . Cela donnera le résultat $2x+12$ . Écrivez ce résultat au bas du problème de division longue, en alignant les termes avec le résultat de votre soustraction précédente.
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Soustraire. Alignez les termes courants, puis soustrayez. Le binôme au bas du problème de votre soustraction précédente était $2x+12$ . En dessous se trouve le dernier produit, qui est également $2x+12$ . Lorsque vous soustrayez chaque terme, le résultat sera zéro.
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Rapportez votre résultat. Lorsque vous avez utilisé tous les termes du polynôme initial et que votre soustraction annule tous les termes à zéro, vous avez terminé avec la division longue. Le résultat de 3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12} $3x^{2}+20x+12$ divisé par x+6{\displaystyle x+6} $X+6$ est 3x+2{\displaystyle 3x+2} $3x+2$ .
- Alternativement, si vous travaillez avec le problème sous forme de fraction, le résultat ressemblera à ceci:
  - ${\frac {3x^{2}+20x+12}{x+6}}={\frac {(3x+2)(x+6)}{x+6}}=3x+2$

Méthode 2 sur 3: faire une division longue avec des polynômes plus longs

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Configurez le problème. Comme vous le feriez avec un problème plus simple, écrivez votre dividende sous la longue barre de division et votre diviseur à sa gauche.
- Supposons qu'on vous demande de trouver le quotient de 4x3+9x2−x−6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6} $4x^{3}+9x^{2}-x-6$ divisé par x+2{\displaystyle x+2} $X+2$ . Définissez le polynôme plus long 4x3+9x2−x−6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6} $4x^{3}+9x^{2}-x-6$ sous la barre de division et le diviseur x+2{\displaystyle x+2} $X+2$ à gauche. Il ressemblera à ceci:
  - $X+2{\overline {)4x^{3}+9x^{2}-x-6}}$ .
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Suivez les mêmes étapes que précédemment. Suivez le même schéma de quatre longues étapes de division que précédemment: estimation, multiplication, soustraction, réduction. La seule différence avec un problème plus long est que vous continuerez à répéter le motif plusieurs fois.
- Considérez le problème de division longue numérique $24{\overline {)90048}}$ . Vous commencerez par estimer 2 en 9, puis reporterez le 0, puis vous finirez par reporter l'autre 0, le 4, puis le 8. Chaque nombre représente un tour complet de "Estimer, multiplier, soustraire, reporter. "
- Avec la division longue polynomiale plus longue, chacun des termes du dividende, $4x^{3}$ , $9x^{2}$ , $-X$ et $-6$ représente un cycle complet de "Estimation, Multiplication, Soustraction, Retenue".
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Continuez jusqu'à la fin. Continuez à travailler jusqu'à ce que vous arriviez à la soustraction finale et que vous n'ayez plus de termes à reporter. Avec cet exemple de problème, la division devrait fonctionner uniformément, de sorte que la soustraction finale donne un résultat de zéro.

Écrivez ce résultat au bas du problème de division longue, en alignant les termes avec le résultat de votre soustraction précédente.
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Rapportez votre résultat. Tout comme vous vous attendriez à ce qu'un plus grand nombre soit le quotient lorsque vous divisez de grands nombres, vous aurez probablement un polynôme plus long comme quotient lorsque vous faites un problème de division algébrique plus long.
- Dans cet exemple, le résultat de $4x^{3}+9x^{2}-x-6$ divisé par $X+2$ est le trinôme $4x^{2}+x-3$ .

Méthode 3 sur 3: traiter les restes dans la division longue polynomiale

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Configurez votre problème. Lorsque vous démarrez un problème de division longue polynomiale, vous ne saurez pas au début si vous aurez ou non un reste. Configurez le problème comme vous le feriez avec n'importe quelle division longue.
- Par exemple, supposons que vous ayez le problème x2+5x+9x+3{\displaystyle {\frac {x^{2}+5x+9}{x+3}}} ${\frac {x^{2}+5x+9}{x+3}}$ . Configurez ceci comme:
  - $X+3{\overline {)x^{2}+5x+9}}$ .
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Estimez le premier terme de votre quotient. Regardez le premier terme du dividende et le premier terme du diviseur. Estimez le quotient et écrivez le résultat au-dessus de la barre.
- Dans cet exemple, le premier terme du quotient est $X^{2}$ et le premier terme du diviseur est $X$ . $X^{2}$ divisé par $X$ va dans $X$ fois, donc écrivez le résultat $X$ au-dessus de la ligne de la barre de division.
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Multipliez le terme quotient par le diviseur. Trouvez le produit partiel de la première étape en multipliant votre première estimation du quotient par le diviseur. Écrivez votre résultat sous le dividende.
- Pour ce problème, multipliez le $X$ que vous avez écrit au-dessus de la barre par les termes du diviseur $X+3$ . Écrivez le résultat, $X^{2}+3x$ sous les termes correspondants $X^{2}+5x$ .
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Soustraire. Tracez une ligne sous votre dernier résultat et soustrayez terme par terme. Écrivez les différences au bas du problème.
- Dans cet exemple, les premiers termes s'annuleront sous la forme $X^{2}-x^{2}=0$ .
- La soustraction du deuxième terme est $5x-3x$ . Écrivez le résultat, $2x$ , au bas du problème.
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Reportez le prochain terme du polynôme. Comme précédemment, copiez le terme suivant du polynôme de dividende jusqu'en bas et ajoutez-le au résultat de votre étape de soustraction.
- Dans ce cas, le terme final du polynôme est $+9$ . Copiez -le vers le bas et ajoutez-le au $2x$ de votre étape précédente. Cela crée le binôme $2x+9$ .
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Répétez le long processus de division. Regardez les premiers termes et décidez combien de fois le $X$ de votre diviseur $X+3$ ira dans le $2x$ en bas. Écrivez ce résultat, ${\style d'affichage 2}$ au-dessus de la ligne de division en haut du problème. Cela vous donne un quotient de $X+2$ .
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Multipliez le dernier terme du quotient par le diviseur. Utilisez le terme que vous venez de placer dans le quotient pour multiplier le diviseur. Écrivez le résultat au bas du problème de division longue.
- Dans cet exemple, multipliez le $+2$ par chaque terme du diviseur $X+3$ . Écrivez le résultat, $2x+6$ en bas. Alignez les termes communs les uns sous les autres.
Tout comme la division longue avec des nombres fonctionne parfois "pair" et a parfois un reste, vous devez savoir comment traiter les restes dans la division longue polynomiale.
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Soustraire. Tracez une ligne sous votre dernière étape et soustrayez les termes courants.
- Dans l'exemple de problème, cela devrait laisser la soustraction de $2x+9$ moins $2x+6$ . Les premiers termes, $2x-2x$ s'annuleront. La soustraction finale est $9-6$ . Cela laisse un reste de 3. Puisqu'il n'y a plus de termes du polynôme de dividende à reporter, votre travail est terminé, sauf pour rapporter votre résultat.
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Rapportez votre résultat. Rappelez-vous comment vous gérez les restes lors de la division avec uniquement des nombres. Avant d'apprendre à diviser en décimales, vous avez appris à écrire le reste sous forme de fraction sur le diviseur. Vous faites la même chose avec la division polynomiale. Vous écrirez le reste comme numérateur d'une fraction, avec le diviseur comme dénominateur.
- Prenons l'exemple numérique $3{\overline {)35}}$ . Cela donnerait un résultat de 11, avec un reste de 2. Vous écririez votre réponse sous la forme $11{\frac {2}{3}}$ .
- Pour la division polynomiale, votre quotient était $X+2$ avec un reste de $3$ . Écrivez le reste sous forme de fraction sur le diviseur, de sorte que vous rapportez votre quotient complet sous la forme $X+2+{\frac {3}{x+3}}$ .

Conseils

Comme pour toute autre compétence, la pratique rend parfait. Si vous travaillez sur des problèmes de division longue plus polynomiaux, vous apprendrez très bien la régularité et pourrez résoudre des problèmes plus longs très facilement.

Mises en garde

Sur les étapes de soustraction du processus de division longue, surveillez les signes négatifs. Rappelez-vous que la soustraction d'un terme négatif a le résultat d'une addition. Gardez une trace de tous les signes négatifs avec soin.

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