Comment déterminer une droite = à la racine carrée de 3 géométriquement?
La racine carrée de 3 a été découverte géométriquement par extrapolation du LIVRE I PROPOSITION 1 des "Éléments" d'Euclide.
Pour un cube, la longue diagonale interne de bas en haut en diagonale d'un coin à l'autre = côté fois la racine carrée de 3, qui est liée à la formule de la diagonale pour un carré, côté fois la racine carrée de 2. Ceux-ci découlent du théorème de Pythagore: ce dernier dû au fait que 1^2 + 1^2 = sqrt(2)^2, et pour le cube, 1^2 + sqrt(2)^2 = sqrt(3)^ 2, c'est-à-dire la hauteur au carré plus la diagonale du sol au carré = la longue diagonale transversale de haut en bas au carré. La racine carrée de 3 a été découverte géométriquement par extrapolation du LIVRE I PROPOSITION 1 des "Éléments" d'Euclide.
Partie 1 sur 3: le tutoriel
- 1Apprenez à connaître l'image que vous allez créer.
- 2Faites une ligne horizontale bleue finie donnée de longueur unitaire = 1, et en traitant chaque extrémité comme le centre d'un rayon, faites deux cercles qui se chevauchent.
- 3Connectez les extrémités de la ligne d'origine (rayon) de chaque côté avec le point d'intersection des deux cercles. Le haut et le bas, avec des lignes droites, formeront deux triangles équilatéraux, l'un au-dessus de l'autre, celui du bas une image inversée du triangle du haut. Tous les rayons sont égaux et tous les côtés étant égaux, ce sont des triangles équilatéraux prouvés.
- 4Déposez la perpendiculaire de connexion entre le point d'intersection supérieur des deux cercles et le point d'intersection inférieur des deux cercles. La longueur de cette ligne est égale à la racine carrée de 3.
- 5Faire le calcul. Là où la perpendiculaire coupe la ligne d'unité donnée d'origine jusqu'à l'extrémité gauche (ou droite) de la ligne est une distance de 0,5 - appelons cette distance a. a^2 = 0,25. L'hypoténuse a une longueur de 1; appelons l'hypoténuse c et c^2 = 1. c^2 - a^2 = b^2 = 1 - 0,25 = 0,75 et la racine carrée de celle-ci est sqrt(3)/2 et vaut 0,5 la perpendiculaire tombante entre les points d'intersection, haut et bas, des deux cercles. Donc deux fois cette distance, ou la mesure de la pleine perpendiculaire entre les points d'intersection du cercle, est égale à sqrt(3)/2 * 2 qui = la racine carrée de 3... la distance même que l'on cherchait à déterminer géométriquement.
Partie 2 sur 3: tableaux explicatifs, schémas, photos
- 1La ligne noire est égale à la racine carrée de 3 par rapport au rayon de 1 entre 0 et +1 sur l'axe des x. Sqrt(3) = 1,73205080756888 et nous pouvons voir que la ligne noire mesure environ 2* 0,85 ou 1,7 unités de longueur, à peu près.
Partie 3 sur 3: conseils utiles
- 1Utilisez des articles d'aide lorsque vous suivez ce didacticiel:
- Voir l'article Comment créer un chemin de particules de spin en spirale ou une forme de collier ou une bordure sphérique pour une liste d'articles liés à Excel, à l'art géométrique et/ou trigonométrique, aux graphiques/diagrammes et à la formulation algébrique.
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C^2 - a^2 = b^2 = 1 - 0,25 = 0,75 et la racine carrée de ceci est sqrt(3)/2 et égale 0,5 la perpendiculaire tombante entre les points d'intersection, haut et bas, des deux cercles.
- Il y a souvent plus dans Euclide que ce qui est évident dans la preuve, si l'on réfléchit un peu plus.
- Par exemple, dans le LIVRE I, PROPOSITION 2 des "Éléments", ce qui n'est pas évident, c'est que le petit pas avancé par la ligne transférée à un point arbitraire a en fait été tourné de 180 degrés - du talon aux orteils. Si, au lieu de la preuve, on trace une ligne droite du point c au point a, puis on crée un cercle de rayon égal à la longueur de l'ancienne ligne, on aura transféré la ligne (avec 360 degrés de liberté) au point arbitraire. Cependant, on sacrifie le triple contrôle que fournit la méthode du triangle équilatéral utilisée dans la démonstration d'Euclide.
- Puisque le côté s^3 = un cube et sqrt(3) * sqrt(3) = 3, il s'ensuit que nous pouvons dire que s^(sqrt(3)^2) = un cube. En d'autres termes, en multipliant deux diagonales croisées ensemble dans l'exposant, nous obtenons un cube.
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