Comment trouver un taux de variation moyen?
Le taux moyen de changement est une fonction qui représente le taux moyen auquel une chose change par rapport à quelque chose d'autre qui change.
Le taux moyen de changement est une fonction qui représente le taux moyen auquel une chose change par rapport à quelque chose d'autre qui change. En mathématiques, il est noté A(x). Vous pouvez utiliser le même concept pour mesurer le changement d'une fonction mathématique. Vous pouvez également mesurer les taux moyens de changement de diverses qualités physiques. Le taux moyen de changement de la position d'un objet est ce que nous appelons simplement la vitesse. Vous pouvez également mesurer les taux de croissance moyens des plantes ou des animaux vivants.
Méthode 1 sur 3: calculer une vitesse moyenne
- 1Connaître la formule de calcul de la vitesse moyenne. Supposons que vous vouliez connaître la vitesse moyenne de déplacement, mais que vous n'ayez pas de compteur de vitesse. Il est possible de calculer la vitesse avec quelques mesures et calculs de base. La vitesse moyenne de n'importe quel objet est trouvée en divisant le changement de position par le changement de temps. Cela peut s'écrire mathématiquement sous la forme:
- vitesse=ΔxΔt{\displaystyle {\text{speed}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}}
- Dans cette fonction, Δx{\displaystyle \Delta x} représente le changement de position ou la distance parcourue. Le dénominateur Δt{\displaystyle \Delta t} représente le changement dans le temps.
- 2Déterminez la position de départ. La vitesse moyenne d'un objet est le calcul de son changement de position, ou d'emplacement, sur une période de temps choisie. Par conséquent, pour commencer, vous devez sélectionner la position de départ de votre mesure.
- Par exemple, si vous souhaitez mesurer votre vitesse de marche moyenne de votre maison à votre école à travers la ville, la position de départ est votre maison.
- La position "de départ" ne doit pas nécessairement être un vrai départ. Par exemple, vous pouvez choisir de mesurer la vitesse moyenne d'une voiture de course dans l'Indy 500. Vous pouvez sélectionner n'importe quel point le long de la piste comme point de "départ" pour votre mesure.
- 3Mesurez la distance jusqu'au point final. Vous pouvez calculer la vitesse moyenne sur n'importe quelle distance ou durée que vous choisissez. Le seul facteur limitant est la qualité ou la précision de votre instrument de mesure. Par exemple, mesurer la vitesse d'un sprinter nécessite une précision de quelques centimètres, tandis que la mesure de la vitesse d'une voiture de course doit être précise à quelques pieds ou mètres près.
- Pour mesurer votre vitesse de marche de la maison à l'école, vous pouvez trouver la distance soit en regardant une carte locale, soit en parcourant l'itinéraire avec le compteur kilométrique d'une voiture. Pour cet exemple, supposons que la distance est de 0,6 miles.
- Pour la voiture de course Indy 500, un tour de la piste de course Indianapolis Speedway est de 2,5 miles. Par conséquent, vérifiez la position de la voiture à n'importe quel point de la piste. Lorsque la voiture passe à nouveau ce même point, sa distance sera de 2,5 miles.
- 4Mesurez le temps écoulé. La vitesse moyenne vous oblige à mesurer le temps qui passe. Comme pour les mesures de distance, cela peut nécessiter plus ou moins de précision, en fonction de la vitesse elle-même. Par exemple, vous avez besoin d'un chronomètre qui mesure des dixièmes ou des centièmes de secondes pour mesurer la vitesse des sprinteurs de classe mondiale, mais une montre ordinaire avec une trotteuse peut mesurer la vitesse d'une voiture de course sur une piste.
- Pour le trajet à pied jusqu'à l'école, vous pouvez probablement utiliser une montre-bracelet pour mesurer le temps. Supposons, pour cet exemple, que le trajet jusqu'à l'école dure quinze minutes.
- En regardant la voiture de course autour de l'Indianapolis Speedway, vous pouvez chronométrer chaque tour avec une montre ou un chronomètre. Une voiture rapide mettra environ 45 secondes pour effectuer un tour.
- 5Calculer la vitesse moyenne. Après avoir pris les mesures dont vous avez besoin, vous les placez simplement dans la formule de calcul de la vitesse pour trouver la vitesse de l'objet. Faites attention aux unités que vous utilisez pour le calcul.
- Pour le trajet à pied jusqu'à l'école, la distance a été mesurée à 0,6 miles, et le temps était de quinze minutes. Placez ces informations dans la formule comme suit:
- vitesse=ΔxΔt=0,615=0,4{\displaystyle {\text{speed}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {0,6}{15}}=0, 4} milles/minute.
- La voiture de course Indy a parcouru 2,5 miles en 45 secondes. Ces données entrent dans la formule de calcul de la vitesse comme suit:
- speed=ΔxΔt=2,545=0,0556{\displaystyle {\text{speed}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {2,5}{45}}=0, 0556} milles/seconde.
- Pour le trajet à pied jusqu'à l'école, la distance a été mesurée à 0,6 miles, et le temps était de quinze minutes. Placez ces informations dans la formule comme suit:
- 6Convertissez les unités si nécessaire. Parfois, le calcul final peut ne pas être dans les unités qui vous sont les plus utiles. Si vous avez besoin ou souhaitez indiquer la vitesse dans différentes unités, vous devrez la multiplier par un facteur de conversion.
- Par exemple, la vitesse d'une voiture de course est généralement mesurée en miles par heure, et non en miles par seconde. Une heure étant égale à 3600 secondes, vous pouvez convertir la vitesse calculée en multipliant par 3600 secondes par heure.
- 0,0556 miles par seconde∗3600 secondes par heure=200,16 miles par heure{\displaystyle 0,0556{\text{ miles par seconde}}*3600{\text{ secondes par heure}}=200,16{\ texto{ miles par heure}}} .
Le taux moyen de changement de la position d'un objet est ce que nous appelons simplement la vitesse.
Méthode 2 sur 3: trouver un taux de croissance moyen
- 1Comprendre la formule pour mesurer les taux de croissance moyens. Pour les choses qui grandissent, que ce soit en taille ou en poids, vous pouvez mesurer le taux de croissance en trouvant le changement de la qualité que vous souhaitez mesurer, divisé par le temps. Cette formule peut être exprimée mathématiquement par:
- rate=ΔhΔt{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {\Delta h}{\Delta t}}} ou ΔwΔt{\displaystyle {\frac {\Delta w}{\Delta t}}}
- Dans ces deux exemples, h{\displaystyle h} représente la taille et w{\displaystyle w} représente le poids. Dans les deux cas, t{\displaystyle t} correspond au temps écoulé.
- 2Décidez combien de temps vous souhaitez mesurer le taux de croissance. Certaines plantes, comme le bambou asiatique, poussent très vite, avec des différences visibles en quelques heures. Pour mesurer quelque chose comme le taux de croissance d'un enfant, les changements peuvent ne pas avoir lieu avant des mois, un an ou plus. Vous devez sélectionner une période pertinente pour ce que vous mesurez.
- Supposons qu'une classe élémentaire plante des graines de haricot et commence à mesurer leur croissance dès l'apparition de la première pousse. Une mesure de temps raisonnable pourrait être d'environ un mois, mesurée en jours.
- Les scientifiques qui élèvent un bébé éléphant orphelin ont voulu mesurer son taux de croissance au cours des 90 premiers jours de sa vie.
- 3Calculez la taille de départ. Pour mesurer un taux de croissance, vous devez définir un point de départ et mesurer la taille à ce moment-là.
- Pour l'exemple des plants de haricots des élèves, ils ont choisi comme point de départ le jour où la première pousse est apparue. La hauteur au point est fixée à 0 cm.
- Pour le bébé éléphant, les vétérinaires ont mesuré le poids de l'éléphant le jour de sa naissance. Son poids initial ce jour-là était de 91 kg.
- 4Mesurez la taille ou le poids de fin. Une fois le temps écoulé pour votre étude, mesurez la taille ou le poids de l'objet dont vous étudiez la croissance.
- Pour les plants de haricots, la hauteur moyenne des plants des élèves au 30e jour était de 61 centimètres. Parce que les plantes ont commencé à une hauteur de 0, la quantité de croissance était de 61 centimètres.
- Pour l'éléphant, après la période d'étude de 90 jours, les vétérinaires ont mesuré son poids à 181 kg.
- 5Utilisez la formule du taux de croissance pour la taille ou le poids. Entrez les données que vous avez mesurées dans la formule et effectuez les calculs pour trouver le taux de croissance.
- Pour l'exemple du haricot des étudiants, le calcul ressemblera à ceci:
- taux=61 centimètres30 jours=2 centimètres jour{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {24{\text{ pouces}}}{30{\text{ jours}}}}=0,8{\ frac {\text{ pouces}}{\text{ day}}}}
- Pour le taux de croissance de l'éléphant, vous devez calculer la quantité de changement de poids dans le numérateur dans le cadre du calcul:
- rate=400−91 kg90 jours{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {400-200{\text{ livres}}}{90{\text{ jours}}}}}
- rate=91 kg90 jours{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {200{\text{ livres}}}{90{\text{ jours}}}}}
- rate=2,22poundsday{\displaystyle {\text{rate}}=2,22{\frac {\text{pounds}}{\text{day}}}}
- Pour l'exemple du haricot des étudiants, le calcul ressemblera à ceci:
La vitesse moyenne de n'importe quel objet est trouvée en divisant le changement de position par le changement de temps.
Méthode 3 sur 3: calculer le taux de variation d'une fonction
- 1Connaissez votre fonction. En mathématiques, une fonction est une relation mathématique entre des nombres, de sorte que vous entrez un nombre et un autre nombre est le résultat. Les fonctions peuvent généralement être représentées graphiquement. Ils peuvent représenter des lignes droites, des paraboles ou des courbes d'aspect aléatoire qui n'ont pas de définition facile.
- Voici quelques exemples de fonctions:
- y(x)=3x+4{\displaystyle y(x)=3x+4} (la fonction d'une ligne droite)
- y(x)=sin(x){\displaystyle y(x)=sin(x)} (une fonction pour une ligne ondulée)
- y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}} (une fonction pour une parabole)
- Voici quelques exemples de fonctions:
- 2Sélectionnez les valeurs de x. Trouver le taux moyen de changement d'une fonction signifie mesurer la valeur de la fonction à deux points différents le long de l'axe des x. Sélectionnez une valeur de x à l'endroit où vous souhaitez commencer la mesure, puis déterminez jusqu'où vous souhaitez avancer le long de l'axe.
- En fonction de vos objectifs, vous pouvez choisir une plage de valeurs x plus large ou plus étroite à mesurer. Pour cet exercice, sélectionnez la première valeur x à 0 et la deuxième valeur x à 3.
- 3Calculer les valeurs de la fonction. Le taux de changement de la fonction mesure de combien les valeurs y changent sur la distance x horizontale choisie. Pour calculer ce changement, vous devez connaître les valeurs y à chaque valeur choisie de x.
- Pour l'exemple de fonction, y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}} , sélectionnez les deux valeurs x=0 et x=3, par exemple. Les valeurs correspondantes de y(x){\displaystyle y(x)} sont donc:
- y(0)=02=0{\displaystyle y(0)=0^{2}=0}
- y(3)=32=9{\displaystyle y(3)=3^{2}=9}
- Pour l'exemple de fonction, y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}} , sélectionnez les deux valeurs x=0 et x=3, par exemple. Les valeurs correspondantes de y(x){\displaystyle y(x)} sont donc:
- 4Calculer le taux moyen de changement de la fonction. Le taux de variation d'une fonction peut s'écrire formellement sous la forme:
- A(x)=ΔyΔx=f(x+h)−f(x)h{\displaystyle A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+ h)-f(x)}{h}}}
- Dans cette formule, f(x){\displaystyle f(x)} représente la valeur de la fonction à la première valeur x choisie. f(x+h){\displaystyle f(x+h)} est la valeur de la fonction à une certaine distance à une deuxième valeur de x. Le dénominateur h{\displaystyle h} est la distance entre les deux mesures.
- h{\displaystyle h} peut également être représenté par Δx{\displaystyle \Delta x} , car il s'agit de la distance ou du changement des valeurs x choisies.
- Pour la fonction choisie y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}} , vous pouvez calculer le taux de variation moyen de 0 à 3 comme suit:
- A(x)=ΔyΔx=9−03−0=3{\displaystyle A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {9-0}{3-0} }=3} .
- 5Interpréter le résultat. Pour cette fonction, le taux de variation est une mesure de combien la valeur de la fonction change verticalement lorsque vous vous déplacez horizontalement le long de l'axe des x. Dans ce cas, la parabole y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}} commence au point (00) et monte jusqu'au point (39) sur l'intervalle mesuré. Bien que la fonction elle-même ne soit pas une ligne droite, le taux de variation moyen est mesuré comme la pente de la ligne droite reliant ces deux points. Cette ligne monte de 3 unités pour chaque augmentation d'unité en x.
- Notez que le taux moyen de changement pour une fonction peut différer selon l'emplacement que vous choisissez de mesurer. Pour l'exemple de parabole, le taux moyen de changement est de 3 de x=0 à x=3. Cependant, pour la même fonction mesurée de x=3 à x=6, également une distance de 3 unités, le taux de variation moyen devient 8,33.
Notez que le taux moyen de changement pour une fonction peut différer selon l'emplacement que vous choisissez de mesurer.
- Il est important d'être attentif aux unités de mesure du taux de variation calculé.
- En calcul, vous apprenez à trouver la dérivée d'une fonction pour trouver le taux de changement instantané. Au lieu d'être une moyenne sur une plage de valeurs x ou sur une période de temps mesurable, le calcul vous permet de trouver le taux de changement à un instant unique. En d'autres termes, la plage de valeurs x devient théoriquement nulle. Pour en savoir plus à ce sujet, voir Prendre des dérivés.
Questions et réponses
- Comment résoudre un problème comme y = 5(r^t)?Il y a deux possibilités: (1) Vous devez saisir des valeurs pour deux des trois inconnues, afin de pouvoir ensuite résoudre la troisième inconnue; ou (2) vous auriez besoin de deux équations supplémentaires dans ces trois mêmes inconnues, car vous ne pouvez résoudre trois inconnues que si vous avez un système de trois équations dans ces inconnues.
En parallèle
