Comment calculer mentalement la primalité d'un nombre à trois chiffres?

Vous n'aurez jamais besoin de tester un nombre supérieur à 31 — Étant donné que la racine carrée de 1000 est d'environ 33, vous n'aurez jamais besoin de tester un nombre supérieur à 31.

Les nombres premiers, autrefois considérés comme une nouveauté mathématique, sont entrés aux heures de grande écoute avec l'avènement d'Internet et des techniques de cryptage modernes. Tout en décidant si un nombre premier à 1024 chiffres peut être difficile à calculer, vous-même, avec un peu de pratique, pouvez déterminer la primalité de n'importe quel nombre à 3 chiffres dans votre tête!

Et comme toutes les astuces de calcul mental, comme la jonglerie et le monocycle, c'est au cœur de l'art de se montrer. Certes, en lisant cette explication et en pratiquant ses principes, votre coordination esprit-œil fera un bond en avant, mais, surtout, vous pourrez épater vos amis par votre capacité de calcul!

Pas

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Obtenez un crayon et du papier.Comme tout principe mathématique, vous vous en souviendrez mieux si vous vous entraînez sur papier en même temps.

Le numéro d'origine est divisible par 7 si ce nouveau numéro est divisible par 7.
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Estimez la racine carrée du nombre.Cela rendra votre vérification plus rapide car il suffit d'essayer de diviser le nombre premier possible par les nombres premiers inférieurs à la racine carrée de ce nombre. Une référence rapide peut aider: la racine carrée de 100 est 10, de 225 est 15, de 400 est 20, de 625 est 25 et de 900 est 30.
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Apprenez à savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ou 31. Puisque la racine carrée de 1000 est d'environ 33, vous n'aurez jamais besoin de tester tout nombre supérieur à 31. En réduisant le nombre de tests à 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 et 31, vous avez déjà gagné la moitié de la bataille.
- Voici les règles de divisibilité de ces nombres premiers:
  - Divisible par 2 - Si le nombre se termine par 2, 4, 6 ou 8
  - Divisible par 3 - Si les chiffres additionnés sont divisibles par 3
  - Divisible par 5 - Si le nombre se termine par 0 ou 5
  - Divisible par 7 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par deux. Soustrayez ce nombre du reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 7 si ce nouveau numéro est divisible par 7.
  - Divisible par 11 - Prendre le dernier chiffre. Soustrayez ce nombre du reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 11 si ce nouveau numéro est divisible par 11.
  - Divisible par 13 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par quatre. Ajoutez ce nombre au reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 13 si ce nouveau numéro est divisible par 13.
  - Divisible par 17 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par cinq. Soustrayez ce nombre du reste des chiffres. Le nombre d'origine est divisible par 17 si ce nouveau nombre est divisible par 17. (Cela semble plus difficile qu'il n'y paraît. Un exemple ci-dessous illustrera.)
  - Divisible par 19 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par deux. Ajoutez ce nombre au reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 19 si ce nouveau numéro est divisible par 19.
  - Divisible par 23 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par sept. Ajoutez ce nombre au reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 23 si ce nouveau numéro est divisible par 23.
  - Divisible par 29 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par trois. Ajoutez ce nombre au reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 29 si ce nouveau numéro est divisible par 29.
  - Divisible par 31 - Prenez le dernier chiffre et multipliez-le par trois. Soustrayez ce nombre du reste des chiffres. Le numéro d'origine est divisible par 31 si ce nouveau numéro est divisible par 31.
Le numéro d'origine est divisible par 11 si ce nouveau numéro est divisible par 11.
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Essayez de diviser le nombre premier possible par les nombres premiers inférieurs à la racine carrée de ce nombre.
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Avec un ricanement confiant, proclamez s'il est premier ou non et par quoi il est divisible!
- Exemple Faisons 781.
  - Crayon et papier. Vérifier.
  - Estimer la racine carrée. 787 est entre 625 et 900, donc d'après le graphique ci-dessus, je sais que la racine carrée de 787 sera entre 25 et 30, probablement environ 27. Donc, les nombres premiers que je devrai tester sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23. Le prochain nombre premier est 29, et mon calcul mental me dit que la racine carrée de 787 n'est probablement pas 29 car elle n'est pas très proche de 900.
  - Vérifiez la divisibilité par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.
    - Par deux: 781 ne se termine pas par 2, 4, 6 ou 8. Jusqu'ici tout va bien.
    - Par trois: Additionnez les chiffres; 7 + 8 + 1 = 16. 16 n'est pas divisible par 3, donc 781.
    - Par cinq: 781 ne se termine pas par 0 ou 5. Toujours premier.
    - Par sept: multipliez le dernier chiffre par deux; 1 * 2 = 2. Soustrayez-le des chiffres restants; 78 - 2 = 76. 76 n'est pas divisible par 7 (rappelez-vous que 70 est et 77 est), donc 781.
    - Par onze: soustrayez le dernier chiffre des chiffres restants; 78 - 1 = 77. 77 est divisible par 11, donc 781 l'est aussi.
    - Donc, 781 n'est pas premier. Il est au moins divisible par 11.
- Exemple #2. Faisons 527.
  - Crayon et papier. Vérifier.
  - Estimer la racine carrée. 527 se situe entre 400 et 625. Donc, en regardant mon graphique, la racine carrée de 527 est probablement d'environ 23. Donc, les nombres premiers que je devrai tester vont encore de 2 à 23.
  - Vérifiez la divisibilité par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.
    - Par deux: 527 ne se termine pas par 2, 4, 6 ou 8. Jusqu'ici tout va bien.
    - Par trois: Additionnez les chiffres; 5 + 2 + 7 = 14. 14 n'est pas divisible par 3, donc 527 non plus.
    - Par cinq: 527 ne se termine pas par 0 ou 5. Passons à autre chose.
    - Par sept: multipliez le dernier chiffre par deux; 2 * 7 = 14. Soustrayez-le des chiffres restants; 52 - 14 = 38. 38 n'est pas divisible par 7, donc 527 non plus.
    - Par onze: soustrayez le dernier chiffre des chiffres restants; 52 - 7 = 45. 45 n'est pas divisible par 11, donc 527 non plus.
    - Par treize: Multipliez le dernier chiffre par quatre; 7 * 4 = 28. Ajoutez-y aussi les chiffres restants; 52 + 28 = 80. 80 n'est pas divisible par 13, donc 527 non plus.
    - Par dix-sept: multipliez le dernier chiffre par cinq; 7 * 5 = 35. Soustrayez-le des chiffres restants; 52 - 35 = 17. 17 est divisible par 17, donc 527 l'est aussi.
    - Donc, 527 n'est pas premier. Il est au moins divisible par 17.

Le numéro d'origine est divisible par 13 si ce nouveau numéro est divisible par 13.

Conseils

Vous n'avez probablement jamais appris vos tables de multiplication à 13 à l'école, sans parler de vos 17, 19, 23, 29 ou 31. Pour bien faire cette astuce, vous n'avez besoin d'en connaître que quelques-unes de chacune. N'oubliez pas que puisque nous avons affaire à des nombres à trois chiffres, vous n'avez qu'à vous soucier des multiples à deux chiffres de chacun de ces nombres premiers.
- - Pour 13, c'est 13, 26, 39, 52, 65, 78 et 91.
  - Pour 17, c'est 17, 34, 51, 68 et 85.
  - Pour 19, c'est 19, 38, 57, 76 et 95.
  - Pour 23, c'est 23, 46, 69 et 92.
  - Pour 29, c'est 29, 58 et 87.
  - Pour 31, c'est 31, 62 et 93.
- Étant donné que les racines carrées ici ne sont que des nombres à deux chiffres, la stratégie ci-dessus fonctionnera correctement. Cependant, pour plus de précision, souvenez-vous de la règle empirique suivante: le prochain carré vers le haut (ou vers le bas) est à environ deux fois cette racine carrée. Ainsi, par exemple, la racine carrée de 900 est 30. Cela signifie que 29 au carré est d'environ 900 - (30*2) = 840. Cela signifie également que 31 au carré est d'environ 900 + (30*2) = 960. Pour ceux qui calculent à chez vous, vous remarquerez que 29 au carré vaut 841 et 31 au carré vaut 961.

Mises en garde

Si vous choisissez de porter des lunettes lors de l'exécution de cette astuce, vous pourriez être traité de «quatre yeux».

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