Comment trouver l'étendue d'une fonction?

Cela signifie que la plage de la fonction, ou la plage des coordonnées y, va de -3 à 10.

La plage d'une fonction est l'ensemble des nombres que la fonction peut produire. En d'autres termes, il s'agit de l'ensemble des valeurs y que vous obtenez lorsque vous branchez toutes les valeurs x possibles dans la fonction. Cet ensemble de valeurs x possibles est appelé le domaine. Si vous voulez savoir comment trouver la plage d'une fonction, suivez simplement ces étapes.

Méthode 1 sur 4: trouver la plage d'une fonction à partir d'une formule

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Écrivez la formule. Disons que la formule avec laquelle vous travaillez est la suivante: f(x) = 3x ² + 6x -2. Cela signifie que lorsque vous placez n'importe quel x dans l'équation, vous obtiendrez votre valeur y. C'est la fonction d'une parabole.
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Trouvez le sommet de la fonction si elle est quadratique. Si vous travaillez avec une ligne droite ou toute fonction avec un polynôme d'un nombre impair, comme f(x) = 6x ³ +2x + 7, vous pouvez sauter cette étape. Mais si vous travaillez avec une parabole ou toute autre équation dans laquelle la coordonnée x est au carré ou élevée à une puissance paire, vous devrez tracer le sommet. Pour ce faire, utilisez simplement la formule -b/2a pour obtenir la coordonnée x de la fonction 3x ² + 6x -2, où 3 = a, 6 = b et -2 = c. Dans ce cas -b vaut -6, et 2a est 6, donc la coordonnée x est -1, ou -1.
- Maintenant, branchez -1 dans la fonction pour obtenir la coordonnée y. f(-1) = 3(-1) ² + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- Le sommet est (-1,-5). Représentez-le graphiquement en dessinant un point où la coordonnée x est -1 et où la coordonnée y est -5. Il devrait être dans le troisième quadrant du graphique.
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Trouvez quelques autres points dans la fonction. Pour avoir une idée de la fonction, vous devez brancher quelques autres coordonnées x afin d'avoir une idée de ce à quoi ressemble la fonction avant de commencer à rechercher la plage. Comme c'est une parabole et que la coordonnée x ² est positive, elle pointera vers le haut. Mais juste pour couvrir vos bases, insérons quelques coordonnées x pour voir quelles coordonnées y elles donnent:
- f(-2) = 3(-2) ² + 6(-2) -2 = -2. Un point sur le graphique est (-2, -2)
- f(0) = 3(0) ² + 6(0) -2 = -2. Un autre point sur le graphique est (0,-2)
- f(1) = 3(1) ² + 6(1) -2 = 7. Un troisième point sur le graphique est (1, 7).
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Trouvez la plage sur le graphique. Maintenant, regardez les coordonnées y sur le graphique et trouvez le point le plus bas auquel le graphique touche une coordonnée y. Dans ce cas, la coordonnée y la plus basse se trouve au sommet, -5, et le graphique s'étend infiniment au-dessus de ce point. Cela signifie que la plage de la fonction est y = tous les nombres réels -5.

La plage d'une fonction est l'ensemble des nombres que la fonction peut produire.

Méthode 2 sur 4: trouver la plage d'une fonction sur un graphique

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Trouvez le minimum de la fonction. Recherchez la plus petite coordonnée y de la fonction. Disons que la fonction atteint son point le plus bas à -3. Cette fonction peut également devenir de plus en plus petite à l'infini, de sorte qu'elle n'a pas de point le plus bas défini - juste l'infini.
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Trouver le maximum de la fonction. Disons que la plus haute coordonnée y que la fonction atteint est 10. Cette fonction peut également devenir de plus en plus grande à l'infini, de sorte qu'elle n'a pas de point le plus élevé défini - juste l'infini.
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Indiquez la gamme. Cela signifie que la plage de la fonction, ou la plage des coordonnées y, va de -3 à 10. Donc, -3 f(x) 10. C'est la plage de la fonction.
- Mais disons que le graphique atteint son point le plus bas à y = -3, mais monte indéfiniment. Ensuite, la plage est f(x) ≥ -3 et c'est tout.
- Disons que le graphique atteint son point le plus élevé à 10 mais descend indéfiniment. Alors la plage est f(x) 10.

Toute fonction qui se répète le long de l'axe des x aura la même plage pour l'ensemble de la fonction.

Méthode 3 sur 4: trouver l'étendue d'une fonction d'une relation

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Écrivez la relation. Une relation est un ensemble de paires ordonnées avec des coordonnées x et y. Vous pouvez examiner une relation et déterminer son domaine et sa portée. Disons que vous travaillez avec la relation suivante: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.
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Liste les coordonnées y de la relation. Pour trouver l'étendue de la relation, notez simplement toutes les coordonnées y de chaque paire ordonnée: {-3, 6, -1, 6, 3}.
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Supprimez toutes les coordonnées en double afin que vous n'ayez qu'une seule de chaque coordonnée y. Vous remarquerez que vous avez inscrit "6" deux fois. Retirez-le pour vous retrouver avec {-3, -1, 6, 3}.
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Écrivez l'étendue de la relation dans l'ordre croissant. Maintenant, réorganisez les nombres de l'ensemble de sorte que vous passiez du plus petit au plus grand et que vous ayez votre plage. La plage de la relation {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} est {-3,-1, 3, 6}. Vous avez terminé.
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Assurez-vous que la relation est une fonction. Pour qu'une relation soit une fonction, chaque fois que vous entrez un nombre d'une coordonnée x, la coordonnée y doit être la même. Par exemple, la relation {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} n'est pas une fonction, car lorsque vous mettez 2 comme x la première fois, vous obtenez un 3, mais la deuxième fois vous mettez un 2, vous avez un quatre. Pour qu'une relation soit une fonction, si vous mettez la même entrée, vous devriez toujours obtenir la même sortie. Si vous mettez un -7, vous devriez obtenir la même coordonnée y (quelle qu'elle soit) à chaque fois.

Méthode 4 sur 4: trouver la plage d'une fonction dans un problème de mot

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Lisez le problème. Supposons que vous travaillez avec le problème suivant: «Becky vend des billets pour le spectacle de talents de son école à 5 dollars pièce. Le montant d'argent qu'elle collecte est fonction du nombre de billets qu'elle vend. Quelle est la portée de la fonction?»
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Écrivez le problème sous forme de fonction. Dans ce cas, M représente le montant d'argent qu'elle collecte et t représente le montant de billets qu'elle vend. Cependant, comme chaque billet coûtera 5 dollars, vous devrez multiplier le nombre de billets vendus par 5 pour trouver le montant d'argent. Par conséquent, la fonction peut être écrite comme M(t) = 5t.
- Par exemple, si elle vend 2 billets, vous devrez multiplier 2 par 5 pour obtenir 10, le montant de dollars qu'elle obtiendra.
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Déterminez le domaine. Pour déterminer la plage, vous devez d'abord trouver le domaine. Le domaine est l'ensemble des valeurs possibles de t qui fonctionnent dans l'équation. Dans ce cas, Becky peut vendre 0 ticket ou plus - elle ne peut pas vendre de tickets négatifs. Comme on ne connaît pas le nombre de places dans l'auditorium de son école, on peut supposer qu'elle peut théoriquement vendre un nombre infini de billets. Et elle ne peut vendre que des billets entiers; elle ne peut pas vendre 0,5 d'un billet, par exemple. Par conséquent, le domaine de la fonction est t = tout entier non négatif.
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Déterminez la portée. La fourchette est le montant d'argent que Becky peut gagner grâce à sa vente. Vous devez travailler avec le domaine pour trouver la plage. Si vous savez que le domaine est un entier non négatif et que la formule est M(t) = 5t, alors vous savez que vous pouvez brancher n'importe quel entier non négatif dans cette fonction pour obtenir la sortie ou la plage. Par exemple, si elle vend 5 billets, alors M(5) = 5 x 5, soit 25 dollars. Si elle en vend 100, alors M(100) = 5 x 100, soit 500 dollars. Par conséquent, la plage de la fonction est tout entier non négatif qui est un multiple de cinq.
- Cela signifie que tout entier non négatif qui est un multiple de cinq est une sortie possible pour l'entrée de la fonction.

Pour en savoir plus sur la recherche de l'étendue d'une fonction, y compris pour une relation et dans un problème de mots, faites défiler vers le bas!

Conseils

Pour les cas plus difficiles, il peut être plus facile de tracer le graphique d'abord en utilisant le domaine (si possible), puis de déterminer la plage graphiquement.
Voyez si vous pouvez trouver la fonction inverse. Le domaine de la fonction inverse d'une fonction est égal à la plage de cette fonction.
Vérifiez si la fonction se répète. Toute fonction qui se répète le long de l'axe des x aura la même plage pour l'ensemble de la fonction. Par exemple, f(x) = sin(x) a une plage comprise entre -1 et 1.

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