Comment multiplier les radicaux?

Pour multiplier les radicaux, vérifiez d'abord que les radicaux ont le même indice, qui est le petit nombre à gauche de la ligne supérieure dans le symbole du radical. Gardez simplement à l'esprit que si le radical est une racine carrée, il n'a pas d'indice. Si les radicaux ont le même indice, ou aucun indice du tout, multipliez les nombres sous les signes radicaux et placez ce nombre sous son propre symbole radical. Une fois que vous avez multiplié les radicaux, simplifiez votre réponse en essayant de la décomposer en un carré ou un cube parfait. Pour obtenir des conseils sur la multiplication de radicaux ayant des coefficients ou des indices différents, continuez à lire.

Victoria Bernard
Victoria Bernard
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Pour multiplier les radicaux
Pour multiplier les radicaux, vérifiez d'abord que les radicaux ont le même indice, qui est le petit nombre à gauche de la ligne supérieure dans le symbole du radical.

Le symbole radical (√) représente la racine carrée d'un nombre. Vous pouvez rencontrer le symbole radical en algèbre ou même en menuiserie ou dans un autre métier qui implique la géométrie ou le calcul de tailles ou de distances relatives. Vous pouvez multiplier deux radicaux qui ont les mêmes indices (degrés d'une racine) ensemble. Si les radicaux n'ont pas les mêmes indices, vous pouvez manipuler l'équation jusqu'à ce qu'ils le fassent. Si vous voulez savoir comment multiplier des radicaux avec ou sans coefficients, suivez simplement ces étapes.

Méthode 1 sur 3: multiplier les radicaux sans coefficients

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    Assurez-vous que les radicaux ont le même indice. Pour multiplier des radicaux en utilisant la méthode de base, ils doivent avoir le même indice. L'«index» est le très petit nombre écrit juste à gauche de la ligne la plus haute dans le symbole radical. S'il n'y a pas d'indice, le radical s'entend comme une racine carrée (indice 2) et peut être multiplié par d'autres racines carrées. Vous pouvez multiplier des radicaux avec des indices différents, mais c'est une méthode plus avancée et sera expliquée plus tard. Voici deux exemples de multiplication à l'aide de radicaux ayant les mêmes indices:
    • Ex. 1: (18) x √(2) =?
    • Ex. 2: (10) x (5) =?
    • Ex. 3: 3 (3) x 3 (9) =?
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    Multipliez les nombres sous les signes radicaux. Ensuite, multipliez simplement les nombres sous le signe radical ou racine carrée et gardez-les là. Voici comment procéder:
    • Ex. 1: (18) x (2) = (36)
    • Ex. 2: (10) x (5) = (50)
    • Ex. 3: 3 (3) x 3 (9) = 3 (27)
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    Simplifiez les expressions radicales. Si vous avez multiplié les radicaux, il y a de fortes chances qu'ils puissent être simplifiés en carrés parfaits ou en cubes parfaits, ou qu'ils puissent être simplifiés en trouvant un carré parfait comme facteur du produit final. Voici comment procéder:
    • Ex. 1: √(36) = 6. 36 est un carré parfait car c'est le produit de 6 x 6. La racine carrée de 36 est simplement 6.
    • Ex. 2: √(50) = (25 x 2) = ([5 x 5] x 2) = 5√(2). Bien que 50 ne soit pas un carré parfait, 25 est un facteur de 50 (car il se divise également en nombre) et est un carré parfait. Vous pouvez décomposer 25 en ses facteurs, 5 x 5, et déplacer un 5 hors du signe de la racine carrée pour simplifier l'expression.
      • Vous pouvez le voir comme ceci: si vous remettez le 5 sous le radical, il est multiplié par lui-même et redevient 25.
    • Ex. 3: 3 √(27) = 3. 27 est un cube parfait car c'est le produit de 3 x 3 x 3. La racine cubique de 27 est donc 3.
Pour multiplier des radicaux en utilisant la méthode de base
Pour multiplier des radicaux en utilisant la méthode de base, ils doivent avoir le même indice.

Méthode 2 sur 3: multiplier les radicaux avec des coefficients

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    Multipliez les coefficients. Les coefficients sont les nombres en dehors d'un radical. S'il n'y a pas de coefficient donné, alors le coefficient peut être compris comme étant 1. Multipliez les coefficients ensemble. Voici comment procéder:
    • Ex. 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
      • 3x1 = 3
    • Ex. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
      • 4x3 = 12
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    Multipliez les nombres à l'intérieur des radicaux. Après avoir multiplié les coefficients, vous pouvez multiplier les nombres à l'intérieur des radicaux. Voici comment procéder:
    • Ex. 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Ex. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
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    Simplifier le produit. Ensuite, simplifiez les nombres sous les radicaux en cherchant des carrés parfaits ou des multiples des nombres sous les radicaux qui sont des carrés parfaits. Une fois que vous avez simplifié ces termes, multipliez-les simplement par leurs coefficients correspondants. Voici comment procéder:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
Vous pouvez multiplier des radicaux avec des indices différents
Vous pouvez multiplier des radicaux avec des indices différents, mais c'est une méthode plus avancée et sera expliquée plus tard.

Méthode 3 sur 3: multiplier les radicaux avec des indices différents

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    Trouvez le LCM (plus petit commun multiple) des indices. Pour trouver le LCM des index, trouvez le plus petit nombre qui est également divisible par les deux index. Trouvez le LCM des indices pour l'équation suivante: 3 (5) x 2 √(2) =?
    • Les indices sont 3 et 2. 6 est le LCM de ces deux nombres car c'est le plus petit nombre qui est également divisible par 3 et 2. 2 = 2 et 3 = 3. Pour multiplier les radicaux, les deux indices auront avoir 6.
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    Écrivez chaque expression avec le nouveau LCM comme index. Voici à quoi ressembleraient les expressions dans l'équation avec leurs nouveaux index:
    • 6 (5) x 6 (2) =?
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    Trouvez le nombre dont vous auriez besoin pour multiplier chaque index d'origine pour trouver le LCM. Pour l'expression 3 (5), il faudrait multiplier l'indice 3 par 2 pour obtenir 6. Pour l'expression 2 √(2), il faudrait multiplier l'indice 2 par 3 pour obtenir 6.
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    Faites de ce nombre l'exposant du nombre à l'intérieur du radical. Pour la première équation, faites du nombre 2 l'exposant sur le nombre 5. Pour la deuxième équation, faites du nombre 3 l'exposant sur le nombre 2. Voici à quoi cela ressemblerait:
    • 2 > 6 (5) = 6 (5) 2
    • 3 > 6 (2) = 6 (2) 3
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    Multipliez les nombres à l'intérieur des radicaux par leurs exposants. Voici comment procéder:
    • 6 (5) 2 = 6 (5 x 5) = 6 25
    • 6 (2) 3 = 6 (2 x 2 x 2) = 6 8
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    Placez ces nombres sous un radical. Placez-les sous un radical et reliez-les avec un signe de multiplication. Voici à quoi ressemblerait le résultat: 6 (8 x 25)
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    Multipliez-les. 6 Â(8 x 25) = 6 Â(200). C'est la réponse finale. Dans certains cas, vous pourrez peut-être simplifier ces expressions - par exemple, vous pouvez simplifier cette expression si vous trouvez un nombre qui peut être multiplié par lui-même six fois soit un facteur de 200. Mais dans ce cas, l'expression ne peut pas être simplifié davantage.
Multipliez les nombres sous les signes radicaux
Si les radicaux ont le même indice, ou aucun indice du tout, multipliez les nombres sous les signes radicaux et placez ce nombre sous son propre symbole radical.

Conseils

  • Si un "coefficient" est séparé du signe radical par un signe plus ou moins, ce n'est pas du tout un coefficient - c'est un terme distinct et doit être traité séparément du radical. Si un radical et un autre terme sont tous deux enfermés dans le même ensemble de parenthèses - par exemple, (2 + (racine carrée)5), vous devez gérer à la fois 2 et (racine carrée)5 séparément lorsque vous effectuez des opérations à l'intérieur des parenthèses, mais lorsque effectuer des opérations en dehors des parenthèses, vous devez gérer (2 + (racine carrée) 5) comme seul ensemble.
  • Les signes radicaux sont une autre façon d'exprimer les exposants fractionnaires. En d'autres termes, la racine carrée de n'importe quel nombre est la même que ce nombre élevé à la puissance 0,5, la racine cubique de n'importe quel nombre est la même que ce nombre élevé à la puissance 0,33, et ainsi de suite.
  • Un «coefficient» est le nombre, le cas échéant, placé directement devant un signe radical. Ainsi, par exemple, dans l'expression 2(racine carrée)5, 5 est sous le signe radical et le nombre 2, en dehors du radical, est le coefficient. Lorsqu'un radical et un coefficient sont placés ensemble, cela signifie la même chose que de multiplier le radical par le coefficient, ou pour continuer l'exemple, 2 * (racine carrée)5.

Lisez aussi: Comment améliorer les compétences de multiplication?

Questions et réponses

  • Que signifie l'indice 4?
    Un indice de 4 signifie la quatrième racine.
  • Comment multiplierais-je (5 + 4√3)(5 - 4√3)?
    (5 + 4√3)(5 - 4√3) = [25 - 20√3 + 20√3 - (16)(3)] = 25 - 48 = -23.
  • Pouvez-vous multiplier des radicaux avec les mêmes bases mais des indices?
    Oui, bien qu'il soit préférable de convertir d'abord en forme exponentielle. Pour multiplier squareroot2 par cuberoot2, écrivez-le comme 2^(0,5)*2^(0,33). Ensuite, les règles des exposants facilitent l'étape suivante en ajoutant des fractions: = 2^((0,5)+(0,33)) = 2^(0,83).
  • Les fractions de la méthode 3, étape 1 ne devraient-elles pas être 2 et 3, pas 0,5 et 0,33?
    Le texte de cette étape est correct pour trouver LCM, mais l'image est fausse et doit être refaite. Il n'est jamais correct d'écrire 0,5 = 2.
  • Puis-je multiplier un nombre à l'intérieur du radical avec un nombre à l'extérieur du radical?
    Seulement si vous inversez le processus de simplification. Par exemple, 3 avec un radical de 8. 3 au carré est 9, donc vous multipliez 9 sous le radical avec le huit pour l'original. Ce serait 72 sous le radical.
  • Peux-tu multiplier le coefficient et le radicande?
    Non, vous multipliez le coefficient par la racine du radicande.
  • Comment utiliser la racine de nombres qui ne sont pas un carré parfait?
    Voir l'article du guide Simplifier une racine carrée.
  • Comment multiplier un coefficient et un radical par un radical?
    Multipliez les radicaux ensemble, puis placez le coefficient devant le résultat. Par exemple, pour multiplier 2√2 et √3, multipliez d'abord √2 et √3 pour obtenir √6, puis placez le coefficient de 2 devant pour obtenir 2√6.
  • Puis-je multiplier un radical négatif par un radical positif?
    Oui, si les indices sont les mêmes, et si le signe négatif est en dehors du signe radical.
  • Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique?
    Dans une séquence arithmétique, chaque nombre (après le premier) est dérivé en ajoutant un nombre particulier au nombre précédent dans la séquence, comme dans 2, 4, 6, 8, 10... Dans une séquence géométrique, chaque nombre (après le premier) est dérivé en multipliant le nombre précédent par un multiplicateur commun, comme dans 2, 6, 18, 54...

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