Comment calculer la vitesse d'échappement?
Pour calculer la vitesse d'échappement, multipliez 2 fois G fois M, puis divisez-la par r et prenez la racine carrée du résultat. Dans cette équation, G est la constante gravitationnelle de Newton, M est la masse de la planète dont vous vous échappez en kilogrammes et r est le rayon de la planète en mètres. Remplacez ces valeurs dans l'équation et résolvez pour v, ou la vitesse d'échappement. Pour la définition de la vitesse d'échappement, continuez à lire!
Dans l'équation ci-dessus se trouve la vitesse d'échappement de la fusée - la vitesse minimale requise pour échapper à l'attraction gravitationnelle de la Terre.
La vitesse d'échappement est la vitesse nécessaire à un objet pour surmonter l'attraction gravitationnelle de la planète sur laquelle se trouve cet objet. Par exemple, une fusée qui va dans l'espace doit atteindre la vitesse de fuite pour pouvoir quitter la Terre et entrer dans l'espace.
Partie 1 sur 2: comprendre la vitesse d'échappement
- 1Définir la vitesse d'échappement. La vitesse de fuite est la vitesse d'un objet nécessaire pour surmonter l'attraction gravitationnelle de la planète sur laquelle cet objet se trouve pour s'échapper dans l'espace. Une planète plus grande a plus de masse et nécessite une vitesse d'échappement beaucoup plus grande qu'une planète plus petite avec moins de masse.
- 2Commencez par la conservation de l'énergie. La conservation de l'énergie indique que l'énergie totale d'un système isolé reste inchangée. Dans la dérivation ci-dessous, nous allons travailler avec un système Terre-fusée et supposer que ce système est isolé.
- En conservation de l'énergie, nous assimilons les énergies potentielle et cinétique initiale et finale K1+U1=K2+U2,{\displaystyle K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2},}
où K{ \displaystyle K} est l'énergie cinétique et U{\displaystyle U} est l'énergie potentielle.
Que se passe-t-il si la vitesse d'échappement est supérieure à la vitesse d'échappement de la Terre sqrt? - En conservation de l'énergie, nous assimilons les énergies potentielle et cinétique initiale et finale K1+U1=K2+U2,{\displaystyle K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2},}
- 3Définir l'énergie cinétique et potentielle.
- L'énergie cinétique est l'énergie du mouvement et est égale à 12mv2,{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},} où m{\displaystyle m} est la masse de la fusée et v{\ displaystyle v} est sa vitesse.
- L'énergie potentielle est l'énergie qui résulte de la position d'un objet par rapport aux corps du système. En physique, nous définissons généralement l'énergie potentielle comme étant 0 à une distance infinie de la Terre. Comme la force gravitationnelle est attractive, l'énergie potentielle de la fusée sera toujours négative (et d'autant plus faible qu'elle sera proche de la Terre). L'énergie potentielle dans le système Terre-fusée s'écrit donc −GMmr,{\displaystyle -{\frac {GMm}{r}},} où G{\displaystyle G} est la constante gravitationnelle de Newton, M{\displaystyle M} est la masse de la Terre, et r{\displaystyle r} est la distance entre les centres des deux masses.
- 4Remplacez ces expressions par la conservation de l'énergie. Lorsque la fusée atteint la vitesse minimale requise pour s'échapper de la Terre, elle finira par s'arrêter à une distance infinie de la Terre, donc K2=0.{\displaystyle K_{2}=0.} Ensuite, la fusée ne ressentira pas l'attraction gravitationnelle de la Terre et ne retombera jamais sur Terre, donc U2=0{\displaystyle U_{2}=0} également.
- 12mv2−GMmr=0{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}=0}
- 5Résoudre pour v.
- 12mv2=GMmrv2=2GMrv=2GMr{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {GMm}{r}}\\v^{2} &={\frac {2GM}{r}}\\v&={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}
- v{\displaystyle v} dans l'équation ci-dessus est la vitesse d'échappement de la fusée - la vitesse minimale requise pour échapper à l'attraction gravitationnelle de la Terre.
- Notez que la vitesse de fuite est indépendante de la masse de la fusée m.{\displaystyle m.} La masse se reflète à la fois dans l'énergie potentielle fournie par la gravité terrestre ainsi que dans l'énergie cinétique fournie par le mouvement de la fusée.
Existe-t-il un moyen de calculer la vitesse d'échappement si la masse (m) de la Terre et l'accélération gravitationnelle (g) sont données?
Partie 2 sur 2: calcul de la vitesse d'échappement
- 1Énoncer l'équation de la vitesse d'échappement.
- v=2GMr{\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
- L'équation suppose que la planète sur laquelle vous vous trouvez est sphérique et a une densité constante. Dans le monde réel, la vitesse de fuite dépend de l'endroit où vous vous trouvez à la surface, car une planète se gonfle à l'équateur en raison de sa rotation et a une densité légèrement variable en raison de sa composition.
- 2Comprendre les variables de l'équation.
- G=6,67×10−11 N m2 kg−2{\displaystyle G=6,67\times 10^{-11}{\rm {\ N\ m^{2}\ kg^{-2}} }} est la constante gravitationnelle de Newton. La valeur de cette constante reflète le fait que la gravité est une force incroyablement faible. Elle a été déterminée expérimentalement par Henry Cavendish en 1798, mais s'est avérée notoirement difficile à mesurer avec précision.
- G{\displaystyle G} peut être écrit en utilisant uniquement des unités de base comme 6,67×10−11 m3 kg−1 s−2,{\displaystyle 6,67\times 10^{-11}{\rm {\ m^ {3}\ kg^{-1}\ s^{-2}}},} depuis 1 N=1 kg ms−2.{\displaystyle 1{\rm {\ N}}=1{\rm {\ kg\ m\ s^{-2}}}.}
- La masse M{\displaystyle M} et le rayon r{\displaystyle r} dépendent de la planète dont vous souhaitez vous échapper.
- Vous devez convertir en unités SI. Autrement dit, la masse est en kilogrammes (kg) et la distance en mètres (m). Si vous trouvez des valeurs dans différentes unités, telles que des miles, convertissez- les en SI.
- G=6,67×10−11 N m2 kg−2{\displaystyle G=6,67\times 10^{-11}{\rm {\ N\ m^{2}\ kg^{-2}} }} est la constante gravitationnelle de Newton. La valeur de cette constante reflète le fait que la gravité est une force incroyablement faible. Elle a été déterminée expérimentalement par Henry Cavendish en 1798, mais s'est avérée notoirement difficile à mesurer avec précision.
- 3Déterminez la masse et le rayon de la planète sur laquelle vous vous trouvez. Pour la Terre, en supposant que vous êtes au niveau de la mer, r=6,38×106 m{\displaystyle r=6,38\times 10^{6}{\rm {\ m}}} et M=5,98× 1024 kg.{\displaystyle M=5,98\times 10^{24}{\rm {\ kg}}.}
- Recherchez en ligne un tableau des masses et des rayons d'autres planètes ou lunes.
La vitesse d'échappement est la vitesse nécessaire à un objet pour surmonter l'attraction gravitationnelle de la planète sur laquelle se trouve cet objet. - 4Remplacez les valeurs dans l'équation. Maintenant que vous avez les informations nécessaires, vous pouvez commencer à résoudre l'équation.
- v=2(6,67×10−11 m3 kg−1 s−2)(5,98×1024 kg)(6,38×106 m){\displaystyle v={\sqrt {\frac {2(6,67\times 10^{-11}{\rm {\ m^{3}\ kg^{-1}\ s^{-2}}})(5,98\times 10^{24}{\ rm {\ kg}})}{(6,38\times 10^{6}{\rm {\ m}})}}}}
- 5Évaluer. N'oubliez pas d'évaluer vos unités en même temps et de les annuler au besoin pour obtenir une solution dimensionnellement cohérente.
- v=2(6,67)(5,98)(6,38)×107 m2 s−2≈11200 ms−1=11,2 km s−1{\displaystyle {\begin{aligned}v&={\ sqrt {{\frac {2(6,67)(5,98)}{(6,38)}}\times 10^{7}{\rm {\ m^{2}\ s^{-2} }}}}\\&\environ 11200{\rm {\ m\ s^{-1}}}\\&=11,2{\rm {\ km\ s^{-1}}}\end{ aligné}}}
- Dans la dernière étape, nous avons converti la réponse des unités SI en km s−1{\displaystyle {\rm {\ km\ s^{-1}}}} en multipliant par le facteur de conversion 1 km1000 m.{\displaystyle { \frac {\text{1 km}}{\text{1000 m}}}.}
- Parce que la constante gravitationnelle de Newton est si difficile à mesurer avec précision, le paramètre gravitationnel standard μ=GM{\displaystyle \mu =GM} est souvent connu avec une précision beaucoup plus grande. Vous pouvez ensuite l'utiliser pour calculer la vitesse d'échappement à la place.
- Le paramètre gravitationnel standard de la Terre μ=3,986×1014 m3 s−2.{\displaystyle \mu =3,986\times 10^{14}{\rm {\ m^{3}\ s^{-2}}}. }
Questions et réponses
- La vitesse d'échappement peut-elle être négative?«Vitesse» désigne le déplacement par unité de temps. Le déplacement ne peut être que >=0. La réponse est donc non, la vitesse d'échappement ne peut jamais être négative.
- Si je commence à «conduire» loin de la terre à 100 mph et n'accélère jamais, est-ce que je finirai par m'éloigner aussi loin que la fusée et donc m'échapper?Oui. Ce qui est différent, et ce qui n'a peut-être pas été précisé, c'est que la vitesse d'échappement est la vitesse requise au début du mouvement pour un vol sans moteur, comme par exemple si vous deviez lancer une pierre. Si vous avez assez de carburant, vous pouvez vous échapper aussi lentement que vous le souhaitez. Quand je monte les escaliers, j'échappe un peu à la gravité terrestre, mais je ne peux pas continuer longtemps.
- Je postule qu'un projectile nécessite une propulsion constante pour échapper à la gravité terrestre. Un ami soutient qu'un "bang" suffisamment important à la surface de la Terre peut obtenir le même résultat. Qui a raison?Vous l'êtes tous les deux. La conservation de l'énergie ne dépend pas de la propulsion qui vous a amené dans l'espace. Rappelez-vous que la vitesse d'échappement fait référence à la vitesse d'un objet au niveau de la mer. Si une explosion envoie un objet s'envoler à cette vitesse, il s'échappera de la Terre. Dans votre cas, la propulsion constante génère une force constante qui augmente régulièrement la vitesse et constitue un autre moyen (pratique) d'atteindre la vitesse d'échappement.
- Jusqu'à quel point le rayon actuel de la Terre doit-il être comprimé pour que la vitesse d'échappement soit multipliée par 10?La vitesse de fuite est inversement proportionnelle à la racine carrée du rayon: v ~ 1/sqrt(r). Donc, si nous voulons 10v, nous devons diminuer r de 100 (écrire 10v ~ 1/sqrt(r) et diviser les deux côtés par 10, et mettre le 10 dans la racine carrée). r_e = 6371 km, donc r = 63,71 km.
- Si la masse de la Lune est 18 fois celle de la Terre et son rayon est de 0,25 fois le rayon de la Terre, et la vitesse de fuite de la Terre est de 11,2 km/sec, quelle est sa valeur à la surface de la Lune?ve = √(2GM/r) ve[lune] = √{2G(M/18)/(r/4)} = √{(2GM/r)*(48)} = 11,2•(√0, 67) = 5 27973 km/s
- La vitesse de fuite varie-t-elle sur Terre?En réalité, oui, car notre planète n'est pas une sphère parfaite, ce qui signifie que le rayon varie (le plus bas aux pôles et le plus haut à l'équateur). La vitesse d'échappement varie donc d'un endroit à l'autre. Mais pour le bien des problèmes de physique scolaire et autres, on suppose généralement que la vitesse d'échappement est la même sur toute la planète.
- Si le poids d'un objet sur la Lune est de 0,17 celui de la Terre, alors quelle est la vitesse de fuite de la Lune?Partons de la loi gravitationnelle universelle de Newton, F = GMm/r^2. Le poids est une mesure de la force, F = mg, où g est l'accélération gravitationnelle. Donc, g = GM/r^2. On peut donc réécrire la vitesse d'échappement sous la forme v = sqrt(2gr). Sur Terre, ce serait g = 9,81 m/s^2. On vous dit que le poids d'un objet sur la lune est 0,17e de celui sur Terre, alors divisez g par 6 et utilisez le rayon de la lune pour résoudre v.
- Existe-t-il un moyen de calculer la vitesse d'échappement si la masse (m) de la Terre et l'accélération gravitationnelle (g) sont données?Vous auriez besoin de la constante gravitationnelle (G) pour vous aider ici... 6,67x10e-11. Avec la constante gravitationnelle en jeu, et la masse de la terre (m) connue, vous pouvez recalculer le rayon de la planète (g=Gm/r^2). Avec le rayon de la planète connu, vous pouvez alors calculer la vitesse de fuite avec v=(2GM/r)^ 0,5.
- Si je calcule la vitesse de fuite pour Jupiter, G sera-t-il toujours égal à 6,67x10e-11?Jupiter est une planète gazeuse, donc l'équation serait 6,67x10e-6; la raison pour laquelle cela se produit est que les géantes gazeuses sont généralement plus faciles à entrer et à sortir.
- Que se passe-t-il si la vitesse d'échappement est supérieure à la vitesse d'échappement de la Terre sqrt? (2GM/R)L'objet aura une certaine vitesse après avoir parcouru une distance infinie de la Terre.
Questions sans réponse
- Comment dériver la vitesse d'échappement d'une équation différentielle?
Les commentaires (9)
- Aujourd'hui, j'ai lu le lancement réussi du satellite de communication EchoStar 105/SES-11 en orbite et j'ai commencé à me demander quelle est la vitesse de sortie de la fusée de la Terre. Je suis tombé sur ce merveilleux ensemble d'équations faciles à comprendre.
- Très utile. Des explications simples ont beaucoup aidé. Merci pour ce merveilleux article, équipe de guides!
- M'a beaucoup aidé. Merci.
- J'aime ça, merci de m'avoir instruit.
- Le calcul de la vitesse de fuite était ce que j'avais besoin d'expliquer à mon petit-fils. Merci!
- Votre article a exposé une équation gravement erronée dans un livre best-seller.
- C'était une question qui me tracassait après avoir regardé le documentaire de Neil DeGrasse Tyson, The Inexplicable Universe.
- Les meilleurs tutoriels de tous les temps. M'a beaucoup aidé à préparer mes études.
- C'était très utile! Même un faible étudiant en physique peut comprendre le concept de vitesse d'échappement grâce à ces étapes faciles. Faut passer par là!
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