Comment calculer les combinaisons?
Si vous disposez d'une calculatrice, recherchez le paramètre factoriel et utilisez-le pour calculer le nombre de combinaisons.
Les permutations et les combinaisons ont des utilisations dans les cours de mathématiques et dans la vie quotidienne. Heureusement, ils sont faciles à calculer une fois que vous savez comment. Contrairement aux permutations, où l'ordre des groupes compte, dans les combinaisons, l'ordre n'a pas d'importance. Les combinaisons vous indiquent combien de façons il y a de combiner un nombre donné d'éléments dans un groupe. Pour calculer des combinaisons, il vous suffit de connaître le nombre d'éléments parmi lesquels vous choisissez, le nombre d'éléments à choisir et si la répétition est autorisée ou non (dans la forme la plus courante de ce problème, la répétition n'est pas autorisée).
Méthode 1 sur 2: calculer des combinaisons sans répétition
- 1Prenons un exemple de problème où l'ordre n'a pas d'importance et où la répétition n'est pas autorisée. Dans ce genre de problème, vous n'utiliserez pas le même élément plus d'une fois.
- Par exemple, vous pouvez avoir 10 livres et vous aimeriez trouver le nombre de façons de combiner 6 de ces livres sur votre étagère. Dans ce cas, vous ne vous souciez pas de l'ordre - vous voulez juste savoir quels groupes de livres vous pouvez afficher, en supposant que vous n'utilisez qu'une seule fois un livre donné.
- Ce genre de problème est souvent étiqueté comme nCr{\displaystyle {}_{n}C_{r}} , C(n,r){\displaystyle C(n,r)} , (nr){\displaystyle {\binom {n}{r}}} , ou "n choisissez r ".
- Dans toutes ces notations, n{\displaystyle n} est le nombre d'éléments que vous devez choisir (votre échantillon) et r{\displaystyle r} est le nombre d'éléments que vous allez sélectionner.
- 2Connaître la formule: nCr=n!(n−r)!r!{\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {n!}{(nr)!r!}}} .
- La formule est similaire à celle des permutations mais pas exactement la même. Les permutations peuvent être trouvées en utilisant nPr=n!(n−r)!{\displaystyle {}_{n}P_{r}={\frac {n!}{(nr)!}}} . La formule de combinaison est légèrement différente car l'ordre n'a plus d'importance; par conséquent, vous divisez la formule de permutations par n!{\displaystyle n!} afin d'éliminer les redondances. Vous réduisez essentiellement le résultat par le nombre d'options qui seraient considérées comme une permutation différente mais la même combinaison (car l'ordre n'a pas d'importance pour les combinaisons).
Contrairement aux permutations, où l'ordre des groupes compte, dans les combinaisons, l'ordre n'a pas d'importance. - 3Branchez vos valeurs pour n{\displaystyle n} et r{\displaystyle r} .
- Dans le cas ci-dessus, vous auriez cette formule: nCr=10!(10−6)!6!{\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {10!}{(10-6)!6!}}} . Cela se simplifierait en nCr=10!(4!)(6!){\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {10!}{(4!)(6!)}}} .
- 4Résous l'équation pour trouver le nombre de combinaisons. Vous pouvez le faire à la main ou avec une calculatrice.
- Si vous disposez d'une calculatrice, recherchez le paramètre factoriel et utilisez-le pour calculer le nombre de combinaisons. Si vous utilisez Google Calculator, cliquez sur le X! chaque fois après avoir entré les chiffres nécessaires.
- Si vous devez résoudre à la main, gardez à l'esprit que pour chaque factorielle, vous commencez par le nombre principal donné, puis vous le multipliez par le plus petit nombre suivant, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous arriviez à 0.
- Pour l'exemple, vous pouvez calculer 10! avec (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), ce qui vous donne 3628 800. Trouvez-en 4! avec (4 * 3 * 2 * 1), ce qui vous donne 24. Trouvez 6! avec (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), ce qui vous donne 720.
- Ensuite, multipliez les deux nombres qui s'ajoutent au total des éléments ensemble. Dans cet exemple, vous devriez avoir 24 * 720, donc 17280 sera votre dénominateur.
- Divisez la factorielle du total par le dénominateur, comme décrit ci-dessus: 3628 800/17280.
- Dans le cas de l'exemple, vous en obtiendriez 210. Cela signifie qu'il existe 210 façons différentes de combiner les livres sur une étagère, sans répétition et où l'ordre n'a pas d'importance.
Méthode 2 sur 2: calcul des combinaisons avec répétition
- 1Prenons un exemple de problème où l'ordre n'a pas d'importance mais où la répétition est autorisée. Dans ce genre de problème, vous pouvez utiliser le même élément plusieurs fois.
- Par exemple, imaginez que vous allez commander 5 articles à partir d'un menu proposant 15 articles; l'ordre de vos sélections n'a pas d'importance et cela ne vous dérange pas d'obtenir des multiples du même élément (c'est-à-dire que les répétitions sont autorisées).
- Ce type de problème peut être étiqueté comme n+r−1Cr{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}} . Vous utiliserez généralement n{\displaystyle n} pour représenter le nombre d'options parmi lesquelles vous devez choisir et r{\displaystyle r} pour représenter le nombre d'éléments que vous allez sélectionner. Rappelez-vous, dans ce genre de problème, la répétition est autorisée et l'ordre n'est pas pertinent.
- C'est le type de combinaison ou de permutation le moins courant et le moins compris, et il n'est généralement pas enseigné aussi souvent. Lorsqu'il est couvert, il est souvent également connu sous le nom de k -sélection, k -multiset ou k -combinaison avec répétition.
Certaines calculatrices graphiques proposent un bouton pour vous aider à résoudre rapidement des combinaisons sans répétition. - 2Connaître la formule: n+r−1Cr=(n+r−1)!(n−1)!r!{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}={\frac {(n +r-1)!}{(n-1)!r!}}} .
- 3Branchez vos valeurs pour n{\displaystyle n} et r{\displaystyle r} .
- Dans le cas de l'exemple, vous auriez cette formule: n+r−1Cr=(15+5−1)!(15−1)!5!{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r} ={\frac {(15+5-1)!}{(15-1)!5!}}} . Cela simplifierait en n+r−1Cr=19!(14!)(5!){\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}={\frac {19!}{(14!) (5!)}}} .
- 4Résous l'équation pour trouver le nombre de combinaisons. Vous pouvez le faire à la main ou avec une calculatrice.
- Si vous disposez d'une calculatrice, recherchez le paramètre factoriel et utilisez-le pour calculer le nombre de combinaisons. Si vous utilisez Google Calculator, cliquez sur le X! chaque fois après avoir entré les chiffres nécessaires.
- Si vous devez résoudre à la main, gardez à l'esprit que pour chaque factorielle, vous commencez par le nombre principal donné, puis le multipliez par le plus petit nombre suivant, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous arriviez à 0.
- Pour l'exemple de problème, votre solution devrait être 11628. Il existe 11628 différentes manières de commander 5 articles parmi une sélection de 15 articles dans un menu, où l'ordre n'a pas d'importance et où la répétition est autorisée.
Pour calculer des combinaisons, il vous suffit de connaître le nombre d'éléments parmi lesquels vous choisissez, le nombre d'éléments à choisir et si la répétition est autorisée ou non (dans la forme la plus courante de ce problème, la répétition n'est pas autorisée).
- Certaines calculatrices graphiques proposent un bouton pour vous aider à résoudre rapidement des combinaisons sans répétition. Il ressemble généralement à n C r. Si votre calculatrice en a une, appuyez d'abord sur votre valeur n{\displaystyle n} , puis sur le bouton de combinaison, puis sur votre valeur r{\displaystyle r} .
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