Comment approximer la longueur de l'arc à l'aide de la formule de distance?

Vous apprendrez à approximer la longueur de l'arc d'une hélice sphérique et donc la longueur de toute courbe pour laquelle vous disposez de l'ensemble de données {x, y}, en utilisant la formule de distance. Découvrez également une autre approche utilisant le calcul pour des courbes plus simples.

Pas

Familiarisez-vous avec l'image à créer:

Partie 1 sur 3: le tutoriel

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Pour ceux d'entre vous qui ont terminé un article et un classeur impliquant la courbe de Garthwaite et/ou les hélices sphériques, vous pouvez enregistrer sous de ce classeur et économiser beaucoup de temps et d'efforts, car ce que vous voulez, ce sont les données d'une sphère pour appliquer la formule de distance s=((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^ 0,5 à chaque nouvel ensemble de 4 x et y. Ainsi, par exemple, si vous avez un classeur avec 2880 lignes qui crée 12 sphères rondes, 2880/12 = 240 paires x,y que vous voulez, en commençant probablement par le haut. Sinon, suivez les étapes ci-dessous pour créer un tel classeur et calculer la longueur de l'arc de la sphère via la formule de distance. Vous devrez créer un nouveau classeur et 4 feuilles de calcul: Données, Graphique, Longueur d'arc et Sauvegardes.
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Définissez les préférences dans le menu Excel:
- En général, définissez R1C1 sur Désactivé et sélectionnez Afficher les 10 documents les plus récents.
- Dans Modifier, définissez toutes les premières options sur cochées, à l'exception de Convertir automatiquement le système de date. Définissez Afficher le nombre de décimales sur vide (car les nombres entiers sont préférés). Conservez l'affichage des dates et définissez 30 pour la coupure du 21e siècle.
- Dans la vue, cliquez sur afficher la barre de formule et la barre d'état et survolez pour les commentaires de tous les objets. Cochez Afficher les lignes de la grille et définissez toutes les cases en dessous sur auto ou cochées.
- Dans Graphique, autorisez l' affichage des noms de graphique et définissez des marqueurs de données en survol et laissez le reste décoché pour le moment.
- Dans Calcul, assurez-vous que Automatiquement est coché et Calculer avant l'enregistrement est également coché. Définissez la modification maximale sur 0,001 car la recherche d'objectifs n'est pas effectuée dans ce projet. Cochez enregistrer les valeurs des liens externes et utilisez le système 1904
- Dans Vérification des erreurs, cochez toutes les options.
- Dans Enregistrer, sélectionnez Enregistrer l'image d'aperçu avec les nouveaux fichiers et Enregistrer la récupération automatique après 5 minutes
- Dans le ruban, laissez-les tous cochés, sauf Masquer les titres de groupe et Développeur.
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Accédez à la cellule a16 et figez les volets sous le menu de la fenêtre. Cela aide en plaçant le curseur entre le A de la colonne A et le 1 de la ligne 1 dans le coin supérieur gauche et en sélectionnant toute la feuille de calcul. Format Cellules Nombre Nombre Décimales 4, Taille de police 9 ou 10.
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Créez la section supérieure des variables définies (voici une image):
- Saisissez AjRows dans la cellule A1 et 2880 dans la cellule A2.
- Saisissez GM dans la cellule B1 et "=(-(1-SQRT(5))/2)" sans guillemets dans la cellule B2. GM signifie Golden Mean.
- Saisissez Factor1 dans C1 et "=VLOOKUP(ABS(Spheroids),Looker,IF(Spheroids<=242,2))"
- Entrez KEY dans la cellule D1 et "=IF(Spheroids<=24,Spheroids*VLOOKUP(Spheroids,LOOKER22),Spheroids)"
- Entrez le numéro dans la cellule E1 et 1 dans la cellule E2. Ceci est utilisé pour déformer la sortie mais nous ne l'utiliserons pas. Format Remplissage jaune.
- Saisissez CHAOS dans la cellule H1 et 1 dans la cellule H2. Également utilisé pour déformer la sortie; également inutilisé maintenant.
- Sélectionnez la plage de cellules A1:H2 et Insérez le nom Créez des noms dans la rangée supérieure, OK. Aligner au centre. Format Remplir Chaos jaune. Commande+Sélectionner la plage de cellules A2:E2, H2 et faire Border black bold Outline. Insérez un nouveau commentaire sur toutes les constantes, variables et formules telles qu'elles ont été initialement données, en copiant la formule ou la valeur d'origine de la barre de formule dans le nouveau commentaire - cela s'applique également à A4 à H4.
- Entrez Astuce dans la cellule A3 et "=(Base*12/(VARIABLE*1)*PI())*CHAOS" dans A4, sans guillemets comme d'habitude.
- Entrez Base dans la cellule B3 et "=16*107" dans B4.
- Saisissez Sphéroïdes dans la cellule C3 et 24 dans la cellule C4.
- Saisissez ShrinkExpand dans la cellule D3 et 1 dans la cellule D4.
- Saisissez PiDivisor dans la cellule E3 et 180 dans la cellule E4.
- Saisissez Epaisseur dans la cellule F3 et 2 dans la cellule F4. Il s'agit de la taille de bague relative.
- Saisissez ShrinkExpand2 sur G3 et 1,5 sur G4.
- Entrez VARIABLE sur H3 et 1 sur H4.
- Format Fill C4 violet pour vraiment le distinguer des autres cellules, Format Fill D4: H4 jaune. Faites une taille de police 14 pour les cellules C4 et F4. Sélectionnez la plage de cellules A4:H4 et Formatez le contour en gras noir de la bordure de cellule, puis faites le contour en gras rouge pour la cellule F4. F4 est essentiel à la bonne rondeur et à la taille globale de la sphère, maintenant que la table de consultation pour KEY a été doublée.
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Saisissez les en-têtes des colonnes:
- Entrez Base t dans A5.
- Entrez la constante c à B5.
- Entrez Cos dans C5.
- Entrez Sin dans D5.
- Entrez Main X à E5.
- Saisissez Main Y à F5.
- Saisissez Second X dans G5.
- Saisissez le deuxième Y à H5.
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Saisissez les tables de recherche:
- Entrez LOOKER sur I5.
- Entrez 1 à I6. Modifier Aller à la plage de cellules I6:I180 et modifier la valeur de l'étape linéaire de la colonne de la série de remplissage = 1 OK.
- Saisissez 0,125 dans la cellule J6. Modifier Atteindre la plage de cellules J6:J180 et Modifier Remplir vers le bas.
- Saisissez "=I6*$K26€/$I26€" dans K6 sans guillemets. Modifier la plage de cellules Atteindre K6:K180 et Modifier le remplissage vers le bas. Sélectionnez K35 et saisissez 0,125; qui complète la TABLE DE LOOKER alors allez à I6:K180 et insérez le nom Define Name Looker dans la plage de cellules $I4,50€:$K130€
- Saisissez LOOKER2 sur L5.
- Entrez 1 à L6. Modifier Allez à la plage de cellules L6: L29 et modifiez la valeur de l'étape linéaire de la colonne de la série de remplissage = 1 OK.
- Entrez les valeurs suivantes dans MK6:M29 s'il vous plaît: MK6:48; M7:32, puis 16, 8 2*PI(), 2*PI(), 2*PI(), 4 de M13 jusqu'à M21, puis 2 jusqu'à M29.
- Entrez DOUBLE!! dans la cellule M5.
- Sélectionnez L6:M29 et Format Fill jaune avec bordure en gras rouge et Insérez le nom Définir le nom LOOKER2 dans la plage de cellules $L4,50€:$M22€
- Sélectionnez la ligne 5 et définissez la police Rouge, Souligné, Gras, Aligné au centre horizontalement.
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Saisissez les formules des colonnes:
- Entrez dans A6" =IF(ODD(Spheroids)=Spheroids,0,Tip)" sans guillemets. Format Remplissage Rose Clair. Insérez un nouveau commentaire de la formule d'origine pour toutes ces formules supérieures.
- Modifier Allez à A7:A2886 et entrez dans A7" =(A6+(-Tip*2)/(AjRows))" sans guillemets et Modifier Fill Down.
- Sélectionnez B6 et saisissez "=Base*24/Sphéroïdes". Insérer un nouveau commentaire.
- Sélectionnez B7:B2886 et entrez dans B7" =B6" et éditez Fill Down Insérer un nouveau commentaire = INC,
- Modifier Allez à C6:C2886 et entrez dans C6" =Thickness*Spheroids/KEY*(COS((ROW()-6)*Number*PI()/PiDivisor*Factor1))" sans guillemets et Edit Fill Down. INC.
- Modifier Allez à D6:D2886 et entrez dans D6" =Thickness*Spheroids/KEY*(SIN((ROW()-6)*Number*PI()/PiDivisor*Factor1))" sans guillemets et Edit Fill Down. INC.
- Modifier Allez à E6:E2886 et entrez dans E6" =((SIN(A6/(B6*2))*GM*COS(A6)*GM*(COS(A6/(B6*2)))*GM)+ C6)/ShrinkExpand" sans guillemets et Edit Fill Down. INC.
- Modifier Allez à F6:F2886 et entrez dans F6" =((SIN(A6/(B6*2))*GM*SIN(A6)*GM*(COS(A6/(B6*2)))*GM)+ D6)/ShrinkExpand" sans guillemets et Edit Fill Down. INC.
- Nous n'utiliserons pas la colonne G ou H mais je vous les donnerai quand même, au cas où vous voudriez mesurer les longueurs d'arc de deux anneaux de sphères, l'un externe à l'autre,
- Editer Aller à G6:G2886 et entrer dans G6" =((SIN(A6/(B6*2))*GM*COS(A6)*GM*(COS(A6/(B6*2)))*GM)+ C6)/ShrinkExpand2" sans guillemets et éditer le remplissage vers le bas. INC.
- Modifier Allez à H6:H2886 et entrez dans H6" =((SIN(A6/(B6*2))*GM*SIN(A6)*GM*(COS(A6/(B6*2)))*GM)+ D6)/ShrinkExpand2" sans guillemets et éditer le remplissage vers le bas. INC.

Autorisez l'affichage des noms de graphique — Dans Graphique, autorisez l'affichage des noms de graphique et définissez des marqueurs de données en survol et laissez le reste décoché pour le moment.

Partie 2 sur 3: tableaux explicatifs, schémas, photos

(en fonction des données du didacticiel ci-dessus)

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Mesurer la longueur de l'arc
- Créer le graphique
- Sélectionnez E6:F125 et créez un graphique Scatter, Smooth Line Scatter. Coupez-le et collez-le dans le coin supérieur gauche de la feuille de calcul Longueur d'arc et faites-le glisser par le coin inférieur gauche jusqu'à ce qu'il occupe la région A35 à 0,5 la colonne J. Diminuez la colonne J pour l'adapter au bord de la zone de graphique. Utilisez la mise en page du graphique pour contourner les lignes de la grille et légende. Définissez l'échelle verticale sur Minimum - 0,05 et Maximum 0,3 avec l'unité majeure 0,05, puis définissez l'échelle de l'axe horizontal sur Minimum, 85 et Maximum 1,15 avec l'unité majeure 0,05. Pointez sur le graphique, puis sur Disposition du graphique et effectuez la sélection actuelle de la série 1, la sélection de format. Pour le style de marqueur, sélectionnez la taille de cercle rond 3 à 5, comme vous préférez. Ce qui sera mesuré est la distance entre les marqueurs, que vous pouvez voir si vous décochez Ligne lissée. Ce n'est donc qu'une approximation, mieux dans les petites zones que dans les grandes. Je ne sais pas comment calculer l'erreur totale. Du moins pas entre Excel et Excel. Pour le calcul contre Excel, je peux le faire si on me donne une fonction pour laquelle je peux trouver la dérivée; ce n'est pas de ceux-là, malheureusement.
- Entrez 2880 dans L1 et "=Sphéroïdes" dans L2. Entrez les lignes dans K3 et entrez "=L1/L2" dans L3 et insérez le nom Définir les lignes de nom dans $L2,20€
- Saisissez le numéro de ligne dans K5. Entrez Main X à L5. Saisissez Main Y à M5. Entrez Arc sur N4 et Longueur sur N5 et faites la taille de police 16 pour ceux-ci. Copiez-les et collez-les dans O4:O5, puis saisissez Cumulative dans O3. Saisissez S# (pour Sphere#) sur P5 et formatez la police en rouge. Sélectionnez les colonnes K:P et alignez le centre et effectuez la sélection de l'ajustement automatique de la colonne Format.
- Saisissez 1 dans la cellule K6 et modifiez Aller à la plage de cellules K6:K2885 et modifiez la valeur de l'étape linéaire de la colonne de la série de remplissage = 1, OK.
- Saisissez "=Data!E6" dans la cellule L6, puis saisissez "=Data!F6" dans la cellule M6. Modifier Aller à L6:M2885 et Modifier Remplir vers le bas.
- Saisissez dans N7" =((L7-L6)^2+(M7-M6)^2)^0,5" et copiez-collez-le dans N8.
- Entrez dans O8" =SUM($N5,20€:N8)" qui conservera un total cumulé à côté de la formule de distance dans Arc Length.
- Modifier Aller à O8:N2885 et Modifier Remplir vers le bas. Vous avez maintenant la longueur de l'arc cumulativement sur tout le chemin. Si vous modifiez Aller à la cellule O125, vous devriez y voir le total cumulé de la première sphère, celle du graphique, à 7 3507 - ce serait bien d'avoir un moyen de les trouver, quel que soit le nombre de sphères entières entrées..
- Allez à la cellule P6 et saisissez "=IF(K6/Rows<>INT(K6/Rows),"",INT(K6/Rows))", laquelle formule laisse un blanc à moins que le numéro de ligne ne soit divisible de manière égale par le Rows/ Sphères (120)=2880/24 calculées en haut automatiquement. Format Remplir P6 jaune et faire la police en gras rouge de taille 16. Modifier Allez à P6:P2885 et Modifier Remplir vers le bas. Maintenant, nous avons chaque sphère # en gros caractères rouges gras pour faciliter la recherche des totaux cumulatifs.
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Copiez les formules de la feuille de calcul des données et collez-les ensuite dans la feuille de calcul des sauvegardes, puis à nouveau en dessous, mais pour coller des valeurs spéciales au-dessus d'elle-même cette fois pour conserver la mise en forme mais n'obtenir que des valeurs. Copiez ensuite une image du graphique avec certaines des données de la feuille de calcul Longueur d'arc et avec la touche Maj à nouveau enfoncée, collez l'image sous les deux ensembles de données, les formules et les valeurs que vous venez de coller comme un bon enregistrement de la façon dont vous avez créé le image.
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Vous souhaiterez peut-être totaliser la colonne de longueur d'arc comme une double vérification de la formule cumulative, qui ne fonctionnera pas sans que le nombre de tête ait les signes dollar de référence absolue. LA fonction INTeger est une relique du passé et n'est plus annoncée mais a de la valeur.
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Pour votre graphique final, faites en sorte que le titre du graphique lise la longueur totale de l'arc du nombre de sphéroïdes que vous avez entré en tapant dans la zone de texte quelque chose comme une référence à la feuille de calcul ou au classeur, puis un nom de variable défini (je ne peux pas le faire fonctionner sur xl2011 à moins que j'importe à partir d'anciennes versions et que je modifie ces zones de texte): ='Revised-THE Garthwaite Curve.xlsx!'CumTotal
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L'image finale.

Sélectionnez Afficher les 10 documents les plus récents — Définissez les préférences dans le menu Excel: En général, définissez R1C1 sur Désactivé et sélectionnez Afficher les 10 documents les plus récents.

Partie 3 sur 3: conseils utiles

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Utilisez des articles d'aide lorsque vous suivez ce didacticiel:
- Voir l'article Comment créer un chemin de particules de spin en spirale ou une forme de collier ou une bordure sphérique pour une liste d'articles liés à Excel, à l'art géométrique et/ou trigonométrique, aux graphiques/diagrammes et à la formulation algébrique.
- Pour plus de tableaux et de graphiques artistiques, vous pouvez également cliquer sur Catégorie: images Microsoft Excel, Catégorie: mathématiques, Catégorie: feuilles de calcul ou Catégorie: graphiques pour afficher de nombreuses feuilles de calcul et graphiques Excel où la trigonométrie, la géométrie et le calcul ont été transformés en art, ou cliquez simplement sur la catégorie telle qu'elle apparaît dans la partie blanche en haut à droite de cette page, ou en bas à gauche de la page.

Calculer la longueur de l'arc de la sphère via la formule de distance — Sinon, suivez les étapes ci-dessous pour créer un tel classeur et calculer la longueur de l'arc de la sphère via la formule de distance.

Conseils

Pour ceux d'entre vous qui débutent en calcul, t^5 devient 5t^4, une fois dérivé, via la règle de puissance, qui stipule que pour la fonction y=f(x), la dérivée f'(x), ou dy/dx, de x^n est n*x^(n-1). dy/dx est la nomenclature et ne concerne pas la division; cela signifie "la dérivée de y par rapport à x". Si y = x^5, alors y' = f'(x) = dy/dx = 5x^4. Leibniz et Newton ont tous deux inventé le calcul, et la différence de notation est préservée.
J'arrive à une réponse légèrement différente de celle que Wikipedia obtient pour la longueur d'arc de leur exemple. Étant donné que =SQRT(1+((25*X^8)/(9*X^4))) = 1,9436506316151, alors =SQRT(((9*X^4)+(25*X^8))/(9*X^4)) également = le même chiffre. Si nous prenons la racine du dénominateur, nous avons maintenant =SQRT(((9*X^4)+(25*X^8))/(1))/1 car dt = 3x2, comme le dénominateur, donc ceux-ci s'annulent, et nous nous retrouvons avec le chiffre de 5 8309518948453, ce qui est clairement trop long. Nous divisons cela par 2 car sinon la réponse = 0 et il y a deux unités à considérer, de 0 à 1 et de 0 à -1, et la longueur totale est, en moyenne, attribuable à ces deux unités. De plus, nous avons besoin d'une réponse beaucoup plus proche du + et du -1 943650632 arrivés jusqu'à présent. Il est clair que la courbe a une certaine longueur d'arc. Donc 5 8309518948453 / 2 = 2 91547594742265, soit 2 915,alors que Wikipedia a donné la réponse comme 2 905, que j'attribue à une faute de frappe.
Longueur de l'arc sphérique
Ligne de Sphères
Les autres méthodes impliquant le calcul impliquent la dérivation et l'intégration. Voici, à partir de Wikipedia, un exemple compréhensible de la façon d'obtenir des résultats via la méthode de dérivation:
Voici un autre exemple, un plus compliqué, de la longueur de l'arc du «tekeporter» - calculé à 216 1120; tout ce que j'avais à faire était de copier la page du fichier de longueur d'arc existant dans le fichier "GW TEKEPORTER", de mettre à jour le nombre de sphères et de corriger les formules principales X et Y et de créer le graphique. J'ai également gelé les volets à la ligne 1445 avant de saisir une image de l'ensemble et d'utiliser Aperçu pour créer un fichier JPG:
Voici un autre exemple, tiré du premier classeur, "Créer une conception trigonométrique puissante dans Excel". Encore une fois, je viens de faire une copie de la page Longueur de l'arc et de la mettre à jour pour les détails locaux - dans ce cas, un objet en forme de sphère essentiellement très grand occupant 360 lignes. Toute sa longueur d'arc atteint un énorme 120396,9878 unités:
Et voici ce qui est réellement tracé et compté comme longueurs d'arc - la ligne non lissée du Tokomak:
Bien sûr, les Chaos Curves sont toujours intéressantes:
Un dernier - le Carré des Sphéroïdes:

À l'exception de Convertir automatiquement le système de date — Dans Modifier, définissez toutes les premières options sur cochées, à l'exception de Convertir automatiquement le système de date.

Mises en garde

ERREURS: S'il y a des erreurs imprévues ou des valeurs d'erreur qui n'ont pas été abordées ci-dessus, la feuille est incomplète et nécessite une entrée supplémentaire ou des tables de recherche pour les variables critiques ou peut-être qu'il y a une erreur quelque part le long de la ligne. Si les instructions sont terminées et qu'il y a encore des erreurs, sélectionnez la cellule qui a la valeur d'erreur la plus à gauche et la plus en haut en premier. Recherchez une faute de frappe dans une formule ou des parenthèses sans correspondance. Peut-être qu'un nom défini est erroné - ils doivent être entrés dans les formules exactement comme ils ont été définis. Insérez le nom défini pour vérifier. S'il y a un #DIV/0! erreur, l'exemple ne le fait pas, alors recherchez une variable qui n'a peut-être pas été renseignée avec une valeur. Quoi qu'il en soit, ce qu'il faut faire est de sélectionner la cellule avec l'erreur, et après avoir vérifié toutes ces erreurs typiques, faites Outils Auditant les précédents de trace et/ou l'erreur de trace. Si la correction de toutes les erreurs les plus à gauche ne corrige pas le reste de vos erreurs sur la feuille de calcul, vous devrez peut-être le faire à la dure, du bas à droite vers le haut puis vers la gauche; c'est le moyen lent mais sûr de corriger toutes les erreurs.
De plus, les erreurs dans les données du graphique seront très probablement représentées par des zéros. Cela peut être acceptable ou même souhaitable. Cependant, si trop de lignes (ou de courbes) reviennent à 0, cela peut indiquer un défaut logique dans les données - ou trop de valeurs minuscules, puis il est peut-être nécessaire de redimensionner le graphique en inspectant les axes horizontaux et verticaux et en les modifiant à zéro. dans le problème. Survolez ou cliquez sur un marqueur de données sur le graphique de la série, puis effectuez une recherche dans la colonne appropriée par valeur pour cette valeur et identifiez ses précédents.

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