Comment résoudre les inégalités trigonométriques?

L'inégalité trigonométrique sin x + sin 2x + sin 3x &gt — L'inégalité trigonométrique sin x + sin 2x + sin 3x > 0 a 2Pi comme période commune qui est le plus petit multiple des 3 périodes: 2Pi, Pi et 2Pi/3.

Une inégalité trigonométrique contient une ou plusieurs fonctions trigonométriques de la variable arc x sous la forme R[f(x),g(x)...] > 0 (ou < 0), dans laquelle f(x), g(x),... sont des fonctions trigonométriques de l'arc x. Résoudre x signifie trouver les valeurs de la variable arc x dont les fonctions trigonométriques rendent l'inégalité vraie. Toutes ces valeurs de x constituent l'ensemble solution de l'inégalité trigonométrique exprimée en intervalles. Les valeurs de l'arc x sont exprimées en radians ou en degrés.

Exemples d'inégalités trigonométriques:

sin x + sin 2x > -sin 3x; sin x + sin 3x < 1; 2tan x + tan 2x > 3cot x; cos 2x -2 > -3sin x

Pas

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Pour résoudre une inégalité trigonométrique, transformez-la en plusieurs inégalités trigonométriques de base. La résolution des inégalités trigonométriques aboutit finalement à la résolution des inégalités trigonométriques de base.
- Le processus de transformation se déroule exactement de la même manière que pour la résolution d'équations trigonométriques.
- La période commune d'une inégalité trigonométrique est le plus petit multiple commun de toutes les périodes des fonctions trigonométriques présentées dans l'égalité.
- Par exemple: l'inégalité trigonométrique sin x + sin 2x + cos x/2 < 1 a 4Pi comme période commune.
- Par exemple: le trig tan x + cot x/2 a 2Pi comme période commune.
- Sauf indication contraire, l'ensemble solution d'une inégalité trigonométrique doit être résolu, au moins, dans une période commune entière.
Par exemple: l'inégalité trigonométrique sin x + sin 2x + cos x/2 < 1 a 4Pi comme période commune.
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Apprenez les 4 types d'inégalités trigonométriques de base:
- sin x > a (ou < a); cos x > a (ou < a)
- tan x > a (ou < a); lit x > a (ou < a)
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Pour savoir comment résoudre ces inégalités trigonométriques de base, consultez le livre intitulé "trigonométrie: résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques " (Amazon e-book 2010). La résolution des inégalités trigonométriques de base se fait en étudiant les différentes positions de l'arc variable x qui tourne sur le cercle trigonométrique et en utilisant des tables trigonométriques, ou calculatrices.
- Exemple 1. Résoudre: sin x > 0,709
  - Solution. L'ensemble de solutions est donné par le cercle d'unité de trig et la table de trig:
- Pi/4 + 2k.Pi < x < 3Pi/4 + 2k.Pi
- Exemple 2. Résoudre: tan x < 0,414
  - Solution. Ensemble de solutions donné par Trig Table et cercle unité:
- -Pi/2 + k.Pi < x < Pi/8 + k.Pi
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Si l'inégalité trigonométrique ne contient qu'une seule fonction trigonométrique, résolvez-la comme une inégalité trigonométrique de base. Si l'inégalité est compliquée, contenant deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, résolvez-la en 4 étapes.

Ensuite, résolvez les 2 équations trigonométriques de base f(x) = cos 2x = 0 et g(x) = 1 + cos 2x = 0 pour obtenir toutes les valeurs de x dans la période commune.
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Étape 1.transformer l'inégalité trigonométrique donnée en forme standard r[x] > 0 (ou < 0).
- Exemple. L'inégalité (cos 2x < 2 + 3sin x) sera transformée en forme standard: R[x] = cos 2x - 3sin x -2 < 0.
- Exemple. L'inégalité (2tan x + tan 2x > 3cot x) sera transformée en R[x] = 2tan x + tan 2x - 3cot x > 0.
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Étape 2. Trouvez la période commune. La période commune d'une inégalité trigonométrique doit être le plus petit multiple de toutes les périodes des fonctions trigonométriques contenues dans cette inégalité.
- Exemple. L'inégalité trigonométrique R[x] = cos 2x - 3sin x - 2 < 0 a 2Pi comme période commune qui est le plus petit multiple des 2 périodes 2Pi et Pi.
- Exemple. L'inégalité trigonométrique sin x + sin 2x + sin 3x > 0 a 2Pi comme période commune qui est le plus petit multiple des 3 périodes: 2Pi, Pi et 2Pi/3.
- Exemple. L'inégalité trigonométrique sin 3x + cos x/2 - 1 < 0 a 4Pi comme période commune.
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Étape 3. Transformez et résolvez l'équation trigonométrique R[x] = 0 pour x. Pour rappel, il existe 2 approches:
- une. La première approche transforme l'équation trigonométrique donnée en un produit de nombreuses équations trigonométriques de base. Ensuite, résolvez séparément ces équations trigonométriques de base pour obtenir toutes les valeurs de x dans la période commune. Ces valeurs de x seront utilisées à l'ÉTAPE 4.
  - Exemple. Résoudre l'inégalité trigonométrique: cos x + cos 2x + cos 3x > 0.
  - Solution. En utilisant des identités trigonométriques, transformez l'équation R[x] = cos x + cos 2x + cos 3x = 0 en un produit: cos 2x (1 + 2cos x) = 0.
  - Ensuite, résolvez les 2 équations trigonométriques de base f(x) = cos 2x = 0 et g(x) = 1 + cos 2x = 0 pour obtenir toutes les valeurs de x dans la période commune.
- b. La deuxième approche transforme l'équation trigonométrique donnée en une équation trigonométrique contenant une seule fonction trigonométrique (appelée t) comme variable. Résoudre t à partir de cette équation trigonométrique transformée. Ensuite, résolvez ces valeurs t pour x. Les variables de fonction communes à sélectionner sont sin x = t; cosx = t; tan x = t; et tan x/2 = t.
  - Exemple. Résoudre: R[x] = cos 4x + 3cos2x + 1 < 0.
  - Solution. Transformez l'équation R[x] en une équation quadratique trigonométrique avec cos 2x = t comme variable:
  - 2cos^2 2x + 3cos 2x + 1 = 2t^2 + 3t + 1 = 0
- Résoudre cette équation quadratique pour t. Il existe 2 racines réelles: t = -1 et t = -0,5. Ensuite, résolvez les deux équations trigonométriques de base cos 2x = t = -1 et cos 2x = t = -0,5 pour x. Toutes ces valeurs de x seront utilisées à l'ÉTAPE 4.
L'inégalité trigonométrique R[x] = cos 2x - 3sin x - 2 < 0 a 2Pi comme période commune qui est le plus petit multiple des 2 périodes 2Pi et Pi.
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Étape 4. Résolvez l'inégalité trigonométrique donnée R(x) < 0 (ou > 0) par la méthode algébrique, en utilisant une table de signes.
- Exemple. Résoudre l'inégalité R[x] = sin x + sin 3x < -sin 2x (1)
- Solution. Forme standard: sin x + sin 2x + sin 3x < 0. La période commune est 2Pi. Transformez (1) en un produit: R[x] = 2sin 2x(cos x - 0,5) < 0. À l'étape 3, résolvez R(x) = 0. Résolvez l'équation de base f(x) = sin 2x = 0 Les arcs solutions sont: 0, Pi/2, Pi, 3Pi/2, 2Pi. Ensuite, résolvez l'équation g(x) = cos x - 0,5 = 0. Les arcs sont Pi/3, 5Pi/3. Toutes ces 7 valeurs de x seront utilisées pour mettre en place une table de signes à l'étape 4, pour résoudre R(x) < 0 (ou > 0)
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Mettre en place une table de signes dans laquelle la ligne du haut représente toutes les valeurs de x variant progressivement de 0 à 2pi. Ces valeurs consécutives de x créent divers intervalles entre elles.
- Tout d'abord, figurez la variation de f(x)= sin 2x sur la deuxième ligne du tableau des signes. Cela procède en considérant les différentes positions de l'arc x qui tourne sur le cercle unité trigone. Par exemple, si x est dans le premier quadrant, l'arc 2x est dans le deuxième quadrant et sin 2x est positif. Marquez les intervalles avec les signes + et - selon la variation de f(x).
- Ensuite, figurez la variation de g(x) = cos x - 0,5 sur la troisième ligne du tableau des signes. Résolvez et marquez les intervalles avec le signe + ou - comme dans l'opération ci-dessus.
- La ligne du bas représente la variation de R[x], avec les signes + et - qui sont les signes combinés du produit R[x] = f(x).g(x) dans chaque intervalle. Dans cet exemple, tous les intervalles - de la ligne du bas constituent l'ensemble de solutions de l'inégalité trigonométrique donnée R(x) < 0 dans la période commune. L'ensemble de solutions: (Pi/3, Pi/2) et (Pi, 3Pi/2) et (5Pi/3, 2Pi).
- Remarque 1. L'approche pour déterminer la variation de f(x) et g(x) est exactement la même approche pour résoudre les inégalités trigonométriques de base, c'est-à-dire l'étude des différentes positions de l'arc variable x sur le cercle trigonométrique.
- Remarque 2. La méthode graphique. Cette méthode utilise des calculatrices graphiques pour représenter graphiquement directement l'inégalité trigonométrique donnée R[x] > 0 (ou < 0). Cette méthode, si elle est autorisée par les enseignants/tests/examens, est rapide, précise et pratique. Pour savoir comment procéder, consultez le dernier chapitre du livre de trig mentionné ci-dessus.

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