Comment intégrer des fonctions gaussiennes?

David Hermans
David Hermans
• 14 min de lecture
La fonction gaussienne est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques
La fonction gaussienne est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences.

La fonction gaussienne f(x)=e−x2{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences. Son graphe caractéristique en forme de cloche revient partout de la distribution normale en statistique à la position des paquets d'ondes d'une particule en mécanique quantique.

Nous avons déjà vu comment calculer la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne
Nous avons déjà vu comment calculer la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne.

Intégrer cette fonction sur l'ensemble de x{\displaystyle x} est une tâche extrêmement courante, mais elle résiste aux techniques du calcul élémentaire. Aucun changement de variables, intégration par parties, substitution trigonométrique, etc. ne simplifiera l'intégrale. En fait, la primitive de la gaussienne, la fonction d'erreur, ne peut s'écrire en termes de fonctions élémentaires. Néanmoins, il existe une solution exacte pour l'intégrale définie, que nous trouvons dans cet article. Nous généralisons également l'intégrale de Gauss pour obtenir des résultats plus intéressants. Ces généralisations nécessitent quelques techniques supplémentaires telles que la différenciation sous l'intégrale et la connaissance de la fonction Gamma.

Partie 1 sur 3: intégrale gaussienne

  1. 1
    Commencer par l'intégrale.
    • ∫−∞∞e−x2dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x}
  2. 2
    Considérons le carré de l'intégrale. Nous développons cette intégrale dans le plan xy{\displaystyle xy} . L'idée ici est de transformer ce problème en une intégrale double pour laquelle on peut facilement résoudre, puis de prendre la racine carrée.
    • ∫−∞∞dxe−x2∫−∞∞dye−y2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} xe^{-x^{2}}\int _{- \infty }^{\infty }\mathrm {d} vous^{-y^{2}}}
  3. 3
    Convertir en coordonnées polaires. Rappelons que l'intégrale d'aire d'un rectangle polaire est de la forme rdrdθ,{\displaystyle r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta,} avec le r{\displaystyle r} supplémentaire là afin de redimensionner l'angle aux unités de longueur. Ce r{\displaystyle r} supplémentaire rend les intégrales triviales puisque nous pouvons identifier r2=x2+y2.{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
    • ∫−∞∞dxe−x2∫−∞∞dye−y2=∫−∞∞dx∫−∞∞dye−(x2+y2)=∫0∞rdr∫02πdθe−r2{\displaystyle {\begin{aligned}\ int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} xe^{-x^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} ye^{-y ^{2}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} vous^{-(x ^{2}+y^{2})}\\&=\int _{0}^{\infty }r\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d } \theta e^{-r^{2}}\end{aligned}}}
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    Évaluer au moyen d'une u-substitution. Soit u=r2.{\displaystyle u=r^{2}.} Alors le différentiel du=2rdr{\displaystyle \mathrm {d} u=2r\mathrm {d} r} annulera le r supplémentaire {\displaystyle r} que nous avons obtenu en passant à polaire. Puisque l'intégrande n'a pas de dépendance {\displaystyle \theta } , nous pouvons évaluer immédiatement l'intégrale θ{\displaystyle \theta } .
    • ∫0∞rdr∫02πdθe−r2=2π∫0∞re−r2dr,u=r2=π∫0∞e−udu=π(−e−∞+e0)=π{\displaystyle {\begin{aligned}\ int _{0}^{\infty }r\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta e^{-r^{2}}&=2\ pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\mathrm {d} r,\quad u=r^{2}\\&=\pi \int _{0} ^{\infty }e^{-u}\mathrm {d} u\\&=\pi (-e^{-\infty }+e^{0})\\&=\pi \end{aligned} }}
  5. 5
    Arriver à l'intégrale d'une gaussienne. Puisque nous évaluions le carré de l'intégrale, nous prenons la racine carrée de notre résultat.
    • ∫−∞∞e−x2dx=π{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }} }
    • Fait important, la fonction gaussienne est paire.
      • ∫−∞∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dx=2⋅π2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x=2\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
  6. 6
    Considérons l'intégrale de la fonction gaussienne générale. Cette fonction est déterminée par les paramètres a{\displaystyle a} et σ,{\displaystyle \sigma,} où a{\displaystyle a} est une constante (de normalisation) qui détermine la hauteur de la courbe en cloche, et σ{\displaystyle \sigma } est l'écart type, qui détermine la largeur de la courbe.
    • f(x)=ae−x22σ2{\displaystyle f(x)=ae^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
    • Suivez les étapes indiquées ci-dessus pour vérifier cette intégrale.
      • ∫−∞∞ae−x22σ2dx=aσ2π{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}} \mathrm {d} x=a\sigma {\sqrt {2\pi }}}
    • Une autre façon de formuler le problème est d'avoir une gaussienne sous la forme e−αx2.{\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}.} Vérifiez également cette intégrale.
      • ∫−∞∞e−αx2dx=πα{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}
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    (Facultatif) Normalisez la zone pour trouver la constante de normalisation a{\displaystyle a} . Dans de nombreuses applications, il est souhaité que l'aire de la gaussienne soit réglée à l'unité. Dans ce cas, nous définissons aσ2π=1{\displaystyle a\sigma {\sqrt {2\pi }}=1} et résolvons pour a.{\displaystyle a.}
    • a=1σ2π{\displaystyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}
    • Ici, nous arrivons à la gaussienne normalisée, si souhaitée dans des applications telles que la théorie des probabilités et la mécanique quantique.
      • f(x)=1σ2πe−x22σ2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {x^{2}} {2\sigma ^{2}}}}}
L'intégrale de Gauss est un résultat qui peut être utilisé pour trouver de nombreuses intégrales apparentées
L'intégrale de Gauss est un résultat qui peut être utilisé pour trouver de nombreuses intégrales apparentées.

Partie 2 sur 3: généralisations

  1. 1
    Considérons l'intégrale ci-dessous. L'intégrale gaussienne ∫0∞e−αx2dx=12πα{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1} {2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}} est un résultat qui peut être utilisé pour trouver de nombreuses intégrales liées. Ceux ci-dessous sont appelés moments de la gaussienne. En dessous, n{\displaystyle n} est un nombre positif.
    • ∫0∞xne−x2dx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x^{2}}\mathrm {d} x}
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    Si n{\displaystyle n} est pair, considérez l'intégrale associée (écrite ci-dessous) et différenciez-la sous l'intégrale. Le résultat de la différenciation sous l'intégrale est que même les puissances de x{\displaystyle x} sont réduites. Notez que lorsque l'intégrale est annulée, le résultat de droite est également annulé à cause de la puissance négative dans α,{\displaystyle \alpha,} donc les réponses restent positives. Étant donné que la différenciation est beaucoup plus facile que l'intégration, nous pourrions le faire toute la journée, en veillant à définir α=1{\displaystyle \alpha =1} à un moment opportun. Nous énumérons ci-dessous quelques-unes de ces intégrales. Assurez-vous de les vérifier par vous-même.
    • ∫0∞e−αx2dx=12πα{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}
    • ∫0∞x2e−x2dx=−∫0∞∂∂αe−αx2dx=−ddα(12πα)=π4{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x^{ 2}}\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{ \alpha }}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}}
    • ∫0∞x4e−x2dx=3π8{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{4}e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {3{ \sqrt {\pi }}}{8}}}
    • ∫0∞x6e−x2dx=15π16{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{6}e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {15{ \sqrt {\pi }}}{16}}}
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    Si n{\displaystyle n} n'est pas pair, utilisez le u-sub u=x2{\displaystyle u=x^{2}} . Ensuite, nous pouvons utiliser la fonction Gamma pour évaluer facilement. Ci-dessous, nous choisissons n=9{\displaystyle n=9} et n=0,33{\displaystyle n=0,33} comme exemples.
    • ∫0∞x9e−x2dx=12∫0∞u4e−udu=4!2=12{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{9}e^{-x^{2}}\ mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }u^{4}e^{-u}\mathrm {d} u={\frac {4!}{2}}=12}
    • ∫0∞x0,33e−x2dx=12∫0∞u−0,33e−udu=Γ(0,67)2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{0,33}e ^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }u^{-0,33}e^{-u }\mathrm {d} u={\frac {\Gamma (0,67)}{2}}}
    • Il est intéressant de noter que nous aurions également pu utiliser la fonction Gamma même pour n{\displaystyle n} . C'est une méthode plus générale d'évaluation de ces types d'intégrales qui n'est généralement pas plus impliquée que la différenciation sous l'intégrale.
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    Posons α=i{\displaystyle \alpha =i} pour obtenir trois intégrales. Le résultat est assez général tel que α {\ displaystyle \ alpha} peut même prendre des valeurs complexes, comme longtemps que Re⁡ (α) ≥0. {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ alpha) \ geq 0.} Rappel Formule d'Euler reliant la fonction exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques. Si nous prenons les parties réelle et imaginaire de notre résultat, nous obtenons gratuitement deux intégrales. Aucune des deux intégrales réelles n'a de primitives qui peuvent être écrites sous forme fermée.
    • e−ix2=cos⁡x2−isin⁡x2{\displaystyle e^{-ix^{2}}=\cos x^{2}-i\sin x^{2}}
    • ∫0∞e−ix2dx=12πi=π2e−iπ/4=π22(1−i){\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ix^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{i}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{-i\pi /4}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {2}}}}(1-i)}
    • ∫0∞cos⁡x2dx=∫0∞sin⁡x2dx=π22{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos x^{2}\mathrm {d} x=\int _{0}^ {\infty }\sin x^{2}\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {2}}}}}
    • Ces deux intégrales sont des cas particuliers des intégrales de Fresnel, où elles sont importantes dans l'étude de l'optique.
    • Si vous n'êtes pas très familier avec les nombres complexes, le nombre i{\displaystyle i} peut être réécrit sous forme polaire comme eiπ/2,{\displaystyle e^{i\pi /2},} car les exposants imaginaires sont des rotations dans le plan complexe - dans ce cas, par un angle de /2.{\displaystyle \pi /2.} La forme polaire simplifie presque tout ce qui est associé aux nombres complexes, nous pouvons donc facilement prendre la racine carrée.
  5. 5
    Calculer la transformée de Fourier de la fonction gaussienne en complétant le carré. Le calcul de la transformée de Fourier est très simple sur le plan informatique, mais il nécessite une légère modification. Nous choisissons de compléter le carré car nous reconnaissons la propriété que l'intégrale est indépendante du décalage (voir la discussion). Puisque nous devons ajouter 0 pour ne pas changer l'intégrande, nous devons compenser en ajoutant un terme −ω24{\displaystyle -{\frac {\omega ^{2}}{4}}} . Observez les signes - ils peuvent être délicats.
    • F{e−t2}=∫−∞∞e−t2e−iωtdt=∫−∞∞e−(t2+iωt−ω0,5+ω0,5)dt=e−ω0,5∫−∞∞e−(t+iω/2)2dt=πe−ω0,5{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{e^{-t^{2}}\}&=\int _{- \infty }^{\infty }e^{-t^{2}}e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty } e^{-(t^{2}+i\omega t-\omega ^{2}/4+\omega ^{2}/4)}\mathrm {d} t\\&=e^{-\ omega ^{2}/4}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(t+i\ omega /2)^{2}}\mathrm {d} t\\&={ \sqrt {\pi }}e^{-\omega ^{2}/4}\end{aligned}}}
    • Fait intéressant, la transformée de Fourier d'une gaussienne est une autre gaussienne (à l'échelle), une propriété que peu d'autres fonctions possèdent (la sécante hyperbolique, dont la fonction a également la forme d'une courbe en cloche, est également sa propre transformée de Fourier).
    • Cette technique consistant à compléter le carré peut également être utilisée pour trouver des intégrales comme celles ci-dessous. Vérifiez cela en considérant l'expression " complexée " eiαx/β{\displaystyle e^{i\alpha x/\beta }} puis en prenant la partie réelle du résultat.
      • ∫−∞∞cos⁡αxβe−x2dx=πe−α0,5β2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\cos {\frac {\alpha x}{\beta }}e^{- x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}e^{-\alpha ^{2}/4\beta ^{2}}}
Ne peut s'écrire en termes de fonctions élémentaires
En fait, la primitive de la gaussienne, la fonction d'erreur, ne peut s'écrire en termes de fonctions élémentaires.

Partie 3 sur 3: fonction d'erreur

  1. 1
    Définissez la fonction d'erreur. C'est souvent le cas que l'intégrale gaussienne doit être évaluée à travers la ligne réelle. Cependant, de nombreuses autres applications, telles que la diffusion et les statistiques, nécessitent une relation plus générale.
    • Parce que la fonction gaussienne n'a pas de primitive pouvant être écrite en termes de fonctions élémentaires, nous définissons la fonction d'erreur erf⁡(x){\displaystyle \operatorname {erf} (x)} comme primitive de la gaussienne. C'est une fonction spéciale définie par convention avec un facteur de normalisation assurant une plage de x(−11).{\displaystyle x\in (-11).} Elle a une forme sigmoïde de forme similaire à la fonction logistique.
      • erf⁡(x)=2π∫0xe−t2dt{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^ {-t^{2}}\mathrm {d} t}
    • Il est également pratique de définir également la fonction d'erreur complémentaire.
      • erfc⁡(x)=1−erf⁡(x){\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}
    • Il convient de noter que l'acte de définir cette fonction spéciale ne donne pas de nouvelles perspectives ou des incursions fondamentales dans les mathématiques. Il s'agit simplement d'une définition d'une fonction que l'on rencontre assez souvent pour qu'on lui donne son propre nom.
  2. 2
    Résoudre l'équation de la chaleur à une dimension étant donné les conditions initiales. Comme exemple d'application nécessitant l'utilisation de la fonction d'erreur, nous résolvons l'équation de la chaleur en utilisant des transformées de Fourier avec les conditions initiales étant la fonction rectangulaire. Ci-dessous, α{\displaystyle \alpha } est connu comme le coefficient de diffusion.
    • ∂u∂t−α∂2u∂x2=0{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{ 2}}}=0}
    • u(x,0)=u0(x)={1|x|≤0,50|x|>0,5{\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)={\begin{ cas}1&|x|\leq 0,5\\0&|x|>0,5\end{cas}}}
  3. 3
    Trouvez la solution fondamentale. La solution fondamentale U(x,t){\displaystyle U(x,t)} est la solution de l'équation de la chaleur étant donné les conditions initiales d'une source ponctuelle, la fonction delta de Dirac. La solution fondamentale dans ce contexte est également connue sous le nom de noyau thermique.
    • Nous effectuons une transformée de Fourier pour passer de l'espace réel à l'espace ξ{\displaystyle \xi } pour obtenir une équation différentielle ordinaire dans t.{\displaystyle t.} Ensuite, nous résolvons simplement pour u^(ξ,t).{\displaystyle {\hat {u}}(\xi,t).} La propriété utile de la transformée de Fourier dont nous profitons ici est que la transformée de Fourier d'une dérivée d'ordre n{\displaystyle n} correspond à la multiplication de (iξ)n{\displaystyle (i\xi)^{n}} dans l' espace ξ{\displaystyle \xi } .
      • ∂u^∂t+αξ2u^=0{\displaystyle {\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial t}}+\alpha \xi ^{2}{\hat {u}}= 0}
    • La constante supplémentaire correspond simplement aux conditions initiales.
      • u^(ξ,t)=u^0(ξ)e−αξ2t{\displaystyle {\hat {u}}(\xi,t)={\hat {u}}_{0}(\xi)e ^{-\alpha \xi ^{2}t}}
    • Maintenant, nous devons nous retransformer dans l'espace réel. C'est pratique pour nous car la multiplication dans l' espace ξ{\displaystyle \xi } correspond à la convolution dans l'espace réel. La solution fondamentale est alors simplement la transformée de Fourier inverse du terme exponentiel, illustrée ci-dessous. Elle est considérée comme la solution fondamentale car la fonction delta est l'opérateur identité de convolution: δ(x)∗U(x,t)=U(x,t).{\displaystyle \delta (x)*U(x,t)=U(x,t).}
      • u(x,t)=u0(x)∗F−1{e−αξ2t}{\displaystyle u(x,t)=u_{0}(x)*{\mathcal {F}}^{-1} \left\{e^{-\alpha \xi ^{2}t}\right\}}
    • Nous avons déjà vu comment calculer la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne. Nous appliquons ici aussi la technique de la réalisation du carré.
    • U(x,t)=F−1{e−αξ2t}=12π∫−∞∞e−αξ2teixξdξ=12π∫−∞∞e−αt(ξ2−2ixξ2αt−x24α2t2)e−x0,5αtdξ=12πe−x0, 5αt∫−∞∞e−αt(ξ−ix2αt)2dξ=14παte−x0,5αt{\displaystyle {\begin{aligned}U(x,t)&={\mathcal {F}}^{-1}\ gauche\{e^{-\alpha \xi ^{2}t}\right\}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty } e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{ix\xi }\mathrm {d} \xi \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\ infty }^{\infty }e^{-\alpha t\left(\xi ^{2}-2{\frac {ix\xi }{2\alpha t}}-{\frac {x^{2} }{4\alpha ^{2}t^{2}}}\right)}e^{-x^{2}/4\alpha t}\mathrm {d} \xi \\&={\frac { 1}{2\pi }}e^{-x^{2}/4\alpha t}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha t\left(\xi -{ \frac {ix}{2\alpha t}}\right)^{2}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}} e^{-x^{2}/4\alpha t}\end{aligned}}}
  4. 4
    Résoudre pour u(x,t){\displaystyle u(x,t)} étant donné les conditions initiales. Maintenant que nous avons notre solution fondamentale U(x,t),{\displaystyle U(x,t),} nous pouvons prendre la convolution de U(x,t){\displaystyle U(x,t)} avec u0(x).{\displaystyle u_{0}(x).}
    • u(x,t)=u0(x)∗U(x,t)=∫−∞∞u0(y)U(x−y,t)dy=14παt∫−0,50,5e−(x−y) 0,5αtdy=14παt∫−0,5−x0,5−xe−(z4αt)2dz=12[erf⁡(0,5−x4αt)−erf⁡(−0,5−x4αt)]{\displaystyle {\ begin{aligned}u(x,t)&=u_{0}(x)*U(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }u_{0}(y)U(xy,t)\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}\int _{-0,5}^{0,5}e^{ -(xy)^{2}/4\alpha t}\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}\int _{-0, 5-x}^{0,5-x}e^{-\left({\frac {z}{\sqrt {4\alpha t}}}\right)^{2}}\mathrm {d} z \\&={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {0,5-x}{\sqrt {4\alpha t}}}\right)- \operatorname {erf} \left({\frac {-0,5-x}{\sqrt {4\alpha t}}}\right)\right]\end{aligned}}}
    • Dans la dernière étape, nous utilisons le fait que ∫e−x2dx=π2erf⁡(x).{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\frac {\ sqrt {\pi }}{2}}\nom_opérateur {erf} (x).}
    • Un tracé de cette fonction au fil du temps ci-dessus montre que la "netteté" de la fonction diminue au fil du temps, tendant finalement vers une solution d'équilibre. Les conditions initiales sont tracées en bleu, tandis que u(x,t){\displaystyle u(x,t)} est tracé pour les valeurs t=0,005,{\displaystyle t=0,005,} t=0,1,{\ displaystyle t=0,1,} et t=0,3,{\displaystyle t=0,3,} pour les tracés orange, vert et rouge, respectivement.
    • Nous voyons sur le graphique que la fonction est fortement inclinée vers x=±0,5,{\displaystyle x=\pm 0,5,} dont la fonction d'erreur s'occupe. Cependant, la fonction d'erreur est toujours une fonction continue et bien conduite, donc cette solution ne peut pas exister au moment t=0,{\displaystyle t=0,} lorsque l'argument à l'intérieur de la fonction d'erreur devient singulier et lorsque la fonction approche le discontinu u0(x){\displaystyle u_{0}(x)} défini précédemment.
Calculer la transformée de Fourier de la fonction gaussienne en complétant le carré
Calculer la transformée de Fourier de la fonction gaussienne en complétant le carré.

Discussion

  • Il s'avère que la gaussienne telle que définie à l'étape 6 de la partie 1 n'est pas la forme la plus générale. Comme on le voit sur le schéma, on peut aussi décaler la gaussienne de quelques unités μ,{\displaystyle \mu,} pour que le x2{\displaystyle x^{2}} se transforme en un (x−μ)2{\displaystyle (x -\mu)^{2}} dans l'exposant. Cependant, il est évident que la traduction n'a pas d'importance lorsque nous intégrons sur tout x,{\displaystyle x,} c'est pourquoi compléter le carré tout en calculant la transformée de Fourier fonctionne. Néanmoins, la forme générale de la gaussienne normalisée ressemble à ceci.
    • f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
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