Comment trouver les asymptotes verticales d'une fonction rationnelle?
Classiquement, lorsque vous tracez la solution d'une fonction, si la fonction a une asymptote verticale, vous la représenterez graphiquement en traçant une ligne pointillée à cette valeur.
Une fonction rationnelle est une fonction mathématique (équation) qui contient un rapport entre deux polynômes. C'est-à-dire qu'il doit y avoir une certaine forme de fraction, impliquant plus que des coefficients. Ainsi, y=0,5x+2{\displaystyle y=0,5x+2} n'est pas une fonction rationnelle, car la seule fraction est un terme de coefficient. Cependant, y=3x−1x2+2x+1{\displaystyle y={\frac {3x-1}{x^{2}+2x+1}}} est une fonction rationnelle. Une asymptote verticale est une représentation de valeurs qui ne sont pas des solutions de l'équation, mais elles aident à définir le graphique des solutions.
Partie 1 sur 2: trouver des asymptotes verticales
- 1Factoriser le dénominateur de la fonction. Pour simplifier la fonction, vous devez diviser le dénominateur en ses facteurs autant que possible. Dans le but de trouver des asymptotes, vous pouvez généralement ignorer le numérateur.
- Par exemple, supposons que vous commenciez par la fonction x−25x2+5x{\displaystyle {\frac {x-2}{5x^{2}+5x}}} . Le dénominateur 5x2+5x{\displaystyle 5x^{2}+5x} peut être factorisé dans les deux termes (5x)(x+1){\displaystyle (5x)(x+1)} .
- Comme autre exemple, considérons la fonction y=3x+1x2+2x+1{\displaystyle y={\frac {3x+1}{x^{2}+2x+1}}} . Vous devriez reconnaître le dénominateur comme une simple fonction quadratique, qui peut être factorisée dans (x+1)(x+1){\displaystyle (x+1)(x+1)} .
- Reconnaître que certaines fonctions du dénominateur peuvent ne pas être factorisées. Par exemple, dans l'équation y=x2−2x2+3x−1{\displaystyle y={\frac {x^{2}-2}{x^{2}+3x-1}}} , la fonction dans le dénominateur, x2+3x−1{\displaystyle x^{2}+3x-1} ne peut pas être factorisé. Pour cette première étape, il vous suffira de le laisser sous cette forme.
- Si vous avez besoin de revoir la factorisation des fonctions, consultez les articles Factoriser les équations algébriques ou Factoriser les polynômes du second degré (équations quadratiques).
- 2Trouvez les valeurs pour lesquelles le dénominateur est égal à 0. Toujours sans tenir compte du numérateur de la fonction, définissez le dénominateur factorisé égal à 0 et résolvez x. N'oubliez pas que les facteurs sont des termes qui se multiplient, et pour obtenir une valeur finale de 0, définir un facteur égal à 0 résoudra le problème. Selon le nombre de facteurs qui existent, vous pouvez trouver une ou plusieurs solutions.
- Par exemple, si une fonction de dénominateur est factorisée comme (5x)(x+1){\displaystyle (5x)(x+1)} , vous la définirez égale à 0 comme (5x)(x+1)=0{ \displaystyle (5x)(x+1)=0} . Les solutions seront toutes les valeurs de x qui rendent cela vrai. Pour trouver ces valeurs, définissez chaque facteur individuel égal à 0, pour créer deux mini-problèmes de 5x=0{\displaystyle 5x=0} et x+1=0{\displaystyle x+1=0} . La première solution est x=0{\displaystyle x=0} et la seconde est x=−1{\displaystyle x=-1} .
- Étant donné un autre exemple avec un dénominateur de x2+5x+6{\displaystyle x^{2}+5x+6} , cela pourrait être pris en compte dans les deux termes (x+3)(x+2){\displaystyle (x+ 3)(x+2)} . Définir chaque facteur égal à 0 conduit à x+3=0{\displaystyle x+3=0} et x+2=0{\displaystyle x+2=0} . Par conséquent, les solutions à ce problème seraient x=−3{\displaystyle x=-3} et x=−2{\displaystyle x=-2} .
Une fonction rationnelle est une fonction mathématique (équation) qui contient un rapport entre deux polynômes. - 3Comprendre le sens des solutions. Le travail que vous avez effectué jusqu'à présent identifie les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur de la fonction est égal à 0. Reconnaissez qu'une fonction rationnelle est en réalité un grand problème de division, avec la valeur du numérateur divisée par la valeur du dénominateur. Étant donné que la division par 0 n'est pas définie, toute valeur de x pour laquelle le dénominateur sera égal à 0 représente une asymptote verticale pour la fonction complète.
Partie 2 sur 2: représentation graphique des asymptotes verticales
- 1Revoir la signification d'un graphique. Un graphique d'une fonction est une représentation visuelle des valeurs de x et y qui sont des solutions à une équation donnée. Le graphique peut être constitué de points individuels, d'une ligne droite, d'une ligne courbe ou même de quelques figures fermées comme un cercle ou une ellipse. Tout point qui se trouve sur la ligne pourrait être une solution à l'équation.
- Par exemple, une équation simple comme y=2x{\displaystyle y=2x} aura des solutions infinies. Écrit par paires de (x,y), certaines solutions possibles sont (12), (24), (36) ou toute paire de nombres dans laquelle le deuxième nombre est le double du premier. Le tracé de ces points sur le plan de coordonnées x,y montrera une ligne droite continue qui apparaît comme une diagonale qui monte de gauche à droite. Pour voir d'autres exemples de ce type de graphique, vous pouvez consulter les équations linéaires du graphique.
- Un graphique d'une équation quadratique est celui qui a un exposant de 2, tel que y=x2+2x−1{\displaystyle y=x^{2}+2x-1} . Certains exemples de solutions sont (-1,-2), (0,-1), (11), (27). Si vous tracez ces points, et d'autres, vous trouverez le graphique d'une parabole, qui est une courbe en forme de U. Pour revoir ce type de graphique, vous pouvez regarder Tracer une équation quadratique.
- Si vous avez besoin d'aide pour savoir comment représenter graphiquement des fonctions, lisez Tracer une fonction ou Tracer une fonction rationnelle.
Si vous avez besoin de plus d'aide pour savoir comment représenter graphiquement des fonctions, lisez Tracer une fonction ou Tracer une fonction rationnelle. - 2Reconnaître les asymptotes. Une asymptote est une droite qui sert généralement de limite au graphique d'une fonction. Une asymptote peut être verticale, horizontale ou sur n'importe quel angle. L'asymptote représente des valeurs qui ne sont pas des solutions de l'équation, mais pourraient être une limite de solutions.
- Par exemple, considérons l'équation y=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}} . Si vous commencez à la valeur x=3 et comptez à rebours pour sélectionner des solutions pour cette équation, vous obtiendrez les solutions de (3, 0,33), (2, 0,5) et (11). Si vous continuez à compter, la prochaine valeur de x serait 0, mais cela créerait la fraction y=1/0. Parce que la division par 0 n'est pas définie, cela ne peut pas être une solution à la fonction. Par conséquent, la valeur de x=0 est une asymptote verticale pour cette équation.
Étant donné que la division par 0 n'est pas définie, toute valeur de x pour laquelle le dénominateur sera égal à 0 représente une asymptote verticale pour la fonction complète. - 3Représentez graphiquement les asymptotes verticales avec une ligne pointillée. Classiquement, lorsque vous tracez la solution d'une fonction, si la fonction a une asymptote verticale, vous la représenterez graphiquement en traçant une ligne pointillée à cette valeur. Dans l'exemple de y=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}} , ce serait une ligne pointillée verticale à x=0.
Questions et réponses
- Énoncer l'équation de l'asymptote pour le graphique y=2^3-x -4Je pense que vous avez mal copié votre problème. L'équation que vous avez donnée se simplifie en y=8-x-4, ou y=-x+4. Il s'agit d'une simple ligne droite, avec une pente de -1 et une ordonnée à l'origine à 4. Il n'y a pas d'asymptote pour cela. Vérifiez à nouveau votre problème.
