Comment factoriser un polynôme cubique?
Pour factoriser un polynôme cubique, commencez par le regrouper en 2 sections. Ensuite, trouvez ce qui est commun entre les termes de chaque groupe et tenez compte des points communs des termes. Si chacun des 2 termes contient le même facteur, combinez-les. Enfin, résolvez la variable dans les racines pour obtenir vos solutions. Pour apprendre à factoriser un polynôme cubique à l'aide de la forme libre, faites défiler vers le bas!
Le polynôme cubique est le produit de trois polynômes du premier degré ou le produit d'un polynôme du premier degré et d'un autre polynôme du deuxième degré non factorisable.
Ceci est un article sur la façon de factoriser un 3 ème polynôme de degré. Nous explorerons comment factoriser en utilisant le regroupement ainsi qu'en utilisant les facteurs du terme libre.
Partie 1 sur 2: affacturage par regroupement
- 1Regroupez le polynôme en deux sections. Regrouper le polynôme en deux sections vous permettra d'attaquer chaque section individuellement.
- Disons que nous travaillons avec le polynôme x 3 + 3x 2 - 6x - 18 = 0. Regroupons-le en (x 3 + 3x 2) et (- 6x - 18)
- 2Trouvez ce qui est commun dans chaque section.
- En regardant (x 3 + 3x 2), nous pouvons voir que x 2 est commun.
- En regardant (- 6x - 18), nous pouvons voir que -6 est commun.
- 3Prenez en compte les points communs entre les deux termes.
- En factorisant x 2 de la première section, nous obtenons x 2 (x + 3).
- En excluant -6 de la deuxième section, vous obtiendrez -6(x + 3).
- 4Si chacun des deux termes contient le même facteur, vous pouvez combiner les facteurs ensemble.
- Cela vous donne (x + 3)(x 2 - 6).
- 5Trouvez la solution en regardant les racines. Si vous avez un x 2 dans vos racines, rappelez-vous que les nombres négatifs et positifs remplissent cette équation.
- Les solutions sont -3, √6 et -√6.
Pour factoriser un polynôme cubique, commencez par le regrouper en 2 sections.
Partie 2 sur 2: affacturage en utilisant le terme libre
- 1Réorganisez l'expression pour qu'elle se présente sous la forme ax 3 +bx 2 +cx+d.
- Disons que vous travaillez avec l'équation: x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
- 2Trouvez tous les facteurs de "d". La constante "d" sera le nombre qui n'a pas de variables, telles que "x", à côté.
- Les facteurs sont les nombres que vous pouvez multiplier ensemble pour obtenir un autre nombre. Dans votre cas, les facteurs de 10, ou "d", sont: 1, 2, 5 et 10.
- 3Trouvez un facteur qui fait que le polynôme est égal à zéro. Nous voulons déterminer quel facteur rend le polynôme égal à zéro lorsque nous substituons le facteur pour chaque "x" dans l'équation.
- Commencez par utiliser votre premier facteur, 1. Remplacez "1" par chaque "x" dans l'équation:
(1) 3 - 4(1) 2 - 7(1) + 10 = 0 - Cela vous donne: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Parce que 0 = 0 est une affirmation vraie, vous savez que x = 1 est une solution.
- Commencez par utiliser votre premier facteur, 1. Remplacez "1" par chaque "x" dans l'équation:
- 4Faites un petit réarrangement. Si x = 1, vous pouvez réorganiser l'instruction pour qu'elle soit légèrement différente sans changer sa signification.
- "x = 1" est la même chose que "x - 1 = 0" ou "(x - 1)". Vous venez de soustraire un "1" de chaque côté de l'équation.
- 5Factorisez votre racine du reste de l'équation. "(x - 1)" est notre racine. Voyez si vous pouvez en tenir compte du reste de l'équation. Prenez-le un polynôme à la fois.
- Pouvez-vous factoriser (x - 1) sur le x 3? Non, tu ne peux pas. Mais vous pouvez emprunter un -x 2 à la deuxième variable; factorisez-le ensuite: x 2 (x - 1) = x 3 - x 2.
- Pouvez-vous factoriser (x - 1) à partir de ce qui reste de votre deuxième variable? Non, encore une fois, vous ne pouvez pas. Vous devez emprunter un petit peu à la troisième variable. Vous devez emprunter un 3x à -7x. Cela vous donne -3x(x - 1) = -3x 2 + 3x.
- Puisque vous avez pris un 3x à partir de -7x, notre troisième variable est maintenant -10x et notre constante est 10. Pouvez-vous en tenir compte? Vous pouvez! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Ce que vous avez fait, c'est réorganiser les variables de manière à pouvoir extraire un (x - 1) de l'équation entière. Votre équation réarrangée ressemble à ceci: x 3 - x 2 - 3x 2 + 3x - 10x + 10 = 0, mais c'est toujours la même chose que x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
- 6Continuez à substituer par les facteurs du terme libre. Regardez les nombres que vous avez pris en compte en utilisant le (x - 1) à l'étape 5:
- x 2 (x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Vous pouvez réorganiser cela pour être beaucoup plus facile à factoriser une fois de plus: (x - 1)(x 2 - 3x - 10) = 0.
- Vous essayez seulement de factoriser (x 2 - 3x - 10) ici. Cela se réduit en (x + 2)(x - 5).
- 7Vos solutions seront les racines factorisées. Vous pouvez vérifier si vos solutions fonctionnent réellement en reconnectant chacune, individuellement, à l'équation d'origine.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Cela vous donne des solutions de 1, -2 et 5.
- Rebranchez -2 dans l'équation: (-2) 3 - 4(-2) 2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Rebranchez 5 dans l'équation: (5) 3 - 4(5) 2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Pour apprendre à factoriser un polynôme cubique à l'aide de la forme libre, faites défiler vers le bas!
- Le polynôme cubique est le produit de trois polynômes du premier degré ou le produit d'un polynôme du premier degré et d'un autre polynôme du deuxième degré non factorisable. Dans ce dernier cas, vous utilisez une division longue après avoir trouvé le polynôme du premier degré pour obtenir le polynôme du deuxième degré.
- Il n'y a pas de polynômes cubiques non factorisés sur les nombres réels car chaque cube doit avoir une racine réelle. Les cubes tels que x^3 + x + 1 qui ont une racine réelle irrationnelle ne peuvent pas être factorisés en polynômes avec des coefficients entiers ou rationnels. Bien qu'il puisse être factorisé avec la formule cubique, il est irréductible en tant que polynôme entier.
Questions et réponses
- Comment résoudre x^3 + 6x^2 +11x +6?C'est un peu difficile d'écrire des maths sur un ordinateur, mais ici: x^2(x+6)+11x+6. Ou vous pouvez retirer x de trois termes au lieu des deux: x(x^2+6x+11)+6. Vous ne pouvez pas résoudre un problème avec une variable étant donné seulement cela.
- Et si le terme constant était nul?Alors x est l'un de ses facteurs. L'affacturage réduit le reste à un quadratique.
- Comment puis-je factoriser x^3+3x^2-16x+12=64?Laissez les valeurs qui sont des facteurs d'un terme constant et vérifiez le polynôme pour ces valeurs. Vous obtiendrez trois facteurs.
- Cela peut-il être fait en utilisant la formule quadratique puisqu'il existe de nombreux polynômes difficiles qui ont des racines irrationnelles?Non, l'équation quadratique ne contient que les termes a, b et c. Un cube a des termes a, b, c et d. Le quadratique ne peut être utilisé que sur une équation quadratique de la forme ax^2+bx+c.
- Les trois racines peuvent-elles être imaginaires?Non, pas si tous les coefficients sont réels. Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées et les polynômes ont toujours exactement autant de racines que leur degré, donc un cube peut avoir 3 racines réelles, ou 1 racine réelle et 2 racines complexes.
- Et si le polynôme du troisième degré n'a pas de terme constant?Vous avez juste besoin de factoriser le x. Disons qu'on vous donne: x^3+3x^2+2x=0. Alors x(x^2+3x+2)=0. Racines: x -> 0; x^2+3x+1 -> (x+2)(x+1) -> -2, -1.
- Et si on avait un coefficient à x-cube?Nous divisons le polynôme par le coefficient dominant, puis calculons les racines normalement.
- Comment puis-je trouver des racines?Votre question est très abstraite. Il existe plusieurs méthodes pour trouver des racines à partir d'un polynôme avec un certain degré. La procédure pour le polynôme de degré 2 n'est pas la même que pour le polynôme de degré 4 (ou biquadratique). Vous pouvez toujours factoriser l'équation donnée pour les racines - vous obtiendrez quelque chose sous la forme de (x + ou - y).
- Et s'il existe un polynôme de degré 0?Cela signifierait qu'il n'y a pas de variables (lettres). Ainsi, il pourrait être exprimé sous la forme d'un nombre unique.
- Comment factoriser x3 + 27?Ceci est un exemple de "la somme des cubes" (car x³ est le cube de x, et 27 est le cube de 3). La formule pour factoriser la somme des cubes est: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Dans ce cas, a est x et b est 3, utilisez donc ces valeurs dans la formule.
En parallèle
