Comment savoir si une fonction est paire ou impaire?
Afin de savoir si une fonction est paire ou impaire, remplacez toutes les variables de l'équation par son contraire. Par exemple, si la variable de la fonction est x, remplacez-la par -x à la place. Simplifiez la nouvelle fonction autant que possible, puis comparez-la à la fonction d'origine. Si chaque terme de la nouvelle version est l'opposé du terme correspondant de l'original, la fonction est impaire. Si ce sont les mêmes, alors c'est pair. Si aucune de ces valeurs n'est vraie, la fonction n'est ni paire ni impaire. Continuez à lire pour apprendre à tester la fonction sur un graphique!
Une fonction paire est lorsque f(x) = f(-x) et une fonction impaire est lorsque la déclaration susmentionnée n'est pas vraie.
Une façon de classer les fonctions est soit "pair", "impair" ou ni l'un ni l'autre. Ces termes font référence à la répétition ou à la symétrie de la fonction. La meilleure façon de le savoir est de manipuler la fonction algébriquement. Vous pouvez également afficher le graphique de la fonction et rechercher la symétrie. Une fois que vous savez comment classer les fonctions, vous pouvez alors prédire l'apparition de certaines combinaisons de fonctions.
Méthode 1 sur 2: tester la fonction algébriquement
- 1Passez en revue les variables opposées. En algèbre, l'opposé d'une variable s'écrit négativement. Cela est vrai que la variable dans la fonction soit x{\displaystyle x} ou autre chose. Si la variable dans la fonction d'origine apparaît déjà comme un négatif (ou une soustraction), alors son contraire sera un positif (ou une addition). Voici des exemples de certaines variables et de leurs contraires:
- l'opposé de x{\displaystyle x} est −x{\displaystyle -x}
- l'opposé de q{\displaystyle q} est −q{\displaystyle -q}
- l'opposé de −w{\displaystyle -w} est w{\displaystyle w} .
- 2Remplacez chaque variable de la fonction par son contraire. Ne modifiez pas la fonction d'origine autre que le signe de la variable. Par example:
- f(x)=4x2−7{\displaystyle f(x)=4x^{2}-7} devient f(−x)=4(−x)2−7{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7}
- g(x)=5x5−2x{\displaystyle g(x)=5x^{5}-2x} devient g(−x)=5(−x)5−2(−x){\displaystyle g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)}
- h(x)=7x2+5x+3{\displaystyle h(x)=7x^{2}+5x+3} devient h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{ \displaystyle h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3} .
Afin de savoir si une fonction est paire ou impaire, remplacez toutes les variables de l'équation par son contraire. - 3Simplifiez la nouvelle fonction. À ce stade, vous n'êtes pas concerné par la résolution de la fonction pour une valeur numérique particulière. Vous voulez simplement simplifier les variables pour comparer la nouvelle fonction, f(-x), avec la fonction d'origine, f(x). Rappelez-vous les règles de base des exposants qui disent qu'une base négative élevée à une puissance paire sera positive, tandis qu'une base négative élevée à une puissance impaire sera négative.
- f(−x)=4(−x)2−7{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7}
- f(−x)=4x2−7{\displaystyle f(-x)=4x^{2}-7}
- g(−x)=5(−x)5−2(−x){\style d'affichage g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)}
- g(−x)=5(−x5)+2x{\displaystyle g(-x)=5(-x^{5})+2x}
- g(−x)=−5x5+2x{\style d'affichage g(-x)=-5x^{5}+2x}
- h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{\displaystyle h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3}
- h(−x)=7x2−5x+3{\displaystyle h(-x)=7x^{2}-5x+3}
- f(−x)=4(−x)2−7{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7}
- 4Comparez les deux fonctions. Pour chaque exemple que vous testez, comparez la version simplifiée de f(-x) avec la version originale de f(x). Alignez les termes les uns avec les autres pour une comparaison facile et comparez les signes de tous les termes.
- Si les deux résultats sont identiques, alors f(x)=f(-x) et la fonction d'origine est paire. Un exemple est:
- f(x)=4x2−7{\displaystyle f(x)=4x^{2}-7} et f(−x)=4x2−7{\displaystyle f(-x)=4x^{2}-7 } .
- Ces deux sont les mêmes, donc la fonction est paire.
- Si chaque terme de la nouvelle version de la fonction est l'opposé du terme correspondant de l'original, alors f(x)=-f(-x), et la fonction est impaire. Par example:
- g(x)=5x5−2x{\displaystyle g(x)=5x^{5}-2x} mais g(−x)=−5x5+2x{\displaystyle g(-x)=-5x^{5} +2x} .
- Notez que si vous multipliez chaque terme de la première fonction par -1, vous créerez la deuxième fonction. Ainsi, la fonction originale g(x) est impaire.
- Si la nouvelle fonction ne rencontre aucun de ces deux exemples, alors elle n'est ni paire ni impaire. Par example:
- h(x)=7x2+5x+3{\displaystyle h(x)=7x^{2}+5x+3} mais h(−x)=7x2−5x+3{\displaystyle h(-x)=7x ^{2}-5x+3} . Le premier terme est le même dans chaque fonction, mais le deuxième terme est un opposé. Cette fonction n'est donc ni paire ni impaire.
- Si les deux résultats sont identiques, alors f(x)=f(-x) et la fonction d'origine est paire. Un exemple est:
Méthode 2 sur 2: tester la fonction graphiquement
- 1Représentez graphiquement la fonction. À l'aide de papier millimétré ou d'une calculatrice graphique, tracez le graphique de la fonction. Choisissez plusieurs valeurs numériques pour x{\displaystyle x} et insérez-les dans la fonction pour calculer la valeur y{\displaystyle y} résultante. Tracez ces points sur le graphique et, après avoir tracé plusieurs points, connectez-les pour voir le graphique de la fonction.
- Lorsque vous tracez des points, vérifiez les valeurs positives et négatives correspondantes pour x{\displaystyle x} . Par exemple, si vous travaillez avec la fonction f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} , tracez les valeurs suivantes:
- f(1)=2(1)2+1=2+1=3{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3} . Cela donne le point (13){\displaystyle (13)} .
- f(2)=2(2)2+1=2(4)+1=8+1=9{\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1 =8+1=9} . Cela donne le point (29){\displaystyle (29)} .
- f(−1)=2(−1)2+1=2+1=3{\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} . Cela donne le point (−13){\displaystyle (-13)} .
- f(−2)=2(−2)2+1=2(4)+1=8+1=9{\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Cela donne le point (−29){\displaystyle (-29)} .
Si chaque terme de la nouvelle version est l'opposé du terme correspondant de l'original, la fonction est impaire. - Lorsque vous tracez des points, vérifiez les valeurs positives et négatives correspondantes pour x{\displaystyle x} . Par exemple, si vous travaillez avec la fonction f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} , tracez les valeurs suivantes:
- 2Testez la symétrie sur l'axe des y. Lorsque l'on regarde une fonction, la symétrie suggère une image miroir. Si vous voyez que la partie du graphique du côté droit (positif) de l'axe des y correspond à la partie du graphique du côté gauche (négatif) de l'axe des y, alors le graphique est symétrique sur l'axe des y. Si une fonction est symétrique sur l'axe des y, alors la fonction est paire.
- Vous pouvez tester la symétrie en sélectionnant des points individuels. Si la valeur y pour tout x sélectionné est la même que la valeur y pour -x, alors la fonction est paire. Les points qui ont été choisis ci-dessus pour tracer f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} ont donné les résultats suivants:
- (13) et (-13)
- (29) et (-29).
- Les valeurs y correspondantes pour x=1 et x=-1 et pour x=2 et x=-2 indiquent qu'il s'agit d'une fonction paire. Pour un vrai test, sélectionner deux points n'est pas une preuve suffisante, mais c'est une bonne indication.
- Vous pouvez tester la symétrie en sélectionnant des points individuels. Si la valeur y pour tout x sélectionné est la même que la valeur y pour -x, alors la fonction est paire. Les points qui ont été choisis ci-dessus pour tracer f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} ont donné les résultats suivants:
- 3Testez la symétrie d'origine. L'origine est le point central (00). La symétrie d'origine signifie qu'un résultat positif pour une valeur x choisie correspondra à un résultat négatif pour -x, et vice versa. Les fonctions impaires affichent la symétrie d'origine.
- Si vous sélectionnez des exemples de valeurs pour x et leurs valeurs -x correspondantes opposées, vous devriez obtenir des résultats opposés. Considérez la fonction f(x)=x3+x{\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Cette fonction fournirait les points suivants:
- f(1)=13+1=1+1=2{\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2} . Le point est (12).
- f(−1)=(−1)3+(−1)=−1−1=−2{\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1- 1=-2} . Le point est (-1,-2).
- f(2)=23+2=8+2=10{\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10} . Le point est (210).
- f(−2)=(−2)3+(−2)=−8−2=−10{\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8- 2=-10} . Le point est (-2,-10).
- Ainsi, f(x)=-f(-x), et vous pouvez conclure que la fonction est impaire.
- Si vous sélectionnez des exemples de valeurs pour x et leurs valeurs -x correspondantes opposées, vous devriez obtenir des résultats opposés. Considérez la fonction f(x)=x3+x{\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Cette fonction fournirait les points suivants:
- 4Ne cherchez pas de symétrie. Le dernier exemple est une fonction qui n'a pas de symétrie d'un côté à l'autre. Si vous regardez le graphique, ce ne sera pas une image miroir sur l'axe des y ou autour de l'origine. Considérons la fonction f(x)=x2+2x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} .
- Sélectionnez quelques valeurs pour x et -x, comme suit:
- f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=4{\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4} . Le point à tracer est (14).
- f(−1)=(−1)2+2(−1)+(−1)=1−2−1=−2{\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2} . Le point à tracer est (-1,-2).
- f(2)=22+2(2)+2=4+4+2=10{\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10} . Le point à tracer est (210).
- f(−2)=(−2)2+2(−2)+(−2)=4−4−2=−2{\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2} . Le point à tracer est (2,-2).
- Ceux-ci devraient déjà vous donner suffisamment de points pour noter qu'il n'y a pas de symétrie. Les valeurs y des paires opposées de valeurs x ne sont ni les mêmes ni opposées. Cette fonction n'est ni paire ni impaire.
- Vous pouvez reconnaître que cette fonction, f(x)=x2+2x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} , peut être réécrite comme f(x)=(x+1) 2{\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Écrit sous cette forme, il semble que ce soit une fonction paire car il n'y a qu'un seul exposant, et c'est un nombre pair. Toutefois, cet exemple montre que vous ne pouvez pas déterminer si une fonction est paire ou impaire lorsqu'elle est écrite sous une forme entre parenthèses. Vous devez développer la fonction en termes individuels, puis examiner les exposants.
- Sélectionnez quelques valeurs pour x et -x, comme suit:
Si chaque terme de la nouvelle version de la fonction est l'opposé du terme correspondant de l'original, alors f(x)=-f(-x), et la fonction est impaire.
- Si toutes les apparences d'une variable dans la fonction ont des exposants pairs, alors la fonction sera paire. Si tous les exposants sont impairs, alors la fonction globale sera impaire.
- Cet article s'applique uniquement aux fonctions à deux variables, qui peuvent être représentées graphiquement sur une grille de coordonnées à deux dimensions.
Lisez aussi: Comment trouver le périmètre d'un rectangle?
Questions et réponses
- Déterminez si la fonction est paire, impaire ou aucune. G(x)=x^10+x^3Ce n'est ni l'un ni l'autre. Un moyen rapide de vérifier cela est d'évaluer G (1) = 2 et G (-1) = 0.
- Est-ce que f(x)=4 est pair ou impair?C'est pair, puisque f(x) (qui est égal à 4) = f(-x) (qui est égal à -4) et une fonction paire est lorsque f(x) = f(-x) une fonction impaire est lorsque l'instruction ci-dessus ne tient pas.
- Log (x-3) est une fonction paire ou impaire?Il est pair si Log (x-3) = Log (3-x) et impair sinon. Une fonction paire est lorsque f(x) = f(-x) et une fonction impaire est lorsque la déclaration susmentionnée n'est pas vraie.
Les commentaires (4)
- L'astuce pour savoir si c'est étrange ou même m'a aidé.
- Très facile à comprendre!
- Étapes bien écrites et faciles à comprendre.
- Il vous montre littéralement la différence entre pair et impair avec des exemples clairs.
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