Comment calculer le temps de doublement?

Pour calculer le temps de doublement, multipliez d'abord votre taux de croissance par 100 pour le convertir en pourcentage.

Les populations de bactéries, l'argent investi à taux d'intérêt garanti, la population de certaines villes; ces quantités ont tendance à croître de façon exponentielle. Cela signifie que plus ils grossissent, plus ils grandissent vite. Avec un court «temps de doublement» ou le temps nécessaire pour que la quantité augmente, même une petite quantité peut rapidement devenir énorme. Apprenez à trouver cette valeur à l'aide d'une formule simple et rapide, ou plongez-vous dans les calculs qui la sous-tendent.

Méthode 1 sur 2: estimation du temps de doublement avec la règle de 70

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Vérifiez que le taux de croissance est suffisamment faible pour cette méthode. Le doublement du temps est un concept utilisé pour des quantités qui croissent de façon exponentielle. Les taux d'intérêt et la croissance d'une population sont les exemples les plus couramment utilisés. Si le taux de croissance est inférieur à environ 0,15 par intervalle de temps, nous pouvons utiliser cette méthode rapide pour une bonne estimation. Si le problème ne vous donne pas le taux de croissance, vous pouvez le trouver sous forme décimale en utilisant CurrentQuantity−PastQuantityPastQuantity{\displaystyle {\frac {CurrentQuantity-PastQuantity}{PastQuantity}}} ${\frac {quantité actuelle-quantité passée}{quantité passée}}$ .
- Exemple 1: La population d'une île croît à un rythme exponentiel. De 2015 à 2016, la population passe de 20000 à 22800. Quel est le taux de croissance de la population?
  - 22800 - 20000 = 2800 nouvelles personnes. 2800 ÷ 20000 = 0,14, donc la population augmente de 0,14 par an. C'est assez petit pour que l'estimation soit assez précise.
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Multipliez le taux de croissance par 100 pour l'exprimer en pourcentage. La plupart des gens trouvent cela plus intuitif que la fraction décimale.
- Exemple 1 (suite): L'île avait un taux de croissance de 0,14, écrit sous forme de fraction décimale. Cela représente ${\frac{0,14}{1}}$ . Multipliez le numérateur et le dénominateur par 100 pour obtenir ${\frac {0,14}{1}}x{\frac {100}{100}}={\frac {14}{100}}=$ 14% par an.
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Divisez 70 par le taux de croissance en pourcentage. La réponse sera le nombre d'intervalles de temps nécessaires pour doubler la quantité. Assurez- vous d'exprimer le taux de croissance en pourcentage et non en nombre décimal, sinon votre réponse sera erronée. (Si vous êtes curieux de savoir pourquoi cette "règle des 70" fonctionne, lisez la méthode plus détaillée ci-dessous.)
- Exemple 1 (suite): Le taux de croissance était de 14%, le nombre d'intervalles de temps requis est donc de ${\frac {70}{14}}=5$ .
Comment calculer le temps de doublement?
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Convertissez votre réponse dans l'unité de temps souhaitée. Dans la plupart des cas, vous aurez déjà la réponse en termes d'années, de secondes ou d'une autre mesure pratique. Cependant, si vous avez mesuré le taux de croissance sur une plus grande période de temps, vous souhaiterez peut-être multiplier pour obtenir votre réponse en termes d'unités de temps individuelles.
- Exemple 1 (suite): Dans ce cas, puisque nous avons mesuré la croissance sur un an, chaque intervalle de temps est d'un an. La population de l'île double tous les 5 ans.
- Exemple 2: La deuxième île infestée d'araignées à proximité est beaucoup moins populaire. Il est également passé d'une population de 20000 à 22 800, mais il a fallu 20 ans pour le faire. En supposant que sa croissance soit exponentielle, quel est le temps de doublement de cette population?
  - Cette île a un taux de croissance de 14% sur 20 ans. La "règle des 70" nous dit qu'il faudra également 5 intervalles de temps pour doubler, mais dans ce cas, chaque intervalle de temps est de 20 ans. (5 intervalles de temps) x (20 ^ans / _{intervalle de temps}) = 100 ans pour que la population de l'île infestée d'araignées double.

Méthode 2 sur 2: dérivation de la formule de la «règle des 70»

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Comprendre la formule du taux de croissance exponentielle. Si vous commencez avec un montant initial A0{\displaystyle A_{0}} $A_{0}$ qui augmente de façon exponentielle, le montant final Af{\displaystyle A_{f}} $Un F}$ est décrit par la formule Af=A0(1+r)t{\displaystyle A_ {f}=A_{0}(1+r)^{t}} $A_{f}=a_{0}(1+r)^{{t}}$ . La variable r représente le taux de croissance par période de temps (sous forme décimale) et t est le nombre de périodes de temps.
- Pour donner du sens à cette formule, imaginez un investissement de 75€ avec un taux d'intérêt annuel de 0,02. Chaque fois que vous calculez la croissance, vous multipliez le montant que vous avez par 1,02. Après un an, c'est (75€)(1,02), après deux ans c'est (75€)(1,02)(1,02), et ainsi de suite. Cela se simplifie en $(1,02)^{t}$ , où t est le nombre de périodes.
- Remarque: Si r et t n'utilisent pas la même unité de temps, utilisez la formule $A_{f}=a_{0}(1+{\frac {r}{n}})^{{nt}}$ , où n est le nombre de fois que la croissance est calculée par période. Par exemple, si r = 0,05 par mois et t = 4 ans, utilisez n = 12, puisqu'il y a douze mois dans une année.
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Réécrivez cette formule pour une croissance continue. Dans la plupart des situations du monde réel, une quantité augmente «en continu» au lieu d'augmenter uniquement à intervalles réguliers. Dans ce cas, la formule de croissance est Af=A0(e)rt{\displaystyle A_{f}=A_{0}(e)^{rt}} $A_{f}=a_{0}(e)^{{rt}}$ , en utilisant la constante mathématique e.
- Cette formule est souvent utilisée pour approximer la croissance démographique, et toujours lors du calcul des intérêts composés en continu. Dans les situations où la croissance est calculée à intervalles réguliers, comme les intérêts composés annuellement, la formule ci-dessus est plus précise.
- Vous pouvez le déduire de la formule de celle ci-dessus en utilisant des concepts de calcul.
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Branchez les valeurs pour une population doublée. Lorsque la population double, le montant final Af{\displaystyle A_{f}} $Un F}$ sera égal au double du montant initial, soit 2A0{\displaystyle 2A_{0}} $2a_{0}$ . Branchez ceci dans la formule et supprimez tous les termes A en utilisant l'algèbre:
- $2a_{0}=a_{0}(e)^{{rt}}$
- Divisez les deux côtés par $A_{0}$
- $2=e^{{rt}}$
Avec un court «temps de doublement» ou le temps nécessaire pour que la quantité augmente, même une petite quantité peut rapidement devenir énorme.
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Réorganiser pour résoudre pour t. Si vous n'avez pas encore appris les logarithmes, vous ne savez peut-être pas comment extraire le t de l'exposant. Le terme logm(n){\displaystyle log_{m}(n)} $Log_{m}(n)$ signifie «l'exposant m est augmenté de pour obtenir n». Parce que la constante e revient si souvent dans des situations du monde réel, il existe un terme spécial «log naturel», abrégé «ln», qui signifie loge{\displaystyle log_{e}} $Log_{e}$ . Utilisez ceci pour isoler t d'un côté de l'équation:
- $2=e^{{rt}}$
- $Ln(2)=ln(e^{{rt}})$
- $Ln(2)=rt$
- ${\frac {ln(2)}{r}}=t$
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Branchez le taux de croissance et résolvez. Vous pouvez maintenant résoudre t en entrant le taux de croissance décimal r dans cette formule. Notez que ln(2) est approximativement égal à 0,69. Une fois que vous avez converti le taux de croissance de la forme décimale en pourcentage, vous pouvez arrondir cette valeur pour obtenir la formule de la "règle de 70".
- Maintenant que vous connaissez cette formule, vous pouvez l'ajuster pour résoudre des problèmes similaires. Par exemple, trouvez "tripling time" avec la formule $T_{{triple}}={\frac {ln(3)}{r}}$ .

Conseils

Certains investissements financiers fluctuent à la hausse et à la baisse au lieu de croître à un rythme régulier. Afin de les comparer à d'autres options, les investisseurs utilisent la formule du taux de croissance annuel composé (TCAC): $({\frac {a_{f}}{a_{0}}})^{{{\frac {1}{t}}}}-1$ . La réponse vous indique quel serait le taux de croissance exponentiel si la croissance était stable. Notez que ce taux de croissance est sous forme décimale.

Il n'y a pas de temps de doublement constant pour le taux de croissance linéaire, mais vous pouvez résoudre le problème du temps de doublement pour un moment spécifique.
Si la croissance se produit à un taux constant quelle que soit la taille totale (comme "5 personnes par an" au lieu d'un pourcentage), n'utilisez pas la méthode ci-dessus. Décrivez ce modèle de croissance linéaire comme $A_{t}=a_{0}+rt$ , où $À}$ est le montant au temps t, $A_{0}$ est le montant au temps 0, r est le taux de croissance constant et t est le temps écoulé. Il n'y a pas de temps de doublement constant pour le taux de croissance linéaire, mais vous pouvez résoudre le problème du temps de doublement pour un moment spécifique. Définir $À}$ égal à $2a_{0}$ et résoudre pour t. Votre réponse ne sera vraie que pour cette valeur spécifique de $A_{0}$ .

Mises en garde

Certains guides utilisent plutôt la formule 0,7 ÷ taux de croissance. C'est la formule correcte lorsque le taux de croissance est exprimé en nombre décimal. Assurez-vous de ne pas confondre cela avec la formule ci-dessus (70 ÷ de taux de croissance en pourcentage), ou votre réponse sera erronée d'un facteur 100.

Lisez aussi: Comment faire un arbre à facteurs?

Comment calculer le temps de doublement?

Pas

Méthode 1 sur 2: estimation du temps de doublement avec la règle de 70

Méthode 2 sur 2: dérivation de la formule de la «règle des 70»

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