Comment comprendre les bases des matrices?
La matrice résultante a des dimensions dim(C) = mxp, elle n'a donc pas la même taille que les matrices de départ (à moins que vous ne multipliiez des matrices carrées).
Une matrice - rien à voir avec "The Matrix" - est un tableau de nombres. Ils sont très utiles dans de nombreux domaines. Ils sont couramment utilisés en physique - l'existence de l'antimatière a d'abord été théorisée par des matrices. ils apparaissent également beaucoup dans les graphiques vectoriels, car les matrices peuvent être utilisées pour appliquer des transformations à un ensemble de vecteurs.
- 1Comprendre ce qu'est une matrice. Une matrice est un ensemble de nombres, appelés éléments, disposés en rectangle ou en carré. Les nombres n'ont pas besoin d'être positifs, et ils peuvent être des nombres décimaux ou même des nombres complexes. Une matrice carrée est, comme son nom l'indique, une matrice de forme carrée, avec le même nombre de colonnes et de lignes. En algèbre, une matrice est généralement représentée par une majuscule en gras ou soulignée. Les nombres dans une matrice sont entourés d'accolades carrées (ou courbes, parfois, mais pas bouclées).
- 2Apprenez ce que signifie la dimension d'une matrice. La dimension de la matrice A, dim(A), est le nombre de lignes et de colonnes qu'elle possède. dim(A) = mxn représente une matrice avec m lignes et n colonnes.
- 3Apprenez à multiplier une matrice par un scalaire. Pour multiplier une matrice par un scalaire, multipliez tous les éléments par le scalaire.
- 4Apprenez à additionner et soustraire deux matrices. Ajoutez ou soustrayez simplement les éléments pertinents. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions si vous devez les additionner ou les soustraire. En d'autres termes, A + B et A - B existent si et seulement si dim(A) = dim(B).
Une matrice scalaire est une matrice carrée multiple de la matrice identité. - 5Apprenez que la multiplication matricielle a quelques bizarreries qui ne se trouvent pas dans la multiplication scalaire:
- Vous ne pouvez multiplier deux matrices A x B que si dim(A) = mxn et dim(B) = nxp
- A x B n'est pas la même chose que B x A.
- La matrice résultante a des dimensions dim(C) = mxp, elle n'a donc pas la même taille que les matrices de départ (à moins que vous ne multipliiez des matrices carrées).
- Si A x B est possible, B x A n'est possible que si m = p
- Cependant, en commun avec la multiplication scalaire, A x(B x C) = (A x B)x C, et A x(B + C) = A x B + A x C
- 6Apprenez à multiplier deux matrices. Cela peut être un peu délicat jusqu'à ce que vous le compreniez. Pour A x B:
- Dessinez les matrices dans une grille, comme celle à gauche de la photo. A va à gauche et B va en haut.
- Pour chaque élément de la matrice résultante, considérez la colonne et la ligne dans lesquelles il se trouve.
- Multipliez le premier élément de la ligne par le premier élément de la colonne. Faites cela pour les deuxièmes éléments, et le troisième, et ainsi de suite.
- Additionnez les produits des éléments. Il s'agit de la valeur de l'élément dans la matrice résultante.
- Faites cela pour chaque élément de la matrice résultante.
- 7Apprenez ce qu'est un "mineur". Le mineur d'un élément d'une matrice est le déterminant de la matrice qui reste lorsque vous effacez la ligne et la colonne contenant cet élément.
- 8Apprenez à calculer le déterminant. C'est une valeur qui est utilisée dans le calcul de l'inverse d'une matrice. Il est généralement écrit sous la forme det(A) ou | A |. Si vous voyez une matrice avec des lignes au lieu de crochets, cela signifie le déterminant de cette matrice. Le déterminant n'existe que pour les matrices carrées. Pour une matrice 2x2, le déterminant est simplement ad-bc. Pour une matrice 3x3, c'est un peu plus délicat: ax minor(a) - bx minor(b) + cx minor(c)
- 9Apprenez ce qu'est un "cofacteur". Un cofacteur d'un élément est lié au mineur de cet élément. Vous devez connaître la position de l'élément dans la matrice. Supposons que l'élément se trouve dans la première ligne et la deuxième colonne. Sa position est 12. Pour un élément à la position i,j, calculez (-1) (i+j). Le cofacteur est le mineur multiplié par cette valeur.
Une matrice carrée est, comme son nom l'indique, une matrice de forme carrée, avec le même nombre de colonnes et de lignes. - 10Apprenez à faire la transposition d'une matrice. La transposée d'une matrice, A T, est la matrice que vous obtenez lorsque vous retournez A autour de son axe diagonal. Les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes.
- 11En savoir plus sur la matrice d'identité, I. Il s'agit d'une matrice avec des 1 le long de l'axe diagonal et des zéros ailleurs. Cela se traduit par quelques endroits:
- A x I = I x A = A
- A x A -1 = je
- 12Enfin, apprenez à prendre l'inverse d'une matrice. L'inverse d'une matrice, A -1, inverse l'effet de la matrice A. Multiplier les deux ensemble les annule, laissant la matrice identité. Pour prendre l'inverse:
- Calculer | A |
- Calculer le cofacteur de chaque élément de la matrice.
- Remplacez chaque élément de la matrice par son cofacteur. Il s'agit de la matrice C.
- A -1 = C T /| A |
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Questions et réponses
- A quoi servent les matrices et comment les utilisez-vous? (Veuillez expliquer en termes simples, je ne suis pas un mathématicien avancé.)Pour comprendre ce que sont les matrices, vous devez d'abord comprendre ce que sont les systèmes d'équations. Les systèmes d'équations sont des équations multiples avec plusieurs variables comme x et y, et lorsque vous les résolvez, vous obtenez l'intersection entre toutes les équations. Les matrices ne sont qu'une autre façon de représenter les systèmes d'équations en utilisant uniquement les coefficients de vos équations, c'est-à-dire les nombres qui précèdent vos variables. Par exemple: x+y = 2 3x+5y =7 peut être représenté par: |1 1 2| |3 5 7|
- Comment attribuer des signes dans un inverse de 33 matrices?Vous pouvez le calculer avec des cofacteurs, ou vous pouvez vous souvenir de la règle des signes alternatifs: le premier élément est positif, le deuxième est négatif, le troisième est positif et cetera.
- Qu'est-ce qu'une matrice scalaire?Une matrice scalaire est une matrice carrée multiple de la matrice identité. En d'autres termes, les valeurs sur la diagonale principale ont toutes le même nombre, et toute autre valeur non sur la diagonale principale est zéro.
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