Comment ajouter ou soustraire des vecteurs?
Si vous devez ajouter ou soustraire des vecteurs avec des composants connus, exprimez le vecteur en variables. Selon que le vecteur est 1, 2 ou 3 dimensions, vous étiqueteriez le vecteur comme x; x et y; ou x, y et z. Pour ajouter 2 vecteurs, ajoutez chacun des composants ou soustrayez-les si vous soustrayez les vecteurs. Par exemple, pour ajouter des vecteurs 2D, il vous suffit d'ajouter les deux composants x et les deux composants y ensemble. Écrivez le résultat sous la forme d'un nouveau vecteur. Continuez votre lecture pour apprendre à utiliser la méthode tête-à-queue pour ajouter et soustraire des vecteurs!
Pour ajouter 2 vecteurs, ajoutez chacun des composants ou soustrayez-les si vous soustrayez les vecteurs.
De nombreuses quantités physiques courantes sont souvent des vecteurs ou des scalaires. Les vecteurs s'apparentent à des flèches et se composent d'une grandeur positive (longueur) et surtout d'une direction. d'autre part, les scalaires ne sont que des valeurs numériques parfois éventuellement négatives. Notez que bien que les amplitudes vectorielles soient positives ou peut-être nulles, les composantes des vecteurs peuvent bien sûr être négatives indiquant un vecteur dirigé contrairement à la direction des coordonnées ou de référence. Exemples de vecteurs: force, vitesse, accélération, déplacement, poids, champ magnétique, etc. Exemples de scalaires: masse, température, vitesse, distance, énergie, tension, charge électrique, pression dans un fluide, etc. Alors que les scalaires peuvent être ajoutés directement comme des nombres (par exemple 5 kJ de travail plus 6kJ égale 11kJ; ou 9 volts plus moins 3 volts donne 6 volts: +9v plus -3v donne + 6v), les vecteurs sont légèrement plus compliqués à ajouter ou à soustraire, bien que les vecteurs colinéaires soient faciles et se comportent comme l'addition de nombres qui peuvent être négatifs. Voir ci-dessous plusieurs façons d'aborder l'addition et la soustraction de vecteurs.
Méthode 1 sur 3: ajouter et soustraire des vecteurs avec des composants connus
- 1Exprimez un vecteur en termes de composants dans un système de coordonnées généralement x, y et éventuellement z dans un espace habituel à 2 ou 3 dimensions (une dimensionnalité plus élevée est également possible dans certaines situations mathématiques). Ces éléments constitutifs sont généralement exprimés avec une notation similaire à celle utilisée pour décrire des points dans un système de coordonnées (par exemple <x,y,z>, etc.). Si ces éléments sont connus, l'ajout ou la soustraction de vecteurs n'est qu'une simple addition ou soustraction des composantes x, y et z.
- Notez que les vecteurs peuvent être à 1, 2 ou 3 dimensions. Ainsi, les vecteurs peuvent avoir une composante x, une composante x et y, ou une composante x, y et z.
- Disons que nous avons deux vecteurs tridimensionnels, le vecteur A et le vecteur B. Nous pourrions écrire ces vecteurs en composants comme A = <Ax,Ay,Az > et B = <Bx,By,Bz>, en utilisant les composants xyz en conséquence.
- 2Pour ajouter deux vecteurs, nous ajoutons simplement leurs composants. En d'autres termes, ajoutez la composante x du premier vecteur à la composante x du second et ainsi de suite pour y et z. Les réponses que vous obtenez en ajoutant les composants x, y et z de vos vecteurs d'origine sont les composants x, y et z de votre nouveau vecteur.
- En termes généraux, A+b = <Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz>.
- Ajoutons deux vecteurs A et B. Exemple: A = <5, 9, -10> et B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2> ou <22, 6, -12>.
- 3Pour soustraire deux vecteurs, soustrayez leurs composantes. Notez que soustraire un vecteur d'un autre AB peut être considéré comme l'ajout de "l'inverse" de ce second A+(-B).
- En termes généraux, Ab = <Ax-Bx,Ay-By,Az-Bz>
- Soustrayons deux vecteurs A et B. A = <18, 5, 3> et B = <10, 9, -10>. A - B = <18-10, 5-9, 3-(-10)> ou <8, -4, 13>.
Si vous devez ajouter ou soustraire des vecteurs avec des composants connus, exprimez le vecteur en variables.
Méthode 2 sur 3: ajouter et soustraire visuellement en utilisant la méthode tête-à-queue
- 1Représentez visuellement les vecteurs en les dessinant avec une tête et une queue. Puisque les vecteurs ont une magnitude et une direction, ils sont comparés à des flèches avec une queue et une tête et une longueur. On peut dire que les vecteurs ont un "point de départ" et un "point d'arrivée". Le "point pointu" de la flèche est la tête du vecteur et la "base" de la flèche est la queue.
- Lorsque vous faites un dessin à l'échelle d'un vecteur, vous devez prendre soin de mesurer et de dessiner tous les angles avec précision. Des angles mal dessinés conduiront à de mauvaises réponses.
- 2Pour ajouter 2 vecteurs, dessinez le deuxième vecteur B de manière à ce que sa queue rencontre la tête du premier A. C'est ce qu'on appelle joindre vos vecteurs "tête à queue". Si vous n'ajoutez que deux vecteurs, c'est tout ce que vous aurez à faire avant de trouver votre vecteur résultant A+B. Le vecteur B peut avoir besoin d'être glissé en position sans modifier son orientation, appelé transport parallèle.
- Notez que l'ordre dans lequel vous joignez les vecteurs n'est pas important. Vecteur A + Vecteur B = Vecteur B + Vecteur A
- 3Pour soustraire, ajoutez le "négatif" du vecteur. Soustraire des vecteurs visuellement est assez simple. Inversez simplement la direction du vecteur mais gardez sa magnitude la même et ajoutez-le à votre vecteur tête-bêche comme vous le feriez normalement. En d' autres termes, pour soustraire un vecteur, tourner le vecteur 180 o autour et ajouter.
- 4Si vous ajoutez ou soustrayez plus de deux vecteurs, joignez tous les autres vecteurs tête-bêche dans l'ordre. En fait, l'ordre dans lequel vous joignez les vecteurs n'a pas d'importance. Cette méthode peut être utilisée pour un nombre quelconque de vecteurs.
- 5Pour obtenir le résultat: Dessinez un nouveau vecteur de la queue du premier vecteur à la tête du dernier. Que vous additionniez/soustrayez deux vecteurs ou cent, le vecteur qui s'étend du point de départ d'origine (la queue de votre premier vecteur) au point final de votre vecteur ajouté final (la tête de votre dernier vecteur) est le vecteur résultant, ou la somme de tous vos vecteurs. Notez que ce vecteur est identique au vecteur obtenu en ajoutant séparément les composantes x,y et peut-être z de tous les vecteurs.
- Si vous avez dessiné tous vos vecteurs à l'échelle, en mesurant exactement tous les angles, vous pouvez trouver la magnitude du vecteur résultant en mesurant sa longueur. Vous pouvez également mesurer l'angle que fait la résultante avec un vecteur spécifié ou l'horizontale/verticale, etc. pour trouver sa direction.
- Si vous n'avez pas dessiné tous les vecteurs à l'échelle, vous devrez probablement calculer l'amplitude du résultat à l'aide de la trigonométrie. Vous pouvez trouver la règle Sine et la règle Cosinus utiles ici. Si vous ajoutez plus de deux vecteurs ensemble, il est utile d'en ajouter d'abord deux, puis d'ajouter leur résultat avec le troisième vecteur, et ainsi de suite. Voir la section suivante pour plus d'informations.
- 6Représentez votre vecteur résultant par sa magnitude et sa direction. Les vecteurs sont définis par leur longueur et leur direction. Comme indiqué ci-dessus, en supposant que vous ayez dessiné vos vecteurs avec précision, la magnitude de votre nouveau vecteur est sa longueur et sa direction est son angle par rapport à la verticale, à l'horizontale, etc. Utilisez les unités de vos vecteurs ajoutés ou soustraits pour choisir les unités de votre vecteur résultant ordre de grandeur.
- Par exemple, si les vecteurs que nous avons ajoutés représentaient des vitesses en ms -1, nous pourrions définir notre vecteur résultant comme "une vitesse de x ms -1 à y o par rapport à l'horizontale".
Par exemple, pour ajouter des vecteurs 2D, il vous suffit d'ajouter les deux composants x et les deux composants y ensemble.
Méthode 3 sur 3: ajouter et soustraire des vecteurs en trouvant des composants
- 1Utilisez la trigonométrie pour trouver les composants d'un vecteur. Pour trouver les composantes d'un vecteur, il est généralement nécessaire de connaître sa magnitude et sa direction par rapport à l'horizontale ou à la verticale et d'avoir une connaissance pratique de la trigonométrie. Prenons d'abord un vecteur 2D: définissez ou imaginez votre vecteur comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont parallèles aux axes x et y. Ces deux côtés peuvent être considérés comme des vecteurs de composants tête-bêche qui s'ajoutent pour créer votre vecteur d'origine.
- Les longueurs des deux côtés sont égales aux magnitudes des composantes x et y de votre vecteur et peuvent être calculées à l'aide de la trigonométrie. Si x est l'amplitude du vecteur, le côté adjacent à l'angle du vecteur (par rapport à l'horizontale, à la verticale, etc.) est xcos(θ), tandis que le côté opposé est xsin(θ).
- Il est également important de noter la direction de vos composants. Si le composant pointe dans la direction négative de l'un de vos axes, il reçoit un signe négatif. Par exemple, dans un plan 2D, si un composant pointe vers la gauche ou vers le bas, il reçoit un signe négatif.
- Par exemple, disons que nous avons un vecteur avec une magnitude de 3 et une direction de 135 o par rapport à l'horizontale. Avec cette information, nous pouvons déterminer que sa composante x est 3cos(135) = -2,12 et sa composante y est 3sin(135) = 2,12
- 2Ajoutez ou soustrayez les composants correspondants de deux ou plusieurs vecteurs. Lorsque vous avez trouvé les composantes de tous vos vecteurs, additionnez simplement leurs magnitudes pour trouver les composantes de votre vecteur résultant. Tout d'abord, additionnez toutes les amplitudes des composantes horizontales (celles parallèles à l'axe des x). Séparément, additionnez toutes les amplitudes des composantes verticales (celles parallèles à l'axe des y). Si un composant a un signe négatif (-), sa magnitude est soustraite plutôt que ajoutée. Les réponses que vous obtenez sont les composantes de votre vecteur résultant.
- Par exemple, disons que notre vecteur de l'étape précédente, <-2,12, 2,12>, est ajouté au vecteur <5,78, -9>. Dans ce cas, notre vecteur résultant serait <-2,12+5,78, 2,12-9>, ou <3,66, -6,88>.
- 3Calculer la magnitude du vecteur résultant en utilisant le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore, c 2 =a 2 +b 2, résout les longueurs des côtés des triangles rectangles. Puisque le triangle formé par notre vecteur résultant et ses composants est un triangle rectangle, nous pouvons l'utiliser pour trouver la longueur de notre vecteur et donc sa magnitude. Avec c comme amplitude du vecteur résultant que vous recherchez, définissez a comme amplitude de sa composante x et b comme amplitude de ses composantes y. Résoudre avec l'algèbre.
- Pour trouver la magnitude du vecteur dont nous avons trouvé les composantes à l'étape précédente, <3,66, -6,88>, utilisons le théorème de Pythagore. Résolvez comme suit:
- c 2 =(3,66) 2 +(-6,88) 2
- c 2 =13,40+47,33
- c=√60,73 = 7,79
- Pour trouver la magnitude du vecteur dont nous avons trouvé les composantes à l'étape précédente, <3,66, -6,88>, utilisons le théorème de Pythagore. Résolvez comme suit:
- 4Calculer la direction de la résultante avec la fonction tangente. Enfin, trouvez la direction du vecteur résultant. Utilisez la formule θ=tan -1 (b/a), où est l'angle que fait la résultante avec l'axe des x ou l'horizontale, b est l'amplitude de la composante y et a est l'amplitude de la composante x.
- Pour trouver la direction de notre exemple de vecteur, utilisons θ=tan -1 (b/a).
- =tan -1 (-6,82,67,66)
- =tan -1 (-1,88)
- =-61,99 o
- Pour trouver la direction de notre exemple de vecteur, utilisons θ=tan -1 (b/a).
- 5Représentez votre vecteur résultant par sa magnitude et sa direction. Comme indiqué ci-dessus, les vecteurs sont définis par leur amplitude et leur direction. Assurez-vous d'utiliser les unités appropriées pour la magnitude de votre vecteur.
- Par exemple, si notre exemple de vecteur représentait une force (en Newtons), alors nous pourrions l'écrire comme "une force de 7,79 N à -61,99 o par rapport à l'horizontale".
Les réponses que vous obtenez en ajoutant les composants x, y et z de vos vecteurs d'origine sont les composants x, y et z de votre nouveau vecteur.
- Les vecteurs de colonne peuvent être ajoutés ou soustraits en ajoutant ou en soustrayant simplement les valeurs de chaque ligne.
- Les vecteurs représentés sous la forme x i + y j + z k peuvent être ajoutés ou soustraits en ajoutant ou en soustrayant simplement les coefficients des trois vecteurs unitaires. La réponse sera également sous la forme i,j,k.
- Les vecteurs ne doivent pas être confondus avec les grandeurs.
- Vous pouvez trouver la magnitude d'un vecteur en trois dimensions en utilisant la formule a 2 =b 2 +c 2 +d 2, où a est la magnitude du vecteur et b, c et d sont les composantes dans chaque direction.
- Des vecteurs dans la même direction peuvent être ajoutés ou soustraits en ajoutant ou en soustrayant leurs amplitudes. Si vous ajoutez deux vecteurs dans des directions opposées, leurs amplitudes sont soustraites et non ajoutées.
Questions et réponses
- Je pensais que l'un des processus d'ajout de vecteurs était la multiplication croisée?Le produit croisé est un type de multiplication, et non d'addition, qui se rapporte à cet article.
- Comment ajouter six vecteurs ou plus?L'ajout de n vecteurs est facile car les vecteurs obéissent au principe de superposition. Ajoutez simplement leurs composants.
- Après avoir changé la direction du deuxième vecteur, dois-je ensuite ajouter les deux composants ou les soustraire?Si vous avez inversé le deuxième vecteur, vous pouvez maintenant ajouter les composantes du premier vecteur et du deuxième vecteur inversé afin d'obtenir la différence. Ceci est similaire à la façon dont l'ajout d'un nombre négatif revient à soustraire une version positive de ce nombre, par exemple 2 - 1 = 2 + (-1) = 1.
- Pour soustraire un vecteur avec la méthode tête-à-queue, dois-je modifier uniquement le premier vecteur ou les deux dans une équation?Juste la seconde. Vous utilisez ab = a + (-b) afin que vous puissiez utiliser la version d'addition de la méthode tête-à-queue sur a et (-b). Ici, a est inchangé et (-b) est le même vecteur que b sauf que ses extrémités tête et queue sont interverties.
- Comment puis-je trouver la résultante si les angles ne sont pas donnés et que seules les magnitudes sont données?S'il s'agit de vecteurs et que vous n'avez aucune autre information sur leur direction, vous ne pouvez pas! Puisque vous ne connaissez pas les angles (ou l'alignement relatif) entre eux, il est possible que les vecteurs s'alignent exactement (auquel cas la résultante a une magnitude égale à la somme de leurs magnitudes), ou qu'ils pointent en face directions (auquel cas la résultante a une amplitude égale à la différence entre leurs amplitudes), ou n'importe où entre les deux. Si vous avez eu un problème comme celui-ci, il n'est pas complètement spécifié.
Les commentaires (3)
- Les images sont plus qu'utiles, elles font clairement passer le message avec exactement les informations dont vous avez besoin.
- Très utile pour résoudre des vecteurs.
- L'explication fluide le rendait facilement compréhensible.
