Comment trouver l'inverse d'une matrice 3x3?

Pour trouver l'inverse d'une matrice 3x3, calculez d'abord le déterminant de la matrice.

Les opérations inverses sont couramment utilisées en algèbre pour simplifier ce qui pourrait autrement être difficile. Par exemple, si un problème vous oblige à diviser par une fraction, vous pouvez plus facilement multiplier par sa réciproque. Il s'agit d'une opération inverse. De même, puisqu'il n'y a pas d'opérateur de division pour les matrices, vous devez multiplier par la matrice inverse. Calculer l'inverse d'une matrice 3x3 à la main est un travail fastidieux, mais qui mérite d'être revu. Vous pouvez également trouver l'inverse à l'aide d'une calculatrice graphique avancée.

Méthode 1 sur 3: créer la matrice adjugée pour trouver la matrice inverse

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Vérifiez le déterminant de la matrice. Vous devez calculer le déterminant de la matrice comme première étape. Si le déterminant est 0, alors votre travail est terminé, car la matrice n'a pas d'inverse. Le déterminant de la matrice M peut être représenté symboliquement par det(M).
- Pour une matrice 3x3, trouvez le déterminant en premier
- Pour revoir la recherche du déterminant d'une matrice, voir Trouver le déterminant d'une matrice 3x3.
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Transposer la matrice d'origine. Transposer signifie refléter la matrice autour de la diagonale principale, ou de manière équivalente, échanger le (i,j)ème élément et le (j,i)ème. Lorsque vous transposez les termes de la matrice, vous devriez voir que la diagonale principale (du haut à gauche vers le bas à droite) est inchangée.
- Une autre façon de penser à la transposition est de réécrire la première ligne en tant que première colonne, la ligne du milieu devient la colonne du milieu et la troisième ligne devient la troisième colonne. Remarquez les éléments colorés dans le diagramme ci-dessus et voyez où les nombres ont changé de position.
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Trouvez le déterminant de chacune des matrices mineures 2x2. Chaque élément de la matrice 3x3 nouvellement transposée est associé à une matrice 2x2" mineure" correspondante. Pour trouver la bonne matrice mineure pour chaque terme, mettez d'abord en surbrillance la ligne et la colonne du terme par lequel vous commencez. Cela devrait inclure cinq termes de la matrice. Les quatre termes restants constituent la matrice mineure.
- Dans l'exemple ci-dessus, si vous voulez la matrice mineure du terme dans la deuxième ligne, première colonne, vous mettez en surbrillance les cinq termes qui se trouvent dans la deuxième ligne et la première colonne. Les quatre termes restants sont la matrice mineure correspondante.
- Trouvez le déterminant de chaque matrice mineure en multipliant les diagonales et en soustrayant, comme indiqué.
- Pour en savoir plus sur les matrices mineures et leurs utilisations, consultez Comprendre les bases des matrices.
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Créer la matrice des cofacteurs. Placez les résultats de l'étape précédente dans une nouvelle matrice de cofacteurs en alignant chaque déterminant matriciel mineur avec la position correspondante dans la matrice d'origine. Ainsi, le déterminant que vous avez calculé à partir de l'élément (11) de la matrice d'origine passe en position (11). Vous devez ensuite inverser le signe des termes alternés de cette nouvelle matrice, en suivant le schéma en «échiquier» illustré.
- Lors de l'attribution de signes, le premier élément de la première ligne conserve son signe d'origine. Le deuxième élément est inversé. Le troisième élément garde son signe d'origine. Continuez avec le reste de la matrice de cette façon. Notez que les signes (+) ou (-) dans le diagramme en damier ne suggèrent pas que le terme final doit être positif ou négatif. Ce sont des indicateurs de maintien (+) ou d'inversion (-) quel que soit le signe que le nombre avait à l'origine.
- Pour une revue des cofacteurs, voir Comprendre les bases des matrices.
- Le résultat final de cette étape est appelé la matrice adjugée de l'original. C'est ce qu'on appelle parfois la matrice adjointe. La matrice d'adjugate est notée Adj(M).
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Divisez chaque terme de la matrice adjugée par le déterminant. Rappelez-vous le déterminant de M que vous avez calculé dans la première étape (pour vérifier que l'inverse était possible). Vous divisez maintenant chaque terme de la matrice par cette valeur. Placez le résultat de chaque calcul à la place du terme d'origine. Le résultat est l'inverse de la matrice d'origine.
- Pour l'exemple de matrice illustré dans le diagramme, le déterminant est 1. Par conséquent, la division de chaque terme de la matrice adjugée donne la matrice adjugée elle-même. (Vous n'aurez pas toujours cette chance.)
- Au lieu de diviser, certaines sources représentent cette étape en multipliant chaque terme de M par 1/det(M). Mathématiquement, ils sont équivalents.

Voir Trouver le déterminant d'une matrice 3x3 — Pour revoir la recherche du déterminant d'une matrice, voir Trouver le déterminant d'une matrice 3x3.

Méthode 2 sur 3: utiliser la réduction de ligne linéaire pour trouver la matrice inverse

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Joindre la matrice d'identité à la matrice d'origine. Écrivez la matrice d'origine M, tracez une ligne verticale à sa droite, puis écrivez la matrice d'identité à sa droite. Vous devriez maintenant avoir ce qui semble être une matrice avec trois rangées de six colonnes chacune.
- Rappelons que la matrice d'identité est une matrice spéciale avec des 1 dans chaque position de la diagonale principale du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, et des 0 dans toutes les autres positions. Pour un examen de la matrice d'identité et de ses propriétés, voir Comprendre les bases des matrices.
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Effectuer des opérations de réduction de rangée linéaire. Votre objectif est de créer la matrice d'identité sur le côté gauche de cette matrice nouvellement augmentée. Lorsque vous effectuez des étapes de réduction de lignes sur la gauche, vous devez systématiquement effectuer les mêmes opérations sur la droite, qui ont commencé comme matrice d'identité.
- N'oubliez pas que les réductions de ligne sont effectuées comme une combinaison de multiplication scalaire et d'addition ou de soustraction de ligne, afin d'isoler les termes individuels de la matrice. Pour une revue plus complète, voir Matrices de réduction de ligne.
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Continuez jusqu'à ce que vous formiez la matrice d'identité. Continuez à répéter les opérations de réduction de ligne linéaire jusqu'à ce que le côté gauche de votre matrice augmentée affiche la matrice d'identité (diagonale de 1, avec les autres termes 0). Lorsque vous avez atteint ce point, le côté droit de votre diviseur vertical sera l'inverse de votre matrice d'origine.
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Écris la matrice inverse. Copiez les éléments apparaissant maintenant sur le côté droit du diviseur vertical en tant que matrice inverse.

Comment puis-je créer une matrice 3x3 sans fractions dans sa forme originale et sa forme inverse?

Méthode 3 sur 3: utiliser une calculatrice pour trouver la matrice inverse

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Sélectionnez une calculatrice avec des capacités matricielles. De simples calculatrices à 4 fonctions ne pourront pas vous aider à trouver directement l'inverse. Cependant, en raison de la nature répétitive des calculs, une calculatrice graphique avancée, telle que la Texas Instruments TI-83 ou TI-86, peut considérablement réduire le travail.
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Entrez votre matrice dans la calculatrice. Tout d'abord, entrez dans la fonction Matrix de votre calculatrice en appuyant sur la touche Matrix, si vous en avez une. Sur les calculatrices Texas Instruments, vous devrez peut-être appuyer sur 2 ^nd Matrix.
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Sélectionnez le sous-menu d'édition. Pour accéder au sous-menu, vous devrez peut-être utiliser les boutons fléchés ou choisir la touche de fonction appropriée en haut du clavier de votre calculatrice, selon la disposition de votre calculatrice.
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Sélectionnez un nom pour votre matrice. La plupart des calculatrices sont équipées pour fonctionner avec de 3 à 10 matrices, étiquetées avec les lettres A à J. En règle générale, choisissez simplement [A] pour travailler avec. Appuyez sur la touche Entrée après avoir fait votre sélection.
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Entrez les dimensions de votre matrice. Cet article se concentre sur les matrices 3x3. Cependant, la calculatrice peut gérer des tailles plus grandes. Entrez le nombre de lignes, puis appuyez sur Entrée, puis sur le nombre de colonnes et sur Entrée.
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Saisissez chaque élément de la matrice. L'écran de la calculatrice affichera une matrice. Si vous travailliez auparavant avec la fonction matrice, la matrice précédente apparaîtra à l'écran. Le curseur mettra en évidence le premier élément de la matrice. Tapez la valeur de la matrice que vous souhaitez résoudre, puis Enter. Le curseur se déplacera automatiquement vers l'élément suivant de la matrice, écrasant tous les nombres précédents.
- Si vous souhaitez saisir un nombre négatif, utilisez le bouton négatif (-) de votre calculatrice et non la touche moins. La fonction matricielle ne lira pas correctement le nombre.
- Si nécessaire, vous pouvez utiliser les touches fléchées de votre calculatrice pour sauter dans la matrice.
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Quittez la fonction matricielle. Après avoir entré toutes les valeurs de la matrice, appuyez sur la touche Quitter (ou 2 ^ème Quit, si nécessaire). Cela vous fera quitter la fonction Matrix et vous ramènera à l'écran d'affichage principal de votre calculatrice.
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Utilisez la touche inverse pour trouver la matrice inverse. Tout d'abord, rouvrez la fonction Matrix et utilisez le bouton Names pour sélectionner l'étiquette de matrice que vous avez utilisée pour définir votre matrice (probablement [A]). Ensuite, appuyez sur la touche inverse de votre calculatrice, x−1{\displaystyle x^{-1}} . Cela peut nécessiter l'utilisation du 2 ^ème bouton, selon votre calculatrice. Votre écran devrait afficher A−1{\displaystyle A^{-1}} $Un^{{-1}}$ . Appuyez sur Entrée et la matrice inverse devrait apparaître sur votre écran.
- N'utilisez pas le bouton ^ de votre calculatrice pour essayer de saisir A^-1 en tant que frappes séparées. La calculatrice ne comprendra pas cette opération.
- Si vous recevez un message d'erreur lorsque vous entrez la clé inverse, il est probable que votre matrice d'origine n'ait pas d'inverse. Vous voudrez peut-être revenir en arrière et calculer le déterminant pour le découvrir.
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Convertissez votre matrice inverse en réponses exactes. Le premier calcul que la calculatrice vous donnera est sous forme décimale. Ceci n'est pas considéré comme "exact" dans la plupart des cas. Vous devez convertir les réponses décimales en forme fractionnaire, si nécessaire. (Si vous êtes très chanceux, tous vos résultats seront des entiers, mais c'est rare.)
- Votre calculatrice a probablement une fonction qui convertira automatiquement les décimales en fractions. Par exemple, à l'aide de la TI-86, entrez la fonction Math, puis sélectionnez Misc, puis Frac et Enter. Les décimales apparaîtront automatiquement sous forme de fractions.
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La plupart des calculatrices graphiques ont également des touches entre crochets (sur la ti-84, c'est 2nd + x et 2nd + -) qui peuvent être utilisées pour saisir une matrice sans utiliser la fonction matricielle. Remarque: La calculatrice ne formatera la matrice qu'après avoir utilisé la touche Entrée/Égale (c'est-à-dire que tout sera sur une ligne et pas joli).

Placez les résultats de l'étape précédente dans une nouvelle matrice de cofacteurs en alignant chaque déterminant matriciel mineur avec la position correspondante dans la matrice d'origine.

Conseils

Vous pouvez suivre ces étapes pour trouver l'inverse d'une matrice qui contient non seulement des nombres mais aussi des variables, des inconnues ou même des expressions algébriques.
Vérifiez que votre résultat est exact, quelle que soit la méthode choisie, en multipliant M par M ^-1. Vous devriez être en mesure de vérifier que M*M ^-1 = M ^-1 *M = I. I est la matrice identité, composée de 1 le long de la diagonale principale et de 0 ailleurs. Sinon, vous avez fait une erreur quelque part.
Notez toutes vos étapes car il est extrêmement difficile de trouver l'inverse d'une matrice 3x3 dans votre tête.
Il existe des programmes informatiques qui calculent pour vous les inverses des matrices, jusqu'à et y compris la taille des matrices 30x30.

Mises en garde

Toutes les matrices 3x3 n'ont pas d'inverse. Si le déterminant de la matrice est égal à 0, alors elle n'a pas d'inverse. (Notez que dans la formule, nous divisons par det(M). La division par zéro n'est pas définie.)

Lisez aussi: Comment faire une chromatographie simple?

Comment trouver l'inverse d'une matrice 3x3?

Pas

Méthode 1 sur 3: créer la matrice adjugée pour trouver la matrice inverse

Méthode 2 sur 3: utiliser la réduction de ligne linéaire pour trouver la matrice inverse

Méthode 3 sur 3: utiliser une calculatrice pour trouver la matrice inverse

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