Comment réduire une matrice à une forme d'échelon de ligne?
Lorsque cela est fait sur une matrice sous forme d'échelon, elle reste sous forme d'échelon.
La forme échelonnée d'une matrice est très utile pour de nombreuses applications. Par exemple, il peut être utilisé pour interpréter géométriquement différents vecteurs, résoudre des systèmes d'équations linéaires et découvrir des propriétés telles que le déterminant de la matrice.
- 1Comprenez ce qu'est la forme en échelons. La forme d'échelon de ligne est l'endroit où la première entrée (première non nulle) de chaque ligne n'a que des zéros en dessous. Ces entrées principales sont appelées pivots, et une analyse de la relation entre les pivots et leurs emplacements dans une matrice peut en dire beaucoup sur la matrice elle-même. Vous trouverez ci-dessous un exemple de matrice sous forme d'échelon de ligne.
- (112013005){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&5\end{pmatrix}}}
- 2Comprendre comment effectuer des opérations élémentaires sur les lignes. Il y a trois opérations de ligne que l'on peut faire sur une matrice.
- Échange de ligne.
- Multiplication scalaire. Toute ligne peut être remplacée par un multiple scalaire différent de zéro de cette ligne.
- Ajout de ligne. Une ligne peut être remplacée par elle-même plus un multiple d'une autre ligne.
- 3Commencez par écrire la matrice à réduire sous forme d'échelon de ligne.
- (111223345){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}}}
- 4Identifiez le premier pivot de la matrice. Les pivots sont essentiels pour comprendre le processus de réduction des rangs. Lors de la réduction d'une matrice sous forme d'échelon de ligne, les entrées sous les pivots de la matrice sont toutes à 0.
- Pour notre matrice, le premier pivot est simplement l'entrée en haut à gauche. En général, ce sera le cas, sauf si l'entrée en haut à gauche est 0. Si c'est le cas, permutez les lignes jusqu'à ce que l'entrée en haut à gauche soit différente de zéro.
- De par leur nature, il ne peut y avoir qu'un seul pivot par colonne et par ligne. Lorsque nous avons sélectionné l'entrée en haut à gauche comme premier pivot, aucune des autres entrées de la colonne ou de la ligne du pivot ne peut devenir un pivot.
Comment trouver le rang d'une matrice par forme d'échelon de ligne? - 5Effectuez des opérations de ligne sur la matrice pour obtenir des 0 en dessous du premier pivot.
- Pour notre matrice, nous voulons obtenir des 0 pour les entrées en dessous du premier pivot. Remplacez la deuxième rangée par elle-même moins la première rangée. Remplacez la troisième rangée par elle-même moins trois fois la première rangée. Ces réductions de lignes peuvent être succinctement écrites comme R2→R2−R1{\displaystyle R_{2}\to R_{2}-R_{1}} et R3→R3−3R1.{\displaystyle R_{3}\to R_{ 3}-3R_{1}.}
- (11201101−1){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}}
- 6Identifiez le deuxième pivot de la matrice. Le deuxième pivot peut être soit l'entrée du milieu, soit l'entrée du bas du milieu, mais il ne peut pas être l'entrée du haut du milieu, car cette ligne contient déjà un pivot. Nous choisirons l'entrée du milieu comme deuxième pivot, bien que le bas du milieu fonctionne tout aussi bien.
- 7Effectuez des opérations de ligne sur la matrice pour obtenir des 0 en dessous du deuxième pivot.
- R3→R3−R2{\style d'affichage R_{3}\à R_{3}-R_{2}}
- (11201100−2){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}}
- Cette matrice est maintenant sous forme d'échelon de ligne.
- 8En général, continuez à identifier vos pivots. Réduisez la ligne de sorte que les entrées sous les pivots soient à 0.
- La réduction d'une matrice sous forme d'échelons de lignes fonctionne avec n'importe quelle taille de matrice, à la fois carrée et rectangulaire.
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Questions et réponses
- Ma réponse sous forme d'échelon de ligne peut-elle différer?Oui, mais il y aura toujours le même nombre de pivots dans les mêmes colonnes, peu importe comment vous le réduisez, tant qu'il est sous forme d'échelon de ligne. Le moyen le plus simple de voir comment les réponses peuvent différer est de multiplier une ligne par un facteur. Lorsque cela est fait sur une matrice sous forme d'échelon, elle reste sous forme d'échelon.
- Comment trouver le rang d'une matrice par forme d'échelon de ligne?Le rang d'une matrice est la dimension de l'espace vectoriel parcouru par les colonnes. Le nombre de pivots est donc égal au rang. Le nombre de lignes non nulles est également égal au rang.
- Pourquoi les opérations de colonne ne sont-elles pas utilisées pour réduire une matrice sous sa forme échelonnée?À un niveau fondamental, les matrices sont des objets contenant les coefficients de différentes variables dans un ensemble d'expressions linéaires. Chaque ligne correspond à une seule expression et chaque colonne correspond à une seule variable. Lors de la résolution d'ensembles d'équations, nous pouvons combiner des équations en ajoutant ou en soustrayant les équations, ou en les multipliant par un facteur; cela n'aurait aucun sens de multiplier les coefficients d'une seule variable dans toutes les équations par un nombre, ou de soustraire le coefficient d'une variable de celui d'une autre variable dans toutes les équations. Par conséquent, nous effectuons des opérations sur les lignes (coefficients dans les expressions), pas sur les colonnes (coefficients des variables).
- Existe-t-il une règle générale établie pour trouver la forme d'échelon de rang réduit?Effectuez simplement les opérations sur les lignes jusqu'à ce qu'il y ait des 0 sous chaque pivot. C'est très simple, il suffit de le pratiquer.
- Dites-moi combien de zéros il doit y avoir d'affilée?L'une des applications de la réduction à la forme d'échelons de rangée fait partie de la résolution d'équations linéaires. Le processus consiste à effectuer les opérations décrites ici sur la matrice de coefficients, tandis que vous effectuez les mêmes opérations sur le vecteur qui correspond au côté droit du système d'équations. Travailler avec des opérations de colonne ne serait pas vraiment reporté sur cette application.
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