Comment trouver l'angle entre deux vecteurs?

Comment puis-je trouver l'angle entre les vecteurs qui font un produit scalaire de zéro?

En mathématiques, un vecteur est tout objet qui a une longueur définissable, connue sous le nom de magnitude et de direction. Étant donné que les vecteurs ne sont pas les mêmes que les lignes ou les formes standard, vous devrez utiliser des formules spéciales pour trouver des angles entre eux.

Partie 1 sur 2: trouver l'angle entre deux vecteurs

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Écrivez la formule du cosinus. Pour trouver l'angle entre deux vecteurs, commencez par la formule pour trouver le cosinus de cet angle. Vous pouvez en apprendre davantage sur cette formule ci-dessous, ou simplement l'écrire:
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || signifie "la longueur du vecteur ${\overrightarrow {u}}$ ."
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ est le produit scalaire (produit scalaire) des deux vecteurs, expliqué ci-dessous.
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Identifier les vecteurs. Notez toutes les informations dont vous disposez concernant les deux vecteurs. Nous supposerons que vous n'avez que la définition du vecteur en termes de ses coordonnées dimensionnelles (également appelées composantes). Si vous connaissez déjà la longueur d'un vecteur (sa magnitude), vous pourrez sauter certaines des étapes ci-dessous.
- Exemple: Le vecteur bidimensionnel ${\overrightarrow {u}}$ = (22). Vecteur ${\overrightarrow {v}}$ = (03). Ceux-ci peuvent également être écrits comme ${\overrightarrow {u}}$ = 2 i + 2 j et ${\overrightarrow {v}}$ = 0 i + 3 j = 3 j.
- Alors que notre exemple utilise des vecteurs bidimensionnels, les instructions ci-dessous couvrent les vecteurs avec un nombre quelconque de composants.
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Calculer la longueur de chaque vecteur. Imaginez un triangle rectangle tiré de la composante x du vecteur, de sa composante y et du vecteur lui-même. Le vecteur forme l'hypoténuse du triangle, donc pour trouver sa longueur, nous utilisons le théorème de Pythagore. Il s'avère que cette formule est facilement étendue aux vecteurs avec un nombre quelconque de composants.
- ||u|| ² = u ₁² + u ₂². Si un vecteur a plus de deux composantes, continuez simplement à ajouter +u ₃² + u ₄² +...
- Par conséquent, pour un vecteur à deux dimensions, ||u|| = (u ₁² + u ₂²).
- Dans notre exemple, || ${\overrightarrow {u}}$ || = (2² + 2²) = √(8) = 2√2. || ${\overrightarrow {v}}$ || = (0² + 3²) = √(9) = 3.
Esquissez une paire de vecteurs 2D sur papier, les vecteurs et, avec un angle entre eux.
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Calculer le produit scalaire des deux vecteurs. Vous avez probablement déjà appris cette méthode de multiplication de vecteurs, également appelée produit scalaire.
Pour calculer le produit scalaire en termes de composantes des vecteurs, multipliez les composantes dans chaque direction ensemble, puis additionnez tous les résultats.
Pour les programmes d'infographie, consultez Conseils avant de continuer.

Trouver un exemple de produit scalaire

En termes mathématiques, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂, où u = (u ₁, u ₂). Si votre vecteur a plus de deux composantes, continuez simplement à ajouter + u ₃ v ₃ + u ₄ v ₄...
Dans notre exemple, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u ₁ contre ₁ + u ₂ contre ₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. C'est le produit scalaire du vecteur ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ .
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Branchez vos résultats dans la formule. Rappelles toi,
cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||).
Vous connaissez maintenant à la fois le produit scalaire et les longueurs de chaque vecteur. Entrez-les dans cette formule pour calculer le cosinus de l'angle.

Trouver le cosinus avec les longueurs de produit scalaire et de vecteur

Dans notre exemple, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / 2 = √2 / 2.
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Trouvez l'angle en fonction du cosinus. Vous pouvez utiliser la fonction Arccos ou Cos ^-1 de votre calculatrice pour
trouver l'angle à partir d'une valeur connue de cos θ.
Pour certains résultats, vous pourrez peut-être calculer l'angle en fonction du cercle unité.

Trouver un angle avec le cosinus

Dans notre exemple, cosθ = √2 / 2. Entrez "arccos(√2 / 2)" dans votre calculatrice pour obtenir l'angle. Alternativement, trouvez l'angle θ sur le cercle unité où cosθ = √2 / 2. Ceci est vrai pour θ = ^π / ₄ ou 45°.
En mettant tout cela ensemble, la formule finale est:
angle θ = arccosinus(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||))

Partie 2 sur 2: définition de la formule d'angle

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Comprenez le but de cette formule. Cette formule n'a pas été dérivée des règles existantes. Au lieu de cela, il a été créé comme une définition du produit scalaire de deux vecteurs et de l'angle entre eux. Cependant, cette décision n'était pas arbitraire. Avec un retour à la géométrie de base, nous pouvons voir pourquoi cette formule aboutit à des définitions intuitives et utiles.
- Les exemples ci-dessous utilisent des vecteurs à deux dimensions car ce sont les plus intuitifs à utiliser. Les vecteurs avec trois composants ou plus ont des propriétés définies avec la formule générale très similaire.
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Revoir la loi des cosinus. Prenons un triangle ordinaire, d'angle entre les côtés a et b, et le côté opposé c. La loi des cosinus stipule que c ² = a ² + b ² -2ab cos (θ). Ceci est dérivé assez facilement de la géométrie de base.

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs, commencez par la formule pour trouver le cosinus de cet angle.
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Reliez deux vecteurs pour former un triangle. Esquissez une paire de vecteurs 2D sur papier, les vecteurs ${\overrightarrow {a}}$ et ${\overrightarrow {b}}$ , avec un angle θ entre eux. Dessinez un troisième vecteur entre eux pour former un triangle. En d'autres termes, tracez le vecteur ${\overrightarrow {c}}$ tel que ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ . Ce vecteur ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ .
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Écris la loi des cosinus pour ce triangle. Insérez la longueur de nos côtés de "triangle vectoriel" dans la loi des cosinus:
- ||(a-b)|| ² = ||a|| ² + ||b|| ² - 2||a|| ||b|| cos (θ)
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Écrivez ceci en utilisant des produits scalaires N'oubliez pas qu'un produit scalaire est le grossissement d'un vecteur projeté sur un autre. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même ne nécessite aucune projection, car il n'y a pas de différence de direction. Cela signifie que a→{\displaystyle {\overrightarrow {a}}} ${\overrightarrow {a}}$ • a→{\displaystyle {\overrightarrow {a}}} ${\overrightarrow {a}}$ = ||a|| ². Utilisez ce fait pour réécrire l'équation:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b|| cos (θ)
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Réécrivez-le dans la formule familière. Développez le côté gauche de la formule, puis simplifiez pour atteindre la formule utilisée pour trouver des angles.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b|| car(θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b|| cos (θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b|| cos (θ)

Conseils

Pour une prise et une résolution rapides, utilisez cette formule pour toute paire de vecteurs à deux dimensions: cos: = (u ₁ • v ₁ + u ₂ • v ₂) / (√(u ₁ ² • u ₂ ²) • √(v ₁ ² • v ₂ ²)).

Pour trouver l'angle entre deux plans non parallèles, vous devez calculer l'angle entre leurs vecteurs normaux correspondants.
Si vous travaillez sur un programme d'infographie, vous ne vous souciez probablement que de la direction des vecteurs, pas de leur longueur. Suivez ces étapes pour simplifier les équations et accélérer votre programme:
- Normalisez chaque vecteur pour que la longueur devienne 1. Pour ce faire, divisez chaque composante du vecteur par la longueur du vecteur.
- Prenez le produit scalaire des vecteurs normalisés au lieu des vecteurs originaux.
- Puisque la longueur est égale à 1, laissez les termes de longueur hors de votre équation. Votre équation finale pour l'angle est arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
Sur la base de la formule du cosinus, nous pouvons rapidement déterminer si l'angle est aigu ou obtus. Commencer par cosθ = ( u→{\displaystyle {\overrightarrow {u}}} ${\overrightarrow {u}}$ • v→{\displaystyle {\overrightarrow {v}}} ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| u→{\displaystyle {\overrightarrow {u}}} ${\overrightarrow {u}}$ || || v→{\displaystyle {\overrightarrow {v}}} ${\overrightarrow {v}}$ ||):
- Les côtés gauche et droit de l'équation doivent avoir le même signe (positif ou négatif).
- Comme les longueurs sont toujours positives, cosθ doit avoir le même signe que le produit scalaire.
- Par conséquent, si le produit scalaire est positif, cosθ est positif. Nous sommes dans le premier quadrant du cercle unité, avec θ < π / 2 ou 90°. L'angle est aigu.
- Si le produit scalaire est négatif, cosθ est négatif. Nous sommes dans le deuxième quadrant du cercle unité, avec π / 2 < θ ≤ π ou 90° < θ ≤ 180°. L'angle est obtus.

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Pas

Partie 1 sur 2: trouver l'angle entre deux vecteurs

Partie 2 sur 2: définition de la formule d'angle

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