Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres?
Les valeurs propres sont immédiatement trouvées, et trouver des vecteurs propres pour ces matrices devient alors beaucoup plus facile.
L'équation matricielle Ax=b{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } implique une matrice agissant sur un vecteur pour produire un autre vecteur. En général, la façon dont A{\displaystyle A} agit sur x{\displaystyle \mathbf {x} } est compliquée, mais il existe certains cas où l'action correspond au même vecteur, multiplié par un facteur scalaire.
Les valeurs propres et les vecteurs propres ont d'immenses applications dans les sciences physiques, en particulier la mécanique quantique, entre autres domaines.
- 1Comprendre les déterminants. Le déterminant d'une matrice detA=0{\displaystyle \det A=0} lorsque A{\displaystyle A} est non inversible. Lorsque cela se produit, l'espace nul de A{\displaystyle A} devient non trivial - en d'autres termes, il existe des vecteurs non nuls qui satisfont l'équation homogène Ax=0.{\displaystyle A\mathbf {x} =0. }
Comment trouver les vecteurs propres d'une matrice 3x3? - 2Écrivez l'équation aux valeurs propres. Comme mentionné dans l'introduction, l'action de A{\displaystyle A} sur x{\displaystyle \mathbf {x} } est simple, et le résultat ne diffère que par une constante multiplicative λ,{\displaystyle \lambda,} appelée la valeur propre. Les vecteurs associés à cette valeur propre sont appelés vecteurs propres.
- Ax=λx{\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }
- On peut remettre l'équation à zéro, et obtenir l'équation homogène. Ci-dessous, I{\displaystyle I} est la matrice d'identité.
- (A−λI)x=0{\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =0}
- 3Mettre en place l'équation caractéristique. Pour que (A−λI)x=0{\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =0} ait des solutions non triviales, l'espace nul de A−λI{\displaystyle A-\lambda I} doit également être non trivial.
- Cela ne peut arriver que si det(A−λI)=0.{\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.} C'est l'équation caractéristique.
- 4Obtenir le polynôme caractéristique. det(A−λI){\displaystyle \det(A-\lambda I)} donne un polynôme de degré n{\displaystyle n} pour n×n{\displaystyle n\times n} matrices.
- Considérez la matrice A=(1432).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&4\\3&2\end{pmatrix}}.}
- |1−λ432−λ|=0(1−λ)(2−λ)−12=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1-\lambda &4\\3&2-\lambda \ end{vmatrix}}&=0\\(1-\lambda)(2-\lambda)-12&=0\end{aligned}}}
- Notez que le polynôme semble à l'envers - les quantités entre parenthèses doivent être variables moins nombre, plutôt que l'inverse. Ceci est facile à gérer en déplaçant le 12 vers la droite et en multipliant par (−1)2{\displaystyle (-1)^{2}} des deux côtés pour inverser l'ordre.
- (λ−1)(λ−2)=12λ2−3λ−10=0{\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda -1)(\lambda -2)&=12\\\lambda ^{2} -3\lambda -10&=0\end{aligned}}}
Ce sont les vecteurs propres associés à leurs valeurs propres respectives. - 5Résoudre le polynôme caractéristique des valeurs propres. C'est, en général, une étape difficile pour trouver des valeurs propres, car il n'existe pas de solution générale pour les fonctions quintiques ou les polynômes supérieurs. Cependant, nous avons affaire à une matrice de dimension 2, donc le quadratique est facilement résolu.
- (λ−5)(λ+2)=0λ=5,−2{\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda -5)(\lambda +2)=0\\&\lambda =5,- 2\end{aligné}}}
- 6Remplacez les valeurs propres dans l'équation des valeurs propres, une par une. Remplaçons d'abord λ1=5{\displaystyle \lambda _{1}=5} .
- (A−5I)x=(−443−3){\displaystyle (A-5I)\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}-4&4\\3&-3\end{pmatrix}}}
- La matrice résultante est évidemment linéairement dépendante. Nous sommes ici sur la bonne voie.
- 7Row-réduire la matrice résultante. Avec des matrices plus grandes, il n'est peut-être pas si évident que la matrice soit linéairement dépendante, et nous devons donc réduire les lignes. Ici, cependant, nous pouvons immédiatement effectuer l'opération de ligne R2→4R2+3R1{\displaystyle R_{2}\to 4R_{2}+3R_{1}} pour obtenir une ligne de 0.
- (-4400){\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&4\\0&0\end{pmatrix}}}
- La matrice ci-dessus dit que −4x1+4x2=0.{\displaystyle -4x_{1}+4x_{2}=0.} Simplifiez et reparamétrez x2=t,{\displaystyle x_{2}=t,} tel qu'il est une variable libre.
Attention, cependant, la réduction de ligne à la forme d'échelon de ligne et l'obtention d'une matrice triangulaire ne vous donnent pas les valeurs propres, car la réduction de ligne modifie les valeurs propres de la matrice en général. - 8Obtenir la base de l'espace propre. L'étape précédente nous a conduit à la base de l'espace nul de A−5I{\displaystyle A-5I} - en d'autres termes, l'espace propre de A{\displaystyle A} avec la valeur propre 5.
- x1=(11){\displaystyle \mathbf {x_{1}} ={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}
- L'exécution des étapes 6 à 8 avec λ2=−2{\displaystyle \lambda _{2}=-2} donne le vecteur propre suivant associé à la valeur propre -2.
- x2=(−43){\displaystyle \mathbf {x_{2}} ={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}}
- Ce sont les vecteurs propres associés à leurs valeurs propres respectives. Pour la base de tout l'espace propre de A,{\displaystyle A,} nous écrivons
- {(11),(−43)}.{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix }}\droite\}.}
- Le déterminant d'une matrice triangulaire est facile à trouver - c'est simplement le produit des éléments diagonaux. Les valeurs propres sont immédiatement trouvées, et trouver des vecteurs propres pour ces matrices devient alors beaucoup plus facile.
- Attention, cependant, la réduction de ligne à la forme d'échelon de ligne et l'obtention d'une matrice triangulaire ne vous donnent pas les valeurs propres, car la réduction de ligne modifie les valeurs propres de la matrice en général.
- On peut diagonaliser une matrice A{\displaystyle A} par une transformation de similarité A=PDP−1,{\displaystyle A=PDP^{-1},} où P{\displaystyle P} est une matrice de changement de base inversible et D{\displaystyle D} est une matrice avec uniquement des éléments diagonaux. Cependant, si A{\displaystyle A} est une matrice n×n{\displaystyle n\times n} , elle doit avoir n{\displaystyle n} valeurs propres distinctes pour qu'elle soit diagonalisable.
- Dans notre cas, A=(1−413)(500−2)(1−413)−1.{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-4\\1&3\end{pmatrix}}{\begin {pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-4\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}.}
- Il y a quelques choses à noter ici. Premièrement, les éléments diagonaux de D{\displaystyle D} sont les valeurs propres que nous avons trouvées. Deuxièmement, les colonnes de P{\displaystyle P} sont l'espace propre de A.{\displaystyle A.} Troisièmement, D{\displaystyle D} est similaire à A{\displaystyle A} dans le sens où elles ont le même déterminant, valeurs propres et trace.
- Lorsque diagonalisation, les eigenbases dans P {\ displaystyle P} qui correspondent à leurs valeurs propres doit aligneront jusqu'à - en d' autres termes, vous devez être conforme à la commande. Dans l'exemple ci-dessus, vous ne pouvez pas changer les colonnes de P{\displaystyle P} sans changer les positions des éléments diagonaux dans D.{\displaystyle D.}
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Questions et réponses
- Comment trouver les vecteurs propres d'une matrice 3x3?Tout d'abord, trouvez les solutions x pour det(A - xI) = 0, où I est la matrice identité et x est une variable. Les solutions x sont vos valeurs propres. Disons que a, b, c sont vos valeurs propres. Résolvez maintenant les systèmes [A - aI | 0], [A - bI | 0], [A - cI | 0]. La base des ensembles de solutions de ces systèmes sont les vecteurs propres.
- Pourquoi remplaçons-nous y par 1 et pas un autre nombre tout en trouvant des vecteurs propres?Pour la simplicité. Les vecteurs propres ne sont définis que jusqu'à une constante multiplicative, donc le choix de définir la constante égale à 1 est souvent le plus simple.
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