Comment Lorentz Booste les ondes électromagnétiques planes?

Effectuer des transformations de Lorentz sur des ondes électromagnétiques (EM) est une application simple des principes de base de la relativité restreinte et de l'électromagnétisme.

Dans cet article, nous considérerons le problème où l'on nous donne le champ électrique se propageant dans la direction z $E_{{x}}(z,t)=e_{{0}}\sin(k(z-ct)),$ où $E_{{0}},k$ sont des constantes positives et $C$ est la vitesse de la lumière.

Pas

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Relier les champs électriques et magnétiques. La grandeur des deux champs ne diffère que par une constante via la relation |E|=c|B|.{\displaystyle |\mathbf {E} |=c|\mathbf {B} |.} $|{\mathbf {e}}|=c|{\mathbf {b}}|.$ On sait aussi que les deux les champs et la direction de propagation doivent être orthogonaux entre eux via B=1ck^×E,{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }} \times \mathbf {E},} ${\mathbf {b}}={\frac {1}{c}}{\hat {{\mathbf {k}}}}\times {\mathbf {e}},$ où k^{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} ${\hat {{\mathbf {k}}}}$ pointe dans la direction de propagation - dans notre cas, la direction z. Ces deux idées suggèrent que le champ magnétique peut être écrit ainsi.
- $Cb_{{y}}=e_{{0}}\sin(k(z-ct))$
Rappelez-vous les transformations de Lorentz pour les champs électriques et magnétiques.
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Rappelez-vous les transformations de Lorentz pour la direction z. Puisque nous ne boostons que dans une direction, nous pouvons ignorer les deux autres dimensions perpendiculaires à la direction de propagation.
- $Ct^{{\prime }}=\gamma (ct-\beta z)$
- $Z^{{\prime }}=\gamma (z-\beta ct)$
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Rappelez-vous les transformations de Lorentz pour les champs électriques et magnétiques. Ces transformations peuvent être dérivées en transformant le tenseur de Faraday. Vous connaissez peut-être l'amplification dans la direction x - dans le cas de la direction z, il suffit d'effectuer une permutation cyclique des composants dans les transformations, car le système de coordonnées peut être choisi arbitrairement. Il convient de noter ici la complexité avec laquelle les deux domaines sont liés sous un coup de pouce Lorentz.
- Champs électriques
  - $E_{{z}}^{{\prime }}=e_{{z}}$
  - $E_{{x}}^{{\prime }}=\gamma (e_{{x}}-\beta cb_{{y}})$
  - $E_{{y}}^{{\prime }}=\gamma (e_{{y}}+\beta cb_{{x}})$
- Champs magnétiques
  - $Cb_{{z}}^{{\prime }}=cb_{{z}}$
  - $Cb_{{x}}^{{\prime }}=\gamma (cb_{{x}}+\beta e_{{y}})$
  - $Cb_{{y}}^{{\prime }}=\gamma (cb_{{y}}-\beta e_{{x}})$
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Lorentz augmente le champ électrique. La première étape pour écrire une expression pour le champ électrique amplifié consiste simplement à écrire Ex′.{\displaystyle E_{x}^{\prime }.} $E_{{x}}^{{\prime }}.$
- ${\begin{aligned}e_{{x}}^{{\prime }}and=\gamma (e_{{x}}-\beta cb_{{y}})\\and=\gamma [e_{{ 0}}\sin(k(z-ct))-\beta e_{{0}}\sin(k(z-ct))]\\and=\gamma (1-\beta)e_{{0} }\sin(k(z-ct))\end{aligned}}$
Les champs électriques et magnétiques amplifiés peuvent donc être écrits comme tels.
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Trouvez $Z CT$ en termes de frame boosté. Bien que le champ électrique ci-dessus soit vrai, il est incomplet, car nous voulons écrire toutes les quantités en termes de trame amplifiée. Cette étape nécessite que vous écriviez les transformations de Lorentz de l'étape 2 sous forme inverse.
- $Ct=\gamma (ct^{{\prime }}+\beta z^{{\prime }})$
- $Z=\gamma (z^{{\prime }}+\beta ct^{{\prime }})$
- ${\begin{aligned}z-ctand=\gamma (z^{{\prime }}+\beta ct^{{\prime }})-\gamma (ct^{{\prime }}+\beta z^ {{\prime }})\\and=\gamma (z^{{\prime }}+\beta ct^{{\prime }}-ct^{{\prime }}-\beta z^{{\ premier }})\\and=\gamma (z^{{\prime }}(1-\beta)+ct^{{\prime }}(1-\beta))\\and=\gamma (1- \beta)(z^{{\prime }}-ct^{{\prime }})\end{aligned}}$
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Remplacez l'expression par le champ électrique amplifié. Par les relations établies à l'étape 1, l'amplitude de la quantité ci-dessous est également égale au champ magnétique cBy′.{\displaystyle cB_{y}^{\prime }.} $Cb_{{y}}^{{\prime }}.$
- $E_{{x}}^{{\prime }}=\gamma (1-\beta)e_{{0}}\sin[k\gamma (1-\beta)(z^{{\prime }}- ct^{{\prime }})]$
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Écrivez en termes de facteur doppler. La quantité γ(1−β){\displaystyle \gamma (1-\beta)} $\gamma (1-\beta)$ peut être simplifiée à l'inverse du facteur Doppler. Nous utilisons la relation γ=11−β2{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}} $\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-\beta ^{{2}}}}}}$ ci-dessous.
- ${\begin{aligned}\gamma (1-\beta)and={\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta ^{{2}}}}}}\\and={\ frac {{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}{{\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}\\{\ frac {1}{\kappa }}et={\sqrt {{\frac {1-\beta }{1+\beta }}}}\end{aligned}}$
- Ci-dessus, κ=1+β1−β{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}} $\kappa ={\sqrt {{\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}$ (notez que le signe change) est le facteur Doppler - le facteur par dont la longueur d' onde détectée par un observateur change par rapport à la source. Cela a un sens intuitif dans le problème décrit dans cet article, car nous avions affaire à des ondes planes, ce n'est donc pas une surprise que le facteur Doppler devrait apparaître. Les champs électriques et magnétiques amplifiés peuvent donc être écrits comme tels.
  - $E_{{x}}^{{\prime }}=cb_{{y}}^{{\prime }}={\frac {1}{\kappa }}e_{{0}}\sin \left({\frac {k}{\kappa }}(z^{{\prime }}-ct^{{\prime }})\right)$
- Nous voyons clairement maintenant comment les champs électriques et magnétiques se transforment - les amplitudes deviennent plus petites (intensité diminuée) et les fréquences deviennent plus petites, correspondant à des longueurs d'onde plus longues (décalage vers le rouge).

Car nous voulons écrire toutes les quantités en termes de trame amplifiée — Bien que le champ électrique ci-dessus soit vrai, il est incomplet, car nous voulons écrire toutes les quantités en termes de trame amplifiée.

Conseils

Nous pouvons également trouver des quantités apparentées dans le cadre boosté, comme le vecteur de Poynting ${\mathbf {s}}^{{\prime }}={\frac {1}{\mu _{{0}}}}({\mathbf {e}}^{{\prime }}\times { \mathbf {b}}^{{\prime }})$ et la densité d'énergie $U_{{em}}^{{\prime }}={\frac {1}{2}}\epsilon _{{0}}e^{{\prime 2}}+{\frac {1}{2 \mu _{{0}}}}b^{{\prime 2}},$ car aucun référentiel inertiel n'est préféré. L'évaluation du vecteur Poynting dans le cadre amplifié devrait produire un résultat en accord avec la direction de propagation, car le vecteur Poynting représente la densité de flux d'énergie.

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