Comment dériver l'addition des vitesses en relativité restreinte?

Avec le contrôle que la relativité restreinte garantit que toutes les vitesses sont inférieures à la vitesse — Bien sûr, avec le contrôle que la relativité restreinte garantit que toutes les vitesses sont inférieures à la vitesse de la lumière vient le contrôle que la relativité galiléenne ajoute incorrectement les vitesses.

La relativité restreinte est une théorie d'Albert Einstein qui remplace la mécanique newtonienne. C'est une conséquence directe des découvertes de l'électromagnétisme au 19ème siècle, qui prédisaient la vitesse de la lumière. Son affirmation de l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide fait que la théorie postule des conséquences hautement non intuitives, dont l'une est la non-linéarité de l'addition de vitesse.

Obtenir l'addition des vitesses en relativité restreinte.

Cet article travaillera dans une dimension spatiale et une dimension temporelle (1+1).

Partie 1 sur 2: dérivation

1
Commencez par les transformations de Lorentz. Lors de l'amplification dans la direction x{\displaystyle x} $X$ , les composants y{\displaystyle y} $Oui$ et z{\displaystyle z} $Z$ ne sont pas affectés.
- ${\begin{aligned}ct^{{\prime }}et=\gamma (ct-\beta x)\\x^{{\prime }}et=\gamma (x-\beta ct)\end{aligned }}$
- Ici, $\beta ={\frac {v}{c}}$ et $\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}}},$ le facteur de Lorentz. Le choix des variables avec la mise à l'échelle de la dimension du temps en unités de distance permet à la symétrie de l'espace-temps de briller.
- Cependant, il y a des signes négatifs dans les transformations données. Par souci de cohérence avec la réponse finale, nous utiliserons les transformations inverses de Lorentz. Les seules différences sont l'échange des symboles premiers et le changement de signe - le retour au cadre de coordonnées revient à augmenter dans le sens négatif.
- ${\begin{aligned}ctand=\gamma (ct^{{\prime }}+\beta x^{{\prime }})\\xand=\gamma (x^{{\prime }}+\beta ct ^{{\prime }})\end{aligned}}$
2
Réécrivez les transformations avec des différentiels. Il est important de comprendre que ces transformations tiennent avec des changements (infiniment petits) de position dx{\displaystyle \mathrm {d} x} ${\mathrm {d}}x$ et de temps cdt,{\displaystyle c\mathrm {d} t,} $C{\mathrm {d}}t,$ quelque chose qui est garanti par la linéarité des métamorphoses.
- ${\begin{aligned}{\mathrm {d}}xand=\gamma ({\mathrm {d}}x^{{\prime }}+\beta _{1}c{\mathrm {d}}t^ {{\prime }})\\c{\mathrm {d}}tand=\gamma (c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}+\beta _{1}{\mathrm {d }}x^{{\prime }})\end{aligned}}$
- Ici, $\beta _{1}$ est la vitesse relative entre le laboratoire et les images mobiles.
- Il devrait être évident pour vous que l'espace et le temps présentent des symétries à partir de ces équations.
3
Obtenir la vitesse telle que mesurée dans le cadre de laboratoire. Divisez dx{\displaystyle \mathrm {d} x} ${\mathrm {d}}x$ par cdt,{\displaystyle c\mathrm {d} t,} $C{\mathrm {d}}t,$ et notez que γ{\displaystyle \gamma } $\gamma$ s'annule.
- ${\frac {{\mathrm {d}}x}{c{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}x^{{\prime }}+\beta _{ 1}c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}}{c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}+\beta _{1}{\mathrm {d}} x^{{\prime }}}}$
4
Réécrivez en termes de vitesses uniquement. Divisez la fraction de droite par cdt′.{\displaystyle c\mathrm {d} t^{\prime }.} $C{\mathrm {d}}t^{{\prime }}.$
- ${\frac {{\mathrm {d}}x}{c{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\frac {{\mathrm {d}}x^{{\prime }}} {c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}}}+\beta _{1}}{1+\beta _{1}{\frac {{\mathrm {d}}x^{ {\prime }}}{c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}}}}}$
- Ici, ${\frac {{\mathrm {d}}x}{c{\mathrm {d}}t}}=\beta _{3}$ est la vitesse de l'objet mesurée à partir du cadre du laboratoire, tandis que ${\frac {{\mathrm {d}}x^{{\prime }}}{c{\mathrm {d}}t^{{\prime }}}}=\beta _{2}$ est la vitesse de l'objet mesurée à partir du cadre mobile (d'où l'objet a été émis).
5
Obtenir l'addition des vitesses en relativité restreinte. Le mot "addition" est quelque peu déplacé ici, car l'addition est clairement non linéaire. Ci-dessous, nous l'écrivons sous une forme sans dimension.
- $\beta _{3}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}$
- En termes de vitesses dimensionnelles, la formule lit $V_{3}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{{2}}}}}}.$ D'après le facteur $C^{{2}}$ , nous pouvons confirmer que des vitesses bien inférieures à la vitesse de la lumière se réduisent à l'addition de vitesse familière $V_{3}=v_{1}+v_{2}.$

Deux vitesses se déplaçant à 0,75ème de la vitesse de la lumière s'additionnent de manière non linéaire jusqu'à 0,96c, et ainsi la relativité se sauve.

Partie 2 sur 2: contrôle de cohérence

1

Considérons deux vitesses où l'addition simple $\beta _{1}+\beta _{2}>1$ en relativité galiléenne, par exemple $\beta _{1}={\frac {3}{4}},\beta _{2}={\frac {3}{4}}.$
2
Remplacez et résolvez.
- $\beta _{3}={\frac {{\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4}}}{1+\gauche({\frac {3}{4}}\ droite)\gauche({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {{\frac {6}{4}}}{{\frac {25}{16}}}}= {\frac {96}{100}}$
- Deux vitesses se déplaçant à 0,75ème de la vitesse de la lumière s'additionnent de manière non linéaire jusqu'à 0,96c, et ainsi la relativité se sauve. Bien sûr, avec le contrôle que la relativité restreinte garantit que toutes les vitesses sont inférieures à la vitesse de la lumière vient le contrôle que la relativité galiléenne ajoute incorrectement les vitesses.
3
Montrer que la vitesse de la lumière dans le vide est invariante dans tous les référentiels.
- Fixez $\beta _{2}=1,$ et soit $\beta _{1}$ la vitesse relative entre l'image de laboratoire et l'image mobile. Le scénario décrit un photon émis depuis et se déplaçant dans la direction du repère mobile, où $\beta _{3}$ est la vitesse du photon dans le repère du laboratoire.
4
Remplacez et résolvez. Notez que le domaine de β{\displaystyle \beta } $\bêta$ est (−11).{\displaystyle (-11).}
- $\beta _{3}={\frac {\beta _{1}+1}{1+(\beta _{1})(1)}}=1.$
- Ainsi, la vitesse de la lumière est montrée invariante, quelle que soit la vitesse relative entre le cadre de laboratoire et le cadre mobile.
- Notez qu'un référentiel inertiel se déplaçant à la vitesse de la lumière n'est pas défini.

Nous pouvons confirmer que des vitesses bien inférieures à la vitesse de la lumière se réduisent — En termes de vitesses dimensionnelles, la formule lit Du facteur, nous pouvons confirmer que des vitesses bien inférieures à la vitesse de la lumière se réduisent à l'addition de vitesse familière.

Conseils

La formule d'addition des vitesses est de forme similaire à l'identité de sommation tangente hyperbolique tanh⁡(ξ1+ξ2)=ξ1+ξ21+ξ1ξ2.{\displaystyle \tanh(\xi _{1}+\xi _{2})= {\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{1+\xi _{1}\xi _{2}}}.} $\tanh(\xi _{1}+\xi _{2})={\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{1+\xi _{1}\xi _{2 }}}.$
- En effet, on peut réécrire la formule en termes d'angle hyperbolique $\xi$ , appelé la rapidité, pour obtenir une formule d'addition linéaire
- $\tanh ^{{-1}}\beta _{3}=\tanh ^{{-1}}\beta _{1}+\tanh ^{{-1}}\beta _{2},$ où l'on additionne linéairement les vitesses $\xi =\tanh ^{{-1}}\beta.$ Alors que la rapidité est un quantité plus "naturelle" avec laquelle travailler en relativité restreinte, la vitesse est toujours une quantité plus facile à mesurer.
- Parce que la fonction $\tanh(x)$ est limitée par une plage de $(-11)$ et approche asymptotiquement $\pm 1$ comme $X\à \pm \infty$ respectivement, en prenant la tangente hyperbolique des deux côtés $\beta _{3}=\tanh(\tanh ^{{-1}}\beta _{1}+\tanh ^{{-1}}\beta _{2})$ montre que deux vitesses subluminales ne peuvent jamais dépasser la vitesse de la lumière dans aucun cadre de référence.
- Lorsque $\beta =1,\xi =\tanh ^{{-1}}(1)=\infty.$ Autrement dit, la rapidité de la lumière est infinie.