Comment dériver la croissance logistique?
Dans cet article, nous dérivons la croissance logistique à la fois par séparation des variables et par résolution de l'équation de Bernoulli.
Une fonction logistique est une fonction en forme de S couramment utilisée pour modéliser la croissance démographique. La croissance de la population est limitée par des ressources limitées, donc pour en tenir compte, nous introduisons une capacité de charge du système L,{\displaystyle L,} vers lequel la population tend asymptotiquement. La croissance logistique peut donc être exprimée par l'équation différentielle suivante
Une fonction logistique est une fonction en forme de S couramment utilisée pour modéliser la croissance démographique.
dPdt=kP(1−PL){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=kP\left(1-{\frac {P}{L}}\right)}
Nous avons résolu l'équation différentielle, mais elle était linéaire, nous devons donc prendre l'inverse de notre réponse.
où P{\displaystyle P} est la population, t{\displaystyle t} est le temps et k{\displaystyle k} est une constante. Nous pouvons clairement voir que lorsque la population tend vers sa capacité de charge, son taux d'augmentation ralentit jusqu'à 0. L'équation ci-dessus est en fait un cas particulier de l'équation de Bernoulli. Dans cet article, nous dérivons la croissance logistique à la fois par séparation des variables et par résolution de l'équation de Bernoulli.
Méthode 1 sur 2: séparation des variables
- 1Variables séparées.
- 1P(1−PL)dP=kdt{\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{L}}\right)}}\mathrm {d} P=k\mathrm {d} t}
- 2Décomposer en fractions partielles. Étant donné que le dénominateur du côté gauche a deux termes, nous devons les séparer pour une intégration facile.
- Multipliez le côté gauche par LL{\displaystyle {\frac {L}{L}}} et décomposez.
- LLP−P2dP=LP(L−P)dP=APdP+BL−PdP{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{LP-P^{2}}}\mathrm {d} P&={ \frac {L}{P(LP)}}\mathrm {d} P\\&={\frac {A}{P}}\mathrm {d} P+{\frac {B}{LP}}\mathrm {d} P\end{aligned}}}
- Résoudre pour A{\displaystyle A} et B.{\displaystyle B.}
- L=A(L−P)+BP, soit L=0{\displaystyle L=A(LP)+BP,\ {\text{let }}L=0}
- 0=−AP+BP, A=B{\style d'affichage 0=-AP+BP,\ A=B}
- let P=0:L=AL{\displaystyle {\text{let }}P=0:L=AL}
- A=1, B=1{\style d'affichage A=1,\ B=1}
- Multipliez le côté gauche par LL{\displaystyle {\frac {L}{L}}} et décomposez.
- 3Intégrez les deux côtés.
- ∫1PdP+∫1L−PdP=∫kdtln|P|−ln|L−P|=kt+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{P}}\mathrm {d } P+\int {\frac {1}{LP}}\mathrm {d} P&=\int k\mathrm {d} t\\\ln |P|-\ln |LP|&=kt+C\end {aligné}}}
- 4Isolez p{\displaystyle p} . Nous nions les deux côtés, car lorsque nous combinons les logs, nous voulons que P{\displaystyle P} soit en bas, pour plus de simplicité. Comme toujours, C{\displaystyle C} n'est jamais affecté, car il est arbitraire.
- −ln|P|+ln|L−P|=−kt+Cln|L−PP|=−kt+C{\displaystyle {\begin{aligned}-\ln |P|+\ln |LP |&=-kt+C\\\ln \left|{\frac {LP}{P}}\right|&=-kt+C\end{aligned}}}
- 5Résoudre pour p{\displaystyle p} . Nous laissons A=eC{\displaystyle A=e^{C}} et reconnaissons qu'il n'est pas non plus affecté par le signe plus-moins, nous pouvons donc le rejeter.
- ln|L−PP|=−kt+C|L−PP|=e−kt+CL−PP=±Ae−ktLP−1=Ae−ktPL=1Ae−kt+1{\displaystyle {\begin{aligned }\ln \left|{\frac {LP}{P}}\right|&=-kt+C\\\left|{\frac {LP}{P}}\right|&=e^{-kt +C}\\{\frac {LP}{P}}&=\pm Ae^{-kt}\\{\frac {L}{P}}-1&=Ae^{-kt}\\{\ frac {P}{L}}&={\frac {1}{Ae^{-kt}+1}}\end{aligned}}}
- P=LAe−kt+1{\displaystyle P={\frac {L}{Ae^{-kt}+1}}}
- L'équation ci-dessus est la solution au problème de croissance logistique, avec un graphique de la courbe logistique montré. Comme prévu pour une équation différentielle du premier ordre, nous avons une autre constante A,{\displaystyle A,} qui est déterminée par la population initiale.
L'équation ci-dessus est la solution au problème de croissance logistique, avec un graphique de la courbe logistique affiché.
Méthode 2 sur 2: équation de Bernoulli
- 1Écrivez l'équation différentielle logistique. Développez le côté droit et déplacez le terme de premier ordre vers le côté gauche. On voit bien que cette équation est non linéaire à partir du terme P2{\displaystyle P^{2}} . En général, les équations différentielles non linéaires n'ont pas de solutions qui peuvent être écrites en termes de fonctions élémentaires, mais l'équation de Bernoulli est une exception importante.
- dPdt−kP=−kLP2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}-kP=-{\frac {k}{L}}P^{2}}
- 2Multipliez les deux côtés par −p−2{\displaystyle -p^{-2}} . Lors de la résolution des équations de Bernoulli en général, nous multiplierions par (1−n)P−n,{\displaystyle (1-n)P^{-n},} où n{\displaystyle n} désigne le degré du terme non linéaire. Dans notre cas, c'est 2.
- −P−2dPdt+kP−1=kL{\displaystyle -P^{-2}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}+kP^{-1}={\ frac {k}{L}}}
- 3Réécrivez le terme dérivé. Nous pouvons appliquer la règle de la chaîne à l'envers pour voir que −P−2dPdt=dP−1dt.{\displaystyle -P^{-2}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}= {\frac {\mathrm {d} P^{-1}}{\mathrm {d} t}}.} L'équation est maintenant linéaire dans P−1.{\displaystyle P^{-1}.}
- dP−1dt+kP−1=kL{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P^{-1}}{\mathrm {d} t}}+kP^{-1}={\frac {k }{L}}}
- 4Résolvez l'équation pour p−1{\displaystyle p^{-1}} . Comme standard pour les équations différentielles linéaires du premier ordre, nous utilisons le facteur d'intégration e∫g(x)dx,{\displaystyle e^{\int g(x)\mathrm {d} x},} où g(x){\ displaystyle g(x)} est le coefficient de P−1,{\displaystyle P^{-1},} à convertir en une équation exacte. Par conséquent, notre facteur d'intégration est ekt.{\displaystyle e^{kt}.}
- ektdP−1+(kP−1−kL)ektdt=0{\displaystyle e^{kt}\mathrm {d} P^{-1}+\left(kP^{-1}-{\frac {k} {L}}\right)e^{kt}\mathrm {d} t=0}
- ∫ektdP−1=P−1ekt+R(t){\displaystyle \int e^{kt}\mathrm {d} P^{-1}=P^{-1}e^{kt}+R(t)}
- R(t)=∫−kLektdt=−1Lekt{\displaystyle {\begin{aligned}R(t)&=\int -{\frac {k}{L}}e^{kt}\mathrm {d} t \\&=-{\frac {1}{L}}e^{kt}\end{aligned}}}
- 1Pekt−1Lekt=C{\displaystyle {\frac {1}{P}}e^{kt}-{\frac {1}{L}}e^{kt}=C}
- 5Isolez p{\displaystyle p} . Nous avons résolu l'équation différentielle, mais elle était linéaire dans P−1,{\displaystyle P^{-1},} donc nous devons prendre l'inverse de notre réponse.
- 1P−1L=Ce−ktL−PPL=Ce−ktL−P=PLCe−ktL=P(1+LCe−kt){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{P}}-{\ frac {1}{L}}&=Ce^{-kt}\\{\frac {LP}{PL}}&=Ce^{-kt}\\LP&=PLCe^{-kt}\\L&= P(1+LCe^{-kt})\end{aligned}}}
- 6Arriver à la solution. Réécrivez LC{\displaystyle LC} en tant que nouvelle constante A.{\displaystyle A.}
- P=L1+Ae−kt{\displaystyle P={\frac {L}{1+Ae^{-kt}}}}
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