Comment calculer la demi-vie?
Pour trouver la demi-vie d'une substance, ou le temps qu'il faut pour qu'une substance diminue de moitié, vous utiliserez une variante de la formule de décroissance exponentielle. Branchez 0,5 pour a, utilisez le temps pour x et multipliez le côté gauche par la quantité initiale de la substance. Réorganisez l'équation de sorte que vous résolviez ce que le problème demande, que ce soit la demi-vie, la masse ou une autre valeur. Branchez les valeurs que vous avez et résolvez, en écrivant la réponse en secondes, jours ou années. Pour voir l'équation de la demi-vie et regarder des exemples, lisez la suite!
Comment calculer la demi-vie d'une substance radioactive?
La demi-vie d'une substance en décomposition est le temps qu'il faut pour que la quantité de substance diminue de moitié. Il a été utilisé à l'origine pour décrire la désintégration d'éléments radioactifs comme l'uranium ou le plutonium, mais il peut être utilisé pour toute substance qui subit une désintégration le long d'un taux défini, ou exponentiel. Vous pouvez calculer la demi-vie de n'importe quelle substance, étant donné le taux de décomposition, qui est la quantité initiale de la substance et la quantité restante après une période de temps mesurée.
Partie 1 sur 2: comprendre la demi-vie
- 1Comprendre la décroissance exponentielle. La décroissance exponentielle se produit dans une fonction exponentielle générale f(x)=ax,{\displaystyle f(x)=a^{x},} où |a|<1.{\displaystyle |a|<1.}
- En d'autres termes, à mesure que x{\displaystyle x} augmente, f(x){\displaystyle f(x)} diminue et se rapproche de zéro. C'est exactement le type de relation que nous voulons décrire la demi-vie. Dans ce cas, nous voulons a=12,{\displaystyle a={\frac {1}{2}},} pour que nous ayons la relation f(x+1)=12f(x).{\displaystyle f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x).}
- 2Réécrivez la fonction en termes de demi-vie. Bien sûr, notre fonction ne dépend pas de la variable générique x,{\displaystyle x,} mais du temps t.{\displaystyle t.}
- f(t)=(12)t{\displaystyle f(t)=\gauche({\frac {1}{2}}\droit)^{t}}
- Cependant, le simple fait de remplacer la variable ne nous dit pas tout. Nous devons encore tenir compte de la demi-vie réelle, qui est, pour nos besoins, une constante.
- Nous pourrions alors ajouter la demi-vie t0,5{\displaystyle t_{0,5}} dans l'exposant, mais nous devons faire attention à la façon dont nous procédons. Une autre propriété des fonctions exponentielles en physique est que l'exposant doit être sans dimension. Puisque nous savons que la quantité de substance dépend du temps, nous devons alors diviser par la demi-vie, qui se mesure également en unités de temps, pour obtenir une quantité sans dimension.
- Cela implique également que t0,5{\displaystyle t_{0,5}} et t{\displaystyle t} soient également mesurés dans les mêmes unités. On obtient ainsi la fonction ci-dessous.
- f(t)=(12)tt0,5{\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{0,5}} }}
Comment puis-je trouver la demi-vie de quelque chose qui descend à 10 de la valeur initiale? - 3Incorporer le montant initial. Bien sûr, notre fonction f(t){\displaystyle f(t)} telle qu'elle est n'est qu'une fonction relative qui mesure la quantité de substance restante après un temps donné en pourcentage de la quantité initiale. Tout ce que nous avons à faire est d'ajouter la quantité initiale N0.{\displaystyle N_{0}.} Maintenant, nous avons la formule de la demi-vie d'une substance.
- N(t)=N0(12)tt0,5{\displaystyle N(t)=N_{0}\gauche({\frac {1}{2}}\droit)^{\frac {t}{t_{ 0,5}}}}
- 4Résoudre pour la demi-vie. En principe, la formule ci-dessus décrit toutes les variables dont nous avons besoin. Mais supposons que nous rencontrions une substance radioactive inconnue. Il est facile de mesurer directement la masse avant et après un temps écoulé, mais pas sa demi-vie. Exprimons donc la demi-vie en fonction des autres variables mesurées (connues). Rien de nouveau n'est exprimé en faisant cela; c'est plutôt une question de commodité. Ci-dessous, nous parcourons le processus une étape à la fois.
- Divisez les deux côtés par le montant initial N0.{\displaystyle N_{0}.}
- N(t)N0=(12)tt0,5{\displaystyle {\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{ \frac {t}{t_{0,5}}}}
- Prenez le logarithme, base 12,{\displaystyle {\frac {1}{2}},} des deux côtés. Cela fait baisser l'exposant.
- log0,5(N(t)N0)=tt0,5{\displaystyle \log _{0,5}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={ \frac {t}{t_{0,5}}}}
- Multipliez les deux côtés par t0,5{\displaystyle t_{0,5}} et divisez les deux côtés par tout le côté gauche pour résoudre la demi-vie. Comme il y a des logarithmes dans l'expression finale, vous aurez probablement besoin d'une calculatrice pour résoudre les problèmes de demi-vie.
- t0,5=tlog0,5(N(t)N0){\displaystyle t_{0,5}={\frac {t}{\log _{0,5}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\droit)}}}
- Divisez les deux côtés par le montant initial N0.{\displaystyle N_{0}.}
Pour trouver la demi-vie d'une substance, ou le temps qu'il faut pour qu'une substance diminue de moitié, vous utiliserez une variante de la formule de décroissance exponentielle.
Partie 2 sur 2: exemples de problèmes
- 1Problème 1. 300 g d'une substance radioactive inconnue se désintègrent en 112 g après 180 secondes. Quelle est la demi-vie de cette substance?
- Solution: nous connaissons la quantité initiale N0=300 g,{\displaystyle N_{0}=300{\rm {\ g}},} quantité finale N=112 g,{\displaystyle N=112{\rm {\ g }},} et le temps écoulé t=180 s.{\displaystyle t=180{\rm {\ s}}.}
- Rappelons la formule de demi-vie t0,5=tlog0,5(N(t)N0).{\displaystyle t_{0,5}={\frac {t}{\log _{0,5}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}.} La demi-vie est déjà isolée, alors remplacez simplement les variables appropriées et évaluez.
- t0,5=180 slog0,5(112 g300 g)≈127 s{\displaystyle {\begin{aligned}t_{0,5}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\ log _{0,5}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\environ 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}}
- Vérifiez si la solution a du sens. Étant donné que 112 g est inférieur à la moitié de 300 g, au moins une demi-vie doit s'être écoulée. Notre réponse vérifie.
- 2Problème 2. Un réacteur nucléaire produit 20 kg d'uranium-232. Si la demi-vie de l'uranium-232 est d'environ 70 ans, combien de temps faudra-t-il pour se désintégrer à 0,1 kg?
- Solution: Nous connaissons la quantité initiale N0=20 kg,{\displaystyle N_{0}=20{\rm {\ kg}},} la quantité finale N=0,1 kg,{\displaystyle N=0,1{\ rm {\ kg}},} et la demi-vie de l'uranium-232 t0,5=70 ans.{\displaystyle t_{0,5}=70{\rm {\ ans}}.}
- Réécrivez la formule de la demi-vie pour résoudre le temps.
- t=(t0,5)log0,5(N(t)N0){\displaystyle t=(t_{0,5})\log _{0,5}\left({\frac {N(t) }{N_{0}}}\droit)}
- Remplacer et évaluer.
- t=(70 ans)log0,5(0,1 kg20 kg)≈535 ans{\displaystyle {\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ ans}})\log _{0,5} \gauche({\frac {0,1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\environ 535{\rm {\ ans}}\fin {aligné}}}
- N'oubliez pas de vérifier votre solution intuitivement pour voir si elle a du sens.
Comment stocker quelque chose pour atteindre la demi-vie?
- Une formulation alternative pour la demi-vie utilise une base entière. Notez que cela inverse le N(t){\displaystyle N(t)} et N0{\displaystyle N_{0}} dans l'expression du logarithme.
- t0,5=tlog2(N0N(t)){\displaystyle t_{0,5}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\droit)}}}
- La demi-vie est une estimation probabiliste du temps nécessaire pour que la moitié de la substance restante se désintègre plutôt qu'un calcul exact. Par exemple, s'il ne reste qu'un atome de la substance, il ne restera plus qu'un demi-atome après l'expiration du temps de demi-vie, mais un ou zéro atome. Plus la quantité de substance restante est grande, plus le calcul de la demi-vie sera précis grâce à la loi des grands nombres.
Questions et réponses
- Quelle est la demi-vie d'un isotope qui se désintègre à 25% de son activité d'origine en 26,7 heures?Puisque l'ensemble est à 100%, la première demi-vie chuterait à 50% puis à 25%. Parce qu'il faut 26,7 heures à l'isotope pour atteindre 25%, et qu'il n'y a que 2 moitiés de 100 à 25%, divisez 26,3,5, et vous obtiendrez 13,35 heures comme demi-vie.
- Si un échantillon contient 100 g d'un isotope radioactif qui a une demi-vie de 2 jours, quelle quantité d'isotope reste-t-il après 6 jours?Un moyen rapide de le faire serait de déterminer combien de demi-vies nous avons dans le temps imparti. 6 jours/2 jours = 3 demi-vies 100/2 = 50 (1 demi-vie) 50/2 = 25 (2 demi-vies) 22,5 = 12,5 (3 demi-vies) Il resterait donc 12,5 g d'isotope après 6 jours.
- Qu'entend-on par constante de décroissance?La constante de désintégration de tout élément est égale à la fraction d'atomes en désintégration par unité de temps.
- Si 20 g d'un isotope radioactif sont présents à 13h00 et que la demi-vie est de 30 minutes, que resterait-il à 14h00?En 1 h = 60 minutes, 60 minutes / 30 minutes = 2 demi-vies auraient passé. Ainsi, la quantité restante après une heure sera de 20 grammes x (0,5)^2 = 20 x (0,25) = 5 grammes.
- Si la demi-vie d'un matériau est de 6 heures, quelle quantité de matériau reste-t-il en 36 heures?Nous aurions besoin de savoir avec quelle quantité de matériel vous commencez afin de résoudre ce problème.
- Que dois-je faire s'il n'y a pas de montant initial ou de montant final mais juste la demi-vie, et je dois savoir combien de temps il ne reste plus que 4%?Composez un montant initial, puis voyez combien de temps il faut pour qu'il reste 4% du montant initial. Par exemple, vous pouvez commencer avec 100 comme montant initial, puis voir combien de temps il faut pour que 4% de 100, soit 4, restent.
- Si 100 g d'un atome deviennent 50 g en trois mois, quelle est la demi-vie?Ici, 100g deviennent 50g, ce qui est exactement la moitié. Il a fallu trois mois pour le faire. Trois mois est sa demi-vie.
- Si le carbone 10 a une demi-vie d'environ 19 secondes, combien de demi-vies subit-il en deux minutes et 32 secondes?La demi-vie signifie simplement que le poids actif d'un élément radioactif restera de moitié après ce moment particulier. Dans ce cas, deux minutes 32 secondes signifient que 152 secondes représentent huit fois la demi-vie du carbone 10, il subira donc huit demi-vies pendant cette période.
- Quelle est la demi-vie du strontium 90?Il est de 28,8 ans.
- Si vous partez d'un échantillon de 600 noyaux radioactifs, combien resteraient non désintégrés après 3 demi-vies?Après la première demi-vie: 600/2=300; Après la seconde demi-vie: 300/2=150; Après la troisième demi-vie: 150/2 = 75 noyaux.
Questions sans réponse
- Le radium 226 a une demi-vie de 1600 ans. Quel pourcentage resterait-il après 6400 ans?
- Comment trouver la demi-vie sur un élément spécifique?
- Comment puis-je trouver la demi-vie de quelque chose qui descend à 10 de la valeur initiale?
- Comment stocker quelque chose pour atteindre la demi-vie?
- Comment calculer la demi-vie d'une substance radioactive?
Les commentaires (8)
- Je suis un étudiant et toute ma classe utilise ce site pour une partie de notre "Guide d'étude du temps scientifique et géologique". Ce site est très utile pour notre propos!
- Je suis juste accro aux études. Eh bien, tout le monde a besoin d'un passe-temps. guide aide énormément, car les choses sont expliquées en étapes faciles à suivre.
- guide est le meilleur, toujours en m'aidant.
- Cela aide beaucoup les étudiants, c'est du très bon matériel.
- Les photos, elles étaient fantastiques.
- M'a appris un tout nouveau moyen facile de trouver la demi-vie si rapidement et simplement, merci.
- On m'a donné une explication très bien détaillée. Les étapes étaient bien organisées et pas complexes du tout.
- Je suis un élève de l'IB et je suis en train de terminer mon Math IA. J'avais besoin d'un exemple d'application du nombre e. Cela a beaucoup aidé! Merci beaucoup.
